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文档简介

/04/4/第16讲极值点偏移问题知识与方法对可导函数而言,极值点是其导函数的零点.对于单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,出现了极值点的左右偏移,此类问题称为极值点偏移问偏移问题及其解法.1.极值点偏移问题函数满足定义域内任意自变量都有,则函数关于直线对称;可以理解为函数在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若为单峰函数,则必为的极值点.如二次函数的顶点横坐标就是极值点,若方程的两根为,且刚好有,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移,如图1.然而很多单极值函数,由于极值点左右的“增减速度”不同,函数图象不具有对称性,常常有极值点的情况,出现了极值点的左右偏移,如图2.极值点偏移:已知函数是连续函数,在区间内只有一个极值点,,且在与之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有这种情况称为极值点偏移.若单峰函数的极值点为,且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或,则函数极值点左右的变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足,则与极值点必有确定的大小关系.若,则称为极值点左偏;若,则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边,我们称之为极值点左偏.2.极值点偏移问题的一般题设形式(1)函数存在两个零点且,求证:为函数的极值点):(2)函数中存在且,满足,求证:为函数的极值点;(3)函数存在两个零点且,令,求证:;(4)函数中存在且,满足,令,求证:.3.极值点偏移的处理策略(1)对称化构造;(2)齐次化构造;(3)利用对数平均不等式;(4)变更结论;(5)加强俞题.典型例题型【例1】已知,若有两个零点,求证:(1);(2).【例2】已知函数,且(其中为自然对数的底数).(1)求函数解析式;(2)判断的单调性;(3)若有两个不相等实根,证明:.型【例3】已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若,设为的导函数,若函数有两个不同的零点,求证:.【例4】设函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若函数?两个零点.(1)求满足条件的最小正整数的值;(2)求证:.加强命题型【例5】已知,其中是自然对数的底数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)判断函数极值点的个数,并说明理由;(3)当函数有两个不相等的极值点时,证明:.【例6】函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)当时,若与的图象有两个交点,试比较与的大小(取为,取为,取为)非标准极值点偏移问题所谓“换元转正”,指对于非标准的极值点偏移问题,通过换元等手段化为标准的极值点【例7】已知函数,满足,求证:.强化训练1.已知函数(1)求函数的单调区间和极值;(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当时,;(3)如果,且,证明.2.已知函数fx=ex+3ex+2x-aa∈R有两个零点x1，x23．已知函数fx=ex-ax(a为常数)，f'x是fx的导函数．

(1)讨论fx的单调性；

(2)当a>0且x>0时，求证

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