数学竞赛试题经济管理类

303n2n3n2n3nn n21n3

6解：记n ，则limnn 6

n21n31

1

22

limn

lim1

n

e

xt1f(u)dud设f(x)在x1。

f(10，f(11，则极限lim

(x1xt1fudud x1fu1

fuduxfxlim

x

3x

limx

6xlimfxfxxf'x1 14t设x14t0

3dy ， dy 14t解：将x14t0dy

ydx1414

4yy

11411414d3y

，

4y14

4y' 简单计算可得 4dx0设f(x有一个原函数是sinxx

xf(x)dx 解：首先由分部积分xf(x)dx

xdf(x)xf(x)

f(x)dx sin

sinx

xcosxsin又f(x

，所以f(x) sinxxf(x)dx2

2

412y

1

绕其渐近线旋转所得旋转体体积V

x轴，V

1x2

dx

2sec

dt 2设zx2ey(x1)arctany，则zz y z2xeyarctanyx1yzx2eyxx1

2，

x2

x2

x

yzz

3 y 设D(x,y)|x||y|1，则积分(x|y|)dxdy DDxy轴及原点对称，而|y|DyxxD上是关于x的奇函数，设D1为积分区域第一象限部分，则(x|y|)dxdyxdxdy|y|dxdy4ydxdy41dx1xydy41(1x)2dx2D D

1 已知级 n1

收敛，则实数的取值范围 0xxsinx~x3，因此10

yex(csinx

cosx)为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程 yxDD1D2D1yxD2yxD1和D2yx对称（1min{xy}e(x2y2)dxdyxe(x2y2)dxdyye(x2y2)dxdy（2 2xe(x2y2)dxdy（1）2aey2dyyxex2dx（1）aey2(ea2ey2)dy（1 2ea2aey2dy2ae2y2dy（1 又ex2dxlimaex2dx

，于是lim2ea2aey2dy0（1 a

lim2ae2y2dy

（1，所以limmin{xy}e(x2y2dxdy

（1

22 五．(本题10分)设a （1）

(a

（2） 数an

n1

n1

1(a )

4tannx(1tan2x)dx

4tannxsec2xdx（2tanxt0上式=

1tndt (1分)，因此S

1a

)

11（1分，于是nnnnn

n(n

i1

n(n(

i(i

n1(a

)lim

1（1分n1

n

1 0证明：令tanxt，则a 4tannxdx0 01

2dttndt

n

（2分的常数0

1（2

1收敛，从而级数

n(n

n

n1n

n110VA的污水量为V6A的水量为VV2005A的含量为5m 2006Am0AmA 解：设tAm(t

dm(t2006t00m(05m0m(Tm0（1

V（1在时间间隔[ttdt内污染物A的流入量为Vm0dtm0dt（1分，污染物A的流出量为6 Vm(tdtm(tdt（1dmm0dtmdtdmm0m（13 1 1

m(te3[C0e3dt0Ce3（2

m(05m0C

m0，因此满足初始条件的特解为m(t0

m0e

（1分，又由m(T)m0

me3

，解得T6ln36.66.6A 七.(本题10分)设fx是二次可微的函数，满足

f01,f'00，且对任意的x0f"x5f'x6fx0x0，都有fx3e2x2e3x证明：首先f"x2f'x3f'x2fx0，令gxf'x2fx，则分，因此分，所以f'x2fx2e3x（2进一步 fxe2x' ， fxe2x2ex' （ 分），所fxe2x2exf023（1，即fx3e2x2e3x（1。如果由方程求解得出fx3e2x2e3x，给2分。 八.(本题10分)利用定积分证明恒等式：C1 C2L

Cn L

111证明：用两种不同的方法计算定积分

dx（4x111

11

1

dx

1Ck

dx

0x

k

k1

n

1k1