高三数学寒假作业五

22*222*2高三数学假作业五一、填空题本大题共14小，每小题分，共计分不需要写出解答过程已集合

A合

AB

______若数

z

满足

（i

是虚数单位复

z

的实部是_如是某算法的程序框图，则程序运行后输的结果______.现某类病毒记作

XYmn

，其中正整数

可以任意选取，则m，都取到奇数的概率为若曲线

y2－＝>0，>0)与线y＝x无点，则心率e的值范围是．a2b2等数列

a1

，前项为，足

S，S.64已

sin

15

，

0______.已a，数，y满足方

x

2

xy，

的最小值为_已函数

N的图像在的切线斜率为

n

当n时图像过点

710.在平面直角坐标系

xOy

中，点

My0

是椭圆

C

2y2：6

在第一象限上的一点，从原点

O

向圆：

作两条切线

l1

，

l2

，若

ll12

，则圆的程______.11.定义：如果函数

f

0

0

，满足f0

fb

，则称x

是函数

yf函

f

x

在间则实数的值范围12.已知

0

，0

，且

4b

，则

2

的最小值是_13.已知

中，AB

，且

的最小值为

，若P为边AB

上任意一点，则PB的小值是1

14.已知函数

f

在

0,2

上是增函数，函数

g2lnx

，若x1

（

e

为自然对数的底数）时，不等式

恒成立，则实数a的值范围是______.二、解答题（本大题共小题，共计分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.已知函数

f()3cosx2

)

，（）

fx)

的最小正周期和单调递减区间．（）方程

f()区间[

4

上有两个不同实数解，求实数的值范围的16.在公差不为零的等差数列

n

a，a，a，成比数列.124（1）求数列

n

式（2）设

b

，

n1n

，求

2

OO217.某沿海特区为了缓解建设用地不足矛定进行围海造陆以增加陆地面.图海岸线，所成角为，现欲在海岸线OA，上别取点P，修海堤，以便围成三角形陆地，已知海3堤PQ长6米.（1）如何选择P的置，使得OPQ的面积最大；（2）若需要进一步扩大围海造陆工程在海堤Q另一侧选取点，建海堤，MQ围四边形陆地当海堤MP与MQ的度和为米时，求四边形面积的最大值3

18.已知直线

l

为椭圆

224

的右准线线

l

与轴的交点记为过右焦点F的线与椭圆交，B两点（1）设点M在直线上，且满足MF，直线OM与段AB交点D，证：点为线段AB的中点；（2）设点坐标为

，直线BQ与线

l

交于点E，问EA

是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.4

的n的n19.已知数列

n

项

满足

S

*

（1）求数列

n

通项公式；（2）记

，T

是数列

项，若对任意的nNn

*

，不等式

T

都成立，求实数

的取值范围；（3）记

cn

，是否存在互不相等的正整数s，，，，t成差数列，且

c

，ct

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的s，t；果不存在，请说明理5

20.已知函数

f

，

（1）当

a

时，求函数

f

的单调递增区间；（2）若函数

f

只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）当

0

时，试问：过点

P

存在几条直线与曲线

f

相切？6

x22x22高三数学假作业五参答案一、空题：大题共14题，每小题分共计70分请把答填写在答题相应位上已集合A合【答案】

x

AB

______【解析】【分析】分别求出与中等式的解集确定出A与，找出与的集即可．【详解】由A中不等式变形得：得到，∴，由中不等式变形得：，得到，即，则

A

B

，故答案为：

【点睛】本题考查了求对数式、指数式不等式的解集和并集的运算，属于基础题。若数

满足

（i

是虚数单位复

的实部是______【答案】1【解析】【分析】通过复数方程，两边同乘，然后求出复数即．【详解】因为复数z满所以，即，所以实部为7

故答案为：【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复z的部，不能写成复数的果。本题属于基础题。如是某算法的程序框图，则程序运行后输的结果______.【答案】27【解析】【分析】根据，，，满足条件n，行循环；依此类推，当，足条件＞，退出循环体，得到输出结果即可【详解】，不满足条件，行循环体；，，不满足条件，执行循环体；，，足条件，出循环体，则输出结果为：故答案为：。【点睛】本题考查了循环结构的应用，循环次数少的时候可以将每一次的赋值情况列出，不容出错。本题属于中等题。现某类病毒记作

