浙江省2023年中考数学总复习全程考点训练17相似三角形（含解析）

PAGEPAGE7全程考点训练17相似三角形一、选择题1．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为3∶2，那么以下结论正确的选项是(B)(第1题)A．∠E＝eq\f(3,2)∠KB．BC＝eq\f(3,2)HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．2S六边形ABCDEF＝3S六边形GHIJKL2．如图，图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点O.对于各图中的两个三角形，以下说法正确的选项是(A)(第2题)A．都相似B．都不相似C．只有①相似D．只有②相似3．以下关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确的选项是(A)A．②③B．①②C．③④D．②③④【解析】①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此项错误；②位似图形一定有位似中心，此项正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，此项正确；④位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故此项错误．4．以下说法正确的选项是(C)A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等边三角形都相似D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似5．以下4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，那么与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)(第5题)【解析】提示：三边之比是1∶2∶eq\r(5).(第6题)6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(2)，点P在四边形ABCD的边上．假设点P到BD的距离为eq\f(3,2)，那么点P的个数是(B)A．1B．2C．3D．4【解析】∵AB＝AD＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(2)，∠BAD＝∠ADC＝90°，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝4，S△BCD＝eq\f(1,2)CD·AD＝2，BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝4.∴△ABD的边BD上的高线长为eq\f(4,\f(1,2)×4)＝2，△BCD的边BD上的高线长为eq\f(2,\f(1,2)×4)＝1.∵点P到BD的距离为eq\f(3,2)，1<eq\f(3,2)<2，∴点P可能在AB或AD上，但不可能在BC或CD上，故点P的个数为2.二、填空题7．线段a＝4cm，b＝9cm，那么线段a，b的比例中项为6cm【解析】设它们的比例中项是x，那么x2＝4×9，x＝±6，(线段是正数，负值舍去)，故填6.(第8题)8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两局部，那么eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2)．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE＝S四边形BCED，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).(第9题)9．如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，假设S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，那么S1__＝__S2(填“＞〞“<〞或“＝〞)．【解析】∵P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，∴PA2＝AB·PB.∵S1＝AP2，S2＝AB·PB，∴S1＝S2.10．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？〞这段话摘自?九章算术?，意思是说：如图，在矩形ABCD中，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD.假设EG＝15里，HG经过点A，那么FH＝__1.05__里．(第10题)【解析】∵EG⊥AB，FA⊥AB，∴EG∥FA.∵HG过点A，∴∠EGA＝∠FAH.又∵FH⊥AD，∴∠GEA＝∠AFH＝90°.∴△GEA∽△AFH，∴eq\f(EG,FA)＝eq\f(EA,FH).∵AB＝9，AD＝7，EG＝15，E，F分别为AB，AD的中点，∴FA＝3.5，EA＝4.5，∴eq\f(15,3.5)＝eq\f(4.5,FH)，解得FH＝1.05.三、解答题(第11题)11．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB(∠A与∠DPB对应)时，求∠APB的度数．【解析】(1)∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，CP＝CD＝PD.∵△ACP∽△PDB，∴eq\f(AC,PD)＝eq\f(CP,DB)，即eq\f(AC,CD)＝eq\f(CD,DB)，∴CD2＝AC·DB.∴当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠BPD，∴∠APB＝∠APC＋∠BPD＋∠CPD＝(∠APC＋∠A)＋∠CPD＝∠PCD＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.12．在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(lx)(x为自然数)．(1)如图①，∠A＝90°，∠B＝∠C，当BP＝2PA时，P(l1)，P(l2)都是过点P的△ABC的相似线(其中l1⊥BC，l2∥AC)，此外还有1条过点P的△ABC的相似线．(第12题)(2)如图②，∠C＝90°，∠B＝30°，当P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的eq\f(1,4)时，求eq\f(BP,AB)的值．【解析】(2)当l1⊥BC或l2⊥AC时，eq\f(BP,AB)＝eq\f(1,2)；当l3⊥AB且与AC相交时，eq\f(BP,AB)＝eq\f(3,4)；当l4⊥AB且与BC相交时，eq\f(BP,AB)＝eq\f(\r(3),4).13．阅读下面的材料：小腾遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．①②③(第13题)小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．(1)∠ACE的度数为75°，AC的长为__3__．(2)参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长．【解析】(2)过点D作DF⊥AC于点F，如解图．(第13题解)∵∠BAC＝90°，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴eq\f(AB,DF)＝eq\f(AE,EF)＝eq\f(BE,ED)＝eq\f(2ED,ED)＝2.又∵AE＝2，∴EF＝1.在△ACD中，∵∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝75°，∴AC＝AD.∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°.在Rt△AFD中，∵AF＝2＋1＝3，∠FAD＝30°，∴DF＝AF·tan30°＝eq\r(3)，AD＝2DF＝2eq\r(3)，∴AC＝2eq\r(3).∵eq\f(AB,DF)＝eq\f(BE,ED)＝2，∴AB＝2eq\r(3).∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝2eq\r(6).(第14题)14．如图是某校足球场右上角的示意图，点B是发点球处，围栏外点A处有一根电杆．利用皮尺无法直接测量A，B之间的距离．请你设计一个方案，测出A，B间的距离，作出图示，说说你的理由．【解析】如解图，构造出△ABC，在CB的延长线上截取BE＝eq\f(1,2)BC，作∠BED＝∠ACB，交AB的延长线于点D，(第14题解)得到△BDE，只要测量出BD的长度，即可得到A，B间的距离．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE，∠BED＝∠ACB，∴△ABC∽△DBE，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(CB,BE)＝2，∴AB＝2BD.(第15题)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE，AD交于点P.求证：(1)D是BC的中点．(2)△BEC∽△ADC.(3)AB·CE＝2DP·AD.【解析】(1)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴D是BC的中点．(2)在△BEC与△ADC中，∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，∴△BEC∽△ADC.(3)∵△BEC∽△ADC，∴eq\f(BC,CE)＝eq\f(AC,CD).又∵D是BC的中点，∴2