定积分的概念和基本性质

关于定积分的概念和基本性质1第1页，共28页，2023年，2月20日，星期三2

例:

求曲线

y=x2、直线

x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。x

yOy=x214.3.1引出定积分定义的例题第2页，共28页，2023年，2月20日，星期三3x

yOy=x21(4)取极限

取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第3页，共28页，2023年，2月20日，星期三4x

yOy=x21(4)取极限

取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第4页，共28页，2023年，2月20日，星期三5x

yOy=x21(4)取极限

取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第5页，共28页，2023年，2月20日，星期三6分割求和近似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；

例:

求曲线

y=x2、直线

x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。第6页，共28页，2023年，2月20日，星期三7

一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：y=f(x)bx

yOaxi-1xi=x0xn=xi第7页，共28页，2023年，2月20日，星期三8例2．设物体沿直线作变速运动，速度为v=v

(t),假定v

(t)是

t的连续函数，求此物体在时间区间[a,b]内运动所走距离

s。tOtn==t0t1ti1

titn1

abti引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程

解：(2)

在第i(i1,2,,n)个时间段[ti1,ti]上任取一时刻i，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离:Dsiv(i)Dti

。(1)

用分点t=ti(ti1<ti,i1,2,,n-1)把[a,b]分割成n个小的时间段，第i个时间段为[ti1,ti]，长度记为Dti

ti

ti1。(3)

将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间[a,b]内所走距离s的近似值：(4)记lmax{Dt1,Dt2,,Dtn}，取极限l→0，则物体在时间区间[a,b]内运动的距离：第8页，共28页，2023年，2月20日，星期三9分割求和近似替代取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”或以“不变代变”求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程实例一：求曲边梯形的面积第9页，共28页，2023年，2月20日，星期三104.3.1定积分的定义定义4.3.1:区间任意分成n份,分点依次为将在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点ci,作乘积无论区间的分法如何,ci在[xi-1,xi]上的取法如何,如果当最大区间长度第10页，共28页，2023年，2月20日，星期三11（续上页）在每一个小区间[xi-1,xi]上任取一点ci,作乘积无论区间的分法如何,ci在[xi-1,xi]上的取法如何,如果当最大区间长度趋于零时和数σ的极限存在,那么我们就称函数f(x)在区间[a,b]上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数σ称为积分和.第11页，共28页，2023年，2月20日，星期三12积分上限积分号积分下限积分变量定积分的定义式：

[a,b]—称为积分区间被积函数定积分的相关名称：f(x)dx—称为被积表达式.第12页，共28页，2023年，2月20日，星期三13注意:定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在[a,b]上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间[a,b]所确定的值.第13页，共28页，2023年，2月20日，星期三14

按定积分的定义，有

(1)

由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为

(2)

设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义式：第14页，共28页，2023年，2月20日，星期三15规定:第15页，共28页，2023年，2月20日，星期三16定积分的几何意义

y=f(x)

a

bOxyS=第16页，共28页，2023年，2月20日，星期三17定积分的几何意义yxOabSy=f(x)第17页，共28页，2023年，2月20日，星期三18函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示为直线x=a,x=b,y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。定积分的几何意义S1S2S3ab第18页，共28页，2023年，2月20日，星期三19课本例题：例3：利用定积分几何意义验证：例4：在区间[a,b]上，若f(x)>0,f’(x)>0,利用定积分几何意义验证：定积分的几何意义第19页，共28页，2023年，2月20日，星期三20

性质1：4.3.2定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x)(i=1,2,…,n)在[a,b]内可积，则有第20页，共28页，2023年，2月20日，星期三21

性质2：4.3.2定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若f(x)在[a,b]上可积，则cf(x)在[a,b]上也可积（c为常数），且满足第21页，共28页，2023年，2月20日，星期三22

性质3：积分的可加性定理4.3.2定积分的基本性质设f(x)在[a,b]内可积，若a<c<b,则f(x)在[a,c]和[c,b]上可积；反之，若f(x)在[a,c]和[c,b]上可积，则f(x)在[a,b]内可积，且有第22页，共28页，2023年，2月20日，星期三23

性质4：积分的可加性定理4.3.2定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则第23页，共28页，2023年，2月20日，星期三24

性质5：4.3.2定积分的基本性质设f(x)和g(x)在[a,b]上皆可积，且满足条件f(x)≦g(x)，则有第24页，共28页，2023年，2月20日，星期三25

性质6：4.3.2定积分的基本性质第25页，共28页，2023年，2月20日，星期三26

性质7：4.3.2定积分的基本性质若函数f(x)在[a,b]上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在[a,b]上可积，则第26页，共28页，2023年，2月20日，星期三27

性质8：定积分中值定理4.3