XYmn

，其中正整数

,

可以任意选取，则m，都取到奇数的概率为8

2222222222222222.【答案】

14【解析】【分析】求出m取于等于的整数取小于等于8的整数取奇数，取奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【详解】取于等于的正整数，取小于等于的正整数，共有种法。m取到奇数的有，，共情况取到奇数的有，，，共种情况，则，都到数的方种数为种=.所以，都取到奇数的概率为.故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式

A包含的基本事件的个数m基本事件的总数n

，属于基础题。y2若曲线－＝a>0，b与线y3x无交，则离心率的值范围________．a2b2【答案】【解析】因为双曲线的渐近线为y＝，要使直线y＝x与曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有

≤，b3a，以b≤3a，－≤3a，即≤4a，≤4，以1<e≤2.等数列

a

，前项和为，满足

S，S.64【答案】31【解析】【分析】将

6

化成

6

4

，得=，根据等比数列前n项6和公式，即可求出。9

6554652265546522【详解】设等比数列

q，由

可6

S65

。∴S

a1

11

，故答案为：【点睛】本题考查了数列中S与a之间的关系，即n

ann

n

，属于中等题。已

sin

15

，

0.【答案】【解析】【分析】

825根据

sin

cos

15

联立sin2，可求出和cos的值再将2化

2sin

入即可。【详解】

sin

15

,cos

又sin

2

2

2

12sin2sin或

，sin,cos5即sin

2sin2

48525故答案为：

825

。【点睛】本题考查了同角的三角函数之间的关系，给

in

和间任一关系式，再联立sin

cos

可求出

sin

和的值，但要注意据角的范围来判断

in

和值可能是10

2222222222解中的一组或两组。本题属于中等题。已

，实数，满方程

xxy

，则

的最小值为______【答案】0【解析】【分析】

是

两点间的距离的平方，求

的最小值即为求两点所在轨迹上的点之间的距离的最小值的平方。可以看出两点所在轨迹方程都满足点

，即两点间距离最小值为0，

的最小值为。【详解】设

，则

上

在曲线

y

2

2ln

，∴求AB的最小值，即为求曲线

y

2

2ln

上的点到直线

y

上的点的距离的最小值。又

y

2

2ln

与

y都点∴曲线

y

2

x

上的点到直线

y

上的点的距离的最小值为。即

的最小值为

2

。故答案为0。【点睛】本题考查了两点间距离公式的变形，和直线到曲线距离的最值问题，遇到两式平方和以看是否能凑成

x1

1

，通过两点间距离公式转换成表达式的几何意义来求最值。本题属于难题。已函数

n

*

的图像在

处的切线斜率为

n

当n

时其图像过点

______.7【答案】8【解析】【分析】将处导函数值求出，与

n

相等，化简可得

an

，再将和

代入可求得a的值，再根据等差数列通项公式即可求出a的。11

【【2y【详解】由

x2nNn

*

得，

y2ann

，∵图像在

处的切线斜率为

n

当

时，

y

n

，简得n

n

n

，即数列

的差数列。又∵当

时其图像过点

，162

3

1

2

a，217

。故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和导函数的几何意义，函数在某点的导数值即为图像此处的切线斜率，当求出

a

与a的为定值时，即可得出其为等差数列，等差数列需知道a和nn

两个参数，依次求出即可。本题属于中等题。10.在平面直角坐标系中点M0

是椭圆：

2y26

在第一象限上的一点，从原点向圆：

作两条切线l，l，若ll1212

，则圆的程______.答案】【解析】【分析】画图分析可得四边形AOBM

为正方形，即有O

，再根据点

M

是椭圆

：6

在第一象限上的一点，可求出圆心的坐标。【详解】设从原点

O

向圆M：

作两条切线l，l12

的切点分别为A、B，出大致图像如下图：12

200x故答案为：200x故答案为：2yl、l都圆相切，2OAM又

ll

，AOBAMB=360AOB90即四边形AOBM

为正方形，由圆M：

可知圆的半径为

，2MA，即x0

2

y0

2

又∵点

M

,0

是椭圆

C

：6

在第一象限上的一点，2y6解得，圆M的方程是x2y22

。【点睛】本题考查了直线与圆相切的几何关系，即圆心与切点的连线垂直于切线，圆锥曲线的空选择多画图找几何关系，有时会比直接计算要快。本题属于中等题。11.定义：如果函数

f00

，满足f

fb

，则称x是13

2222函数

f函

f

在区间

，则实数的值范围______【答案】【解析】【分析】

函数

f

在区间

存在均值点，关于

的方程f

f

1

在求函数

f

的值域，包含元素1即。【详解】∵函数

f

在间∴关于的程

f1

在由

x

x

x

x

x

2

)

