【高一衔接】数学九年级升高一年级函数的概念与关系式

主题函数的概念与关系式教学内容1.加深理解函数的概念；2.掌握求解函数定义域的基本方法.（以提问的形式回顾）1.初中阶段我们学过哪些函数？请分别画出他们的图像。我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数。也会有学生说，常值函数也是可以的。2.对于二次函数当x值确定了，y值是否也唯一确定？，如果y值确定了（y>0），是否x值也唯一确定？当x值确定了，y值就唯一确定。但y值确定了，x值并没有唯一确定。探究一：一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标.炮弹的射高为，且炮弹距离地面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的规律是：思考1：这里的变量的变化范围是什么？变量的变化范围是什么？试用集合表示？答：思考2：高度变量与时间变量之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？答：从问题的实际意义可知，对于数集中的任意一个时间，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的高度和它对应.所以它们的对应关系是函数。其中是自变量。探究二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2022年的变化情况.2020255101530图12625tSO197919811983198519871989199119931995199719992022思考1：根据曲线分析，时间的变化范围是什么？臭氧层空洞面积的变化范围是什么？试用集合表示？答：思考2：时间变量与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？答：对于数集中的任意一个时间，按照图中曲线，在数集中都有唯一确定的臭氧层空洞面积和它对应.而数集中的某些值却有多个和它对应，并不唯一确定。自变量是.探究三：思考1:从集合与对应的观点分析，上述两个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？答：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的和它对应，记作.思考2:上述两个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？答：设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中，叫做自变量，与值相对应的值叫做函数值.思考3:在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？答：自变量的取值范围叫做函数的定义域；函数值的集合叫做函数的值域.思考4:在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？答：值域是集合的子集.思考5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？答：一个函数由定义域、对应关系、值域三个部分组成，称为函数的“三要素”；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；两个函数相等的条件是定义域相同，对应关系完全一致.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.求下列函数的定义域：；；；解：（1）函数的定义域由不等式组所确定，解不等式组，得：所以函数的定义域为函数的定义域由不等式所确定，解不等式，得：所以函数的定义域为函数的定义域由不等式组确定，由，得：，由得：，所以函数的定义域为。总结：求函数的定义域时要注意以下几点：①分母不能为零②根号里面的式子应大于等于零。试一试：求下列函数的定义域：（1）（2）解：（1）解方程，得所求定义域为。（2）解方程组，得所求定义域为。例2.已知，求的值.解：试一试：解：当时，当时，。例3.已知.（1）求①；②；③；（2）与是同一函数吗？解：（1）；；（2）不是同一函数，因为对应法则不同.试一试：已知，求.解：，∴.例4.设函数,，求和函数.解：对于的定义域，由，得到，对于可得，∴的定义域为.∴.（求函数的和或者积时，要注意函数的定义域是取交集所得.）试一试：设函数,求.解：对于的定义域，由，得到，对于由，可得，∴的定义域为.∴.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.函数y＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)的定义域是()A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．[0，1] D．{－1，1}答案：D2.函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数有()A．必有一个 B．一个或两个C．至多一个 D．可能两个以上答案：C3.函数f(x)＝eq\f(1,ax2＋4ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是分析：定义域为R，说明x取任意实数，分母都不为零，也就是说的函数图像与x轴没有交点，且过（0，3）点。注意讨论a=0的情况。答案：4.已知，求证：，.解：，，∴，即证.5.求一次函数f(x)，使f[f(x)]＝9x＋1.设f(x)＝ax＋b，则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋1，比较对应项系数得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9,ab＋b＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝\f(1,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝－\f(1,2)))，∴f(x)＝3x＋eq\f(1,4)或f(x)＝－3x－eq\f(1,2).本节课主要知识点：函数的三要素，定义域求解方法。【巩固练习】1.设函数,若,则=.解：，，∴（舍）；，，∴，∴；，.综上.2.求下列函数的定义域．(1)y＝x＋eq\f(1,x2－4)；(2)y＝eq\f(1,\r(|x|－2))；(3)y＝eq\r(x2＋x＋1)＋(x－1)0.解：(1)要使函数y＝x＋eq\f(1,x2－4)有意义，应满足x2－4≠0，∴x≠±2，∴定义域为{x∈R|x≠±2}．(2)函数y＝eq\f(1,\r(|x|－2))有意义时，|x|－2>0，∴x>2或x<－2.∴定义域为{x∈R|x>2或x<－2}．(3)∵x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴要使此函数有意义，只须x－1≠0，∴x≠1，∴定义域为{x∈R|