福建省2020年高二数学上学期期中考试卷（九）

福建省2020年高二数学上学期期中考试卷（九）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（共11小题，每小题5分，共55分）

1.已知一组数据为1、5、6、2、6,则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）

A.中位数＞平均数＞众数B.众数〉中位数＞平均数

C.众数＞平均数〉中位数D.平均数＞众数〉中位数

2.设a€R,则a＞l是工＜1的（）条件.

a

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由

)

4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）

A.iCJDi

5.已知P为椭圆（+若同上的一点，M,N分别为圆（x+3）2+y2=i和圆（x-3）2+y2=4±

的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）

A.5B.7C.13D.15

6.已知A（-1,0）和圆x2+y2=2上动点P,动点M满足2忘=正，则点M的轨迹方程是（)

222222

A.(x-3)+y=lB.(XH-)+y=lC.<x+1V4D.x+(y+1)=j

7.下列选项中，说法正确的是（）

w2w

A.3xoeR,x（）2-x（）40"的否定是"mx6R,x-x>0

B.若向量：，E满足彳・E<。，则；与E的夹角为钝角

C.若am24bmL则a<b

D.命题"pVq为真"是命题"p/\q为真"的必要不充分条件

8.执行如图所示的程序框图，如果输入的tG[-2,2],则输出的S属于（)

A.[-6,-2]B.[-5,-1]C.[-4,5]D.[-3,6]

9.已知椭圆E：二+4=1（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭圆E于A、

a?V

B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则E的方程为（）

'x+y-8<0

10.已知关于x的二次函数f（x）=ax?-4bx+l,设（a,b）是区域，x>0,内的随机点,

y>0

则函数f（x）在区间［1,+8）上是增函数的概率是（）

A-iBic-i

2

11.设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆3_+y2=l上的点，则P,Q两点间的最大距离是

10

()

A.5&B.746+V2C.7+72D.672

二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）

12.若"xe［2,5］或xW{x|x<l或x>4}"是假命题，则x的取值范围是

上金=1恒有公共点

13.若直线y=kx+l与椭圆则m的取值范围是:

2010m

14.设正项等差数列{a"的前2011项和等于2011,则二-+二一的最小值为__________.

a2^OlO

15.若以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆与该椭圆有四个交点，则该椭圆的离心率的

取值范围为：.

三、解答题：（共6小题，第22题15分，其余各题12分，共75分）

16.某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况

如茎叶图所示：

甲乙

643915

87754280136688

97

(1)从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？

(II)现场有3名点评嘉宾A、B、C,每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评

嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率.

17.命题p：实数x满足x?-4ax+3a2v0,其中a<0；命题q：实数x满足x?-x-6《)或x?+2x

-8>0；若「p是「q的必要不充分条件，求a的取值范围.

18.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为8,离心,求:

(1)椭圆的标准方程;

(2)求椭圆上的点到直线x+2y-迎=0的最大距离.

19.已知函数f(x)=x2-2ax+l,g(x)=x-a,其中a>0,x^O.

(1)对任意xe[l,2],都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围;

(2)对任意X]W[-2,-1],x2e[2,4],者R有f(X[)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范

围;

(3)存在XiG[-2,-1],X2G[2,4],使f(X])>g(X2)成立，求实数a的取值范围.

20.已知数列｛%｝的前n项和记为aj=l,an+1=2Sn+l(n>l).

(1)求｛a"的通项公式;

(2)等差数列｛、｝的各项为正，其前n项和为丁2且T3=15,又2时、a2+b2>a§+b3成等比

数列，求

(3)求数列｛a'bn｝的前n项和.

21.已知椭圆C：今+31(a>b>0)的离心率为堂，其左、右焦点分别为Fi，F2,点P(x(),

y())是坐标平面内一点，且*02+丫020.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(0,--1)且斜率为k的动直线1交椭圆于A、B两点，问：在y轴上是否存在定

点M,使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和4MAB面积的最大值；若

不存在，说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.B.2.A3.C4.C.5.B.6.C.7.D.8.D9.D.

10.C.11.D.

二、填空题

12.解：若“xG[2,5]或xG｛x|xVl或x>4｝"是假命题

则它的否命题为真命题即｛x|x<2或x>5｝.且｛x|14x“｝是真命题

所以的取值范围是“，2),

故答案为U，2).

13.解：直线y=kx+l即为y-l=k(x-0),

则直线恒过定点(0,1),

22

由直线与椭圆册4口恒有公共点,

可得(0,1)在椭圆上或在椭圆内.

即有

解得m21,又m>0,且mx2010,

即有mzl,且mw2010,

故答案为：m>L且mQOlO.

14.解：：正项等差数列出｝的前2011项和等于2011,

2011（acajou）_2011（a2+a2010）

、2O1122

得到a2+a2Oio-2.

•，•■~+«1=\（a2+a2oio^=⑵呼］。+~

aaaa

2%010N220102a22010

*（2+2、陛•上）=2.

2Va2a2010

当且仅当a2=a20l0=l时取等号.

故答案为：2.