，可得

.要使方程

f

1

，即m

。故答案为：

。【点睛】本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通换元法求得二次函数的值域即可。本题属于中等题。12.已知

，0

，且

abb

，则

2

的最小值是_____.【答案】4【解析】【分析】

2将

ab化

1，x,1，则xy,4y

2，再将用b14

表示得

1

124yy

通基本不等式1”的巧用凑出

3

与

14y1y相乘，再用基本不等式可得最小值。【详解】

4a

设

1xy，xy

1x4y

，∵

0

，

，1,0y14y1∴b111y14y1y又

11184y4y44y3

y4yy13yy344y

当

8y

12时，x0,14y4

，在题目要求范围内，41y1y34y434y4242即by2故答案为：

2【点睛】本题考查了换元法和基本不等式的应用，遇到已知两未知数关系，求包含两未知数的达式的最值时，除了消元通过函数法解，最常见的方法是构造基本不等式。本题属于难题。13.已知中，ABAC，

3的最小值为，P为边

上15

AG3AG3任意一点，则PB的小值是______【答案】【解析】【分析】

2516设ADAC，

，可得

、B、三点共线，则

的最小值即的最小值为

3表示到边的高为

，根据几何关系求出

BAD

3

，

7

。再根据极化恒等式将成

PM

，通过几何关系求出PM的最小值即可。【详解】∵

AB∴设AC，

又∵

，∴、B、D三共线，

的最小值即

AG

的最小值为

3

.由图可得，当⊥BD时，有最小值

，又∵AB，

AC

，

AC

，∴

sinABDADB

3，ABDBAD33

，16

22。PM222。PM2由余弦定理，BC

ABABcosBAC

。设M

中点，由极化恒等式，122PBPMBCPMBCPM24∴当取最小值时，PB有小值∵为AB上意一点，

，∴当⊥

时，PM有小值。设PM，点C作CEAB

于点，则

，又∵PM/

，为

BCE

的中位线，∴=

CE。4即

273PBPM416

。故答案为：

2516【点睛】本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加，可以看看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理本题属于难题。14.已知函数

f

x

3

在0,2上增函数，函数

x

lnxx

，若x1

（

e

为自然对数的底数）时，不等式

g

恒成立，则实数a的值范围是.【答案】【解析】【分析】

5对

f

求导令

ax

解得，使不等式

恒成立，只要使17

．．．．．．．g

min

即可，再根据

ln

的范围无法直接得出，对a分况讨论，分别求

gmax

，g

min

。【详解】∵函数

f

3

x在上增函数，∴

2

ax在上成立，即f

a要使不等式

g

恒成立，只要使

g

min

即可当

x3

时，

ln

，①当

时，

xx

xaxae3

，可以看出，

g∴

g

min

gmax

min

a

，即

2

52

。②当

时，

g

，

g

在

3

上单调递减，∴

g

，

min

gg

min

，即无法成立。5综上所述，实数的值范围是2,。25故答案为：。2【点睛】本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝值内表达式大于等于小于或于和于等于种情况去讨论成段函数的形题属于中等题。二、解题：本大题6小，共计90分.请在答卡指定域内答，解时应写出文说明、证过程或演算骤18

15.已函数

f()3cosx2

)

，（）

fx)

的最小正周期和单调递减区间．（）方程

f()

在区间

[

4

上有两个不同的实数解，求实数m的值范围．【答案）

；

[

7

kZ)

.（）

(

.【解析】分析先利用余弦倍角公式对

(

)

进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为

f()2sin(2

)

