高中数学第三章3.1.1空间向量的线性运算课堂导学案新人教选修

3.1.1空向的性算课导三剖一、向量求和的三角形法则【例1】已三棱椎O-ABC中,为△ABC的心OA=a,OC=c,用a,b,c表示OG

.思分:在△中考虑中线OD,然在△中虑G为AD分,分成的比是2∶1,再次使用向量的运算性质即可.解

OG

=

+

=a+=a+

21·（+AC）3211(-OA+-)=(a+b+c)3温提(1)把平面内的三角形法则推广到空间也有

CDDEAF（）用的结论：若AD是△ABC的中线，则有=

12

（AB+）二、在平行六面体中的向量问题【例2】已知行六面体ABCD′B′C′D′,棱AA′的中点点G在角线A上且CG∶GA′=2∶1,设

D

=a,

CB

=b,

CC

=c,试a,b,c表示量

CA,

,

CM

.思分:想用a,b,c表示所给向只需结合图,充分运用空间向量加法和运算律得到解如下图所示(1)

CA

=

CB

+

=a+b.(2)

CA

=

CA+

=a+b+c.

2424=CA+AM=

CB

+

CD

+

12

c.(4)

=

22CA(a+b+c).33温提在平行六面体内经会用到平行四边形法,另外“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量”这一结论也经常使.三、利用向量解决其他问题【例3】证明:面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三.思分:要四面体顶点与对面重心连线共点且到点的距离是它到对面重心的距的三位只在这4条线AG,BG,CG,DG上分别取满足条件的4点H,H,H,然后证明H,H,H,H四重合即可.证:G,G,G,G分是四面体D—中四个面的重（下点HHH,满足AH

1

=

33AG；BH=44

BG

；

=

33；=DG；44则

2

2

=

+

+

BH

2=

34

AG

+

+

34

BG=

31［（+43

31+ADAB+［（+BC+43=0所以，与H重.同理可证H与HH与H重,HHH、是一点且此点到某顶点的距离是它到对面重心距离的三.温提要证明两点共点,只需证明AB=0即可或引入第三个C,明

CA

=

CB

,也可说明点A,B共点各击类演1在正方体ABCD-ABCD中下列各式中运算的结果为向量AC的有（）

①（

+

）

CC②（

AAA）11111③（AB+BB）B11④（

AAB11

）

BC1A.1个B.2个个个答：变提1已知空间四边形（下图AC分别BC的中AB+（BD+）于）

12A.

AG

B.

C.

D.

12

答：类演2已知正方体ABCD—A′C′D如右)点E,F分别是上底面′C′和侧面CD′中心,求下列各题中x、的值AC++(2)AE=ABAD;

)(3)

AF

=

+x

+y

AA

.解：∴x=1.

ACCC

,(2)

AA

11AAAB22∴x=y=

12

.

(3)

AF

=

AD

+

DF

=

AD

+

11+22

AA

,∴x=y=

12

.变提2已知平行六面体OABC—O′A′B′,AOA=a,OB量：

=c,用a,b,c表示下（）

，

BA

；（）(G为面BC′的对角线交).解：(1)主要用平行四边形法,结合图形容易得出=a+b,对2)主要运用三角形法则的推形.

BA

=c-b.OGCGOC

+

12

(

CC

+

CB

)=b+

111(c+a)=a+b+c.2类演3设互不共线的向量a,b,c满足a+b+c=0,明顺次将它们的始点和终点相连结构成一三角形证:

=a,

=b,

CD

=c,则

AD

=

+

+

CD

=a+b+c=0,所以A、D重合即a,b,c可以构成三角形.变提3若G是的心O为间任意一求证:OG=

13

(

OB

).证:为△的