22

15.解：设椭圆的方程为三5g产1(a>b>0),

abZ

以原点为圆心，椭圆的焦半径c为半径的圆方程为x2+y2=c2,

联立两方程，可得y2=b(:-J,x2=a(cbj(

a2-b2a2-b2

由题意可得x2>0,y2>0,

结合a>b>0,a>c>0,可得/Ab2,

即有c2>a2-c2,即为a<&c,

则离心率e->逛，由OVeVl,可得

a2

送VeVl.

2

故答案为：(零，1).

2

三、解答题

16.解：(I)由茎叶图可得：漏87.5,赤86.7,而>石,

所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差异

(II)依题意，共有9个基本事件：

其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件.

所以，所求概率为

17.解:x?-4ax+3a2=0对应的根为a,3a；

由于a<0,

则x2-4ax+3a2Vo的解集为(3a,a),

故命题p成立有x£(3a,a)；

由x2-x-6<0得x£[-2,3],

由x2+2x-8>0得x£(-8,-4)U(2,+g),

故命题q成立有x£(-8,-4)U[-2,+8).

若*是飞的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件,

因此有(3a,a)0(-8,-4)或(3a,a)Q[-2,+8),

又aVO,解得宓-4或一衣a<0；

故a的范围是a«-4或

22

18.解：(1)设椭圆方程为今(a>b>0),

a2b2

由题意可得2a=8,即a=4,

又解得c=2jj,

a2

2_.2=2

aG

2

所以椭圆的方程为工

16

(2)将已知直线平移，可得当直线与椭圆相切时，距离最大.

设与直线x+2y-&=评行的直线方程为x+2y+m=0,

2

x

由16，得8y2+4my+m2-16=0,

x+2y+ro=0

由△=(),即为16m2-32(m2-16)=0,

解得方±4&,显然ro=4近时距离最大,

一(-&)

且为心1/I

V5=710-

19.解：(1))VxG[1,2],都有f(x)>g(x)恒成立，.".X2-2ax+l>x-a,

即

x2-x-H

设h(x)-

2x-1

则…舒

令h，(x)=0,解得x="

2

当h，(x)>0时，即IVxV兰近,

函数递增,

2

当h'(x)V0时，即Ai?臣<x《2,

函数递减，

2

，h(x)min=h(早)

.•.OVaV近，

3

故a的取值范围为(()，点)，

2

(2)f(x)=x-2ax+l的对称轴为x=a>0,即f(x)在[-2,-1]单调递减,f(xj)mjn=f(

1)=2+2a

当X2e24]时g（x2）为增函数，g（x2）max=g（4）=4-a,

:对任意X]C[-2,-1],X2e[2,4],都有f（X]）>g（X2）恒成立,

..f（X]）min>g（X2）max'

/.2+2a>4-a,解得a>佳

故a的取值范围为（蒋+8）,

J

（3）存在X]d[-2,-1],x2e[2,4],使f（X]）>g（x2）成立，

・・f（xpmax>g（X2）min,

A5+4a>2-a,

解得a>Y，

5

即a>0

故a的取值范围为（0,+-）.

20.解：（1）因为an+]=2Sn+L...①

所以an=2Sn-i+l32）,②

所以①②两式相减得an+1-an=2an，即an+i=3an（n>2）,

又因为a2=2S1+l=3,

所以a2=3a],

故｛aj是首项为1,公比为3的等比数列

（2）设｛、｝的公差为d,

由13=15得,可得b]+b2+b3=15,可得bz=5,

故可设b]=5-d,b3=5+d,

又因为a】=l,a2=3,a3=9,并且ai+bpa2+b2,a§+b3成等比数列,

所以可得（5-d+l）（5+d+9）=（5+3）2,

解得山=2,d2=-10,

••.等差数列｛%｝的各项为正,

/.d>0,d=2,b]=3,

2

Tn=3n+^n(n-1)»2=n+2n；

n1

(3)an«bn=(2n+l)»3.

前n项和Rn=3・l+5・3+7・32+...+(2n+l)»3nl,

23n

3Rn=3«3+5«3+7»3+...+(2n+l)«3.

两式相减可得，-2R/3+2(3+32+...+311」)-(2n+l)«3n

Q_n-1\

2n

=3+2.土上_0------(2n+i).3.

1-3

n

化简可得前n项和为Rn=n«3.

21.解：(1)设F](-c,()),F2(C,0),

—-■qq

由PF]・PF2=W即为(-c-Xo，-y0)•(c-x0,-y0)=-)

22222

即有x0+y0-c=-1,又x0+y0=-^,

解得c=l,又1=立,则a=五,b=l,

a2

2o

因此所求椭圆的方程为：工+y2=l；

2

(2)动直线1的方程为丫=!«-1,

i1

y=kx~2

由3,得(1+210?)x-4x-

3

,x2+2y2=2

设A（X],y]），B（x2,丫2），

4k16

则X[+X2=~~,X|X?=--FT

123(l+2k2)9(l+2k2)

假设在y轴上存在定点M（0,m）,满足题设，则

MA=(xi，yj-m),HB=出，y2-m),

=XX+2

MA*IB12<YI-m)(y2-m)=X]X2+y1y2-m(y,+y2)+m

：x”2+(kx]-1)(kx2-4)-m(kxj-g+kx2-+m2

21

(1+k)x)x2-k)(X1+X2)+m