借于正弦曲线的性质，利用体角思维求得结果；研函数在给定区间上的性质，求得对应的结.详解）

f2sin

2

3cos2cosx3cos2sin22sin∴

T

2

由

k

x

37kkZ，得

∴

f

的单调递减区间为：

（）

yf

在区间

上的图象与直线y有两个不同的交．由（）：

f

在

7上调减，在,上调，∴

fmin

f

7

，

f

，

19

∴当

时

yf

x

在区间

上的图象与直线y有个不同的交点，即方程f

在区间

上两个不同的实数解．∴m的值范围为．点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应间上的函数图像的走向，从而求得结果16.在公差不为零的等差数列

n

a，a，a，成比数列.124（1）求数列

n

式（2）设

b

，

n1nn【答案）

；（）

n

【解析】【分析】（1）由

a1

，

，a，a8

成等比数列得：

求出

，即可得n

式（2）

n

n

，

S123n

，用错位相减法化简可得

【详解）等差数列

n

d

，由

a，a，a，a成比数列得：124

，解得或d（舍去所以数列

n

式

a

（2）由（）得

a

，所以

b

，所以

，①2S

，②①②得：

1

20

所以

【点睛】本题考查了错位相减法的计算，当遇到等差数列×等比数列的通项公式时，可以通过位相减法来求和。本题属于基础题。17.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾定进行围海造陆以增加陆地面如图两海岸线OB所成角为

23

，现欲在海岸线

OA

，

OB

上分别取点P，Q修海堤，以便围成三角形陆地，知海堤

PQ

长为米.（1）如何选择P的置，使得OPQ的面积最大；（2）若需要进一步扩大围海造陆工程在海堤

PQ

的另一侧选取点，修建海堤MP，

MQ

围成四边形陆地当海堤MP与

MQ

的长度之和为米时，求四边形

MPOQ

面积的最大【答案），

两点距离

O

点都为3千时，最大面为3

3（方米（2）四边形面的最大值为23（方千米.【解析】【分析】（1）设OP，OQ，余弦定理得：

2OPPOQ

，因为

2y2

xycos

xyxy，即，且仅当y23

时取得等号；（2）要求四边形MPOQ面的最大值，只需求面的最大值

在MPQ中，MPPQ

，所以点的轨迹是以P，

为焦点，长轴长10的圆（夹在两海岸线

OA

，

区域内的曲线据圆的几性质，求出M点

PQ

距离的最大值即可得到最大面21

【详解）OP，OQy位千米）在

中，由余弦定理得：

PQOP

，因为PQ，

，

OP，，所以，

2x2xycos

xyxy

，故12，且仅当x时得等号，此时，S

23sin（平方千米3所以，当P两距离O点为千时，面积最大，最大面积为3（2）由（）知，要求四边形面的最大值，只需求MPQ积的最大.

3（平方千米）.在MPQ中MP10

，所以点的轨迹是以，焦点，长轴长10的圆（夹在两海岸线

OA

，

OB

区域内的曲线以PQ所直线为x轴，的垂直平分线为y建立平面直角坐标系，设点M所在的椭圆方程为

2y2a2b

，焦距为由

，

得：

2

2

2

，所以点所在的椭圆方程为

xy16

.设

My0

，则

S

PQy

，因为

y0

，所以

SyMPQ0

（平方千米且仅当

MP

（千米）时取得等号.所以，四边形MPOQ面的最大值为3（方千米）【点睛】本题考查了余弦定理和三角形面积公式，以及椭圆的定义。遇到应用题，找出变量之的相关关系，再根据函数或者不等式等其他方法求解，注意满足实际意义的取值范围。本题属于难题。18.已知直线l为圆B两点

224

的右准线线l与轴的交点记为P右焦点F的直线与椭圆交于，22

（1）设点M在直线上，且满足MF若直线与线段交点D求证：点D线段AB的中点；（2）设点坐标为

，直线BQ与线l交点E，问EA

是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.【答案）证明见解析；（）为值.【解析】【分析】（1线AB的程为

x

MF的程为

y

，故直线的程为

y

3m

x

再联立椭圆方程和直线，据韦达理求出线段AB的点为

3m

42

2

，满足直线方程

y

3m

x

，所以，直线OM与段交D为段AB的点（2当线的率为0时

直线的率不为计算直线的程得点E的坐标为

，纵坐标与点相等，即EP，

【详解）由椭圆方程为

224

知，右焦点坐

，椭圆

C

的右准线

l

方程为

，点坐标①当直线的率存在时，直线OM与段交D即右焦点，此时点D为线段AB中点②又由知直线的率不为0，故设直线AB的程为

xmy

，从而，直线MF的程为

，令x得，点坐标为

23

N,2N,23mxy故直线OM的程为联立方程组2，消去得

2

2

，设

A1

，则1,2

3

，即

yy

，y，24从而，线段AB的中点m3

又线段AB的点的标满足直线方程

y

m

x

，所以，直线OM与线段AB交为段的点综上可知，点D为段AB的点（2）当直线AB斜率为时，点即为，从而，故直线AB斜率不为0时

由（）知，

y2

，y2m2

，所以

y2

y，22

直线

BQ

方程为

52

，又

xmy2

，24

2nnnn2nnnn令

x

，得

22

yy2x22

y12y1

1

，所以点

的坐标为

1

，纵坐标与点A相。即，以

综上可知，EA

为定值0.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，着重于计算直线方程的表达式，根据点的坐依次耐心计算即可。本题属于中等题。19.已知数列

n

项满足Sn

*

（1）求数列

n

式（2）记

，T

是数列

和，若对任意的n*，等式n

T

都成立，求实数

的取值范围；（3）记

cn

，是否存在互不相等的正整数s，，，，t成差数列，且

cm

，ct

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，

，

t

；如果不存在，请说明理【答案）

n

n

；（）

；（3不存

【解析】【分析】（1n2

时S

n

n

与题目中所给等式相减得nn

n

即

ann

又n

时，

21

，解得：

a，所以a1n

n

（2）b化简得

112

，由裂项相消得，T

3

，再根据不等式

kT都成立，化简得：

k

，求出

n2

的最大值即可.25

nnnn2nnnn2，,8（3）假设存在互不相等的正整数，

s

，

t

s满足条件，则有mt

证明其成立的条件与m，t互相等矛盾即可【详解）为数列

n

项S满2

*

，所以当n2

时，

2

n

n

，两式相减得：

2aaan

，即

ann

又n

时，

21

，解得：

a0

，所以数列

n

首项，公比的等比数列，从而

n

n

（2）由（）知：

bn

n

a

n

，所以，

Tn1n

11133

3

，对任意的n

*

，不等式

T

k

1k都成立，即4

，化简得：

k

n2

，令

f

n2因为

f

，故

f

单调递减，所以

f

1，故k8

，所以，实数的值范围是

（3）由（）知：

c

3n

，假设存在互不相等的正整数m，

，

t

满足条件，26

22332s则有cmt

由n

3n

与mt

得

3

33s3t

3t

，即3s，因为

ms

，所以3m

s

因为

3

，当且仅当时等号成立，这与

，

，

t

互不相等矛所以不存在互不相等的正整数m，

，

t

满足条件.【点睛】本题考查了裂项相消法和反证法，遇到通项公式的分式的分母为两项相似的式子相乘，可以看是否能裂成两项，从而在求和时前后相消。用反证法时注意判断最后推出的结果与题目已知条是否矛盾。本题属于难题。20.已知函数

f

，.（1）当a时，函数

f

的单调递增区间；（2）若函数

f

只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）当

0

时，试问：过点

P

存在几条直线与曲线

f

相切？2【答案）,）（3）当

时，过点

有1条直线与曲线

yf

相切；当

时，过点

有2直线与曲线

yf

相切；当

12

，过点P

有直线与曲线

yf

相切【解析】【分析】（1）当a时，

f

xx

3232

，分别求出

yf

在两段区间上的单调递增区间即27

3323在3323在（2）

f

x

x3xx3

3a当x3a

时，函数

y

x

单调递增；当

3x时由f'a

x

得x

a，分和具有不同的大小关系两种情况去判断函数3

f

的单调性，再根据单调性判断零点的个数情况即可。（3）当

x

时，设切点为

ax0

，切线的斜率

k'0

，得到方程x3axx

x

，简得

x

再判断出方程无，即没有符合题意的切

当x

3a

时，同理可得：