切线问题（解析版）-学霸养成2022年高考数学必杀技系列之导数

专题9切线问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，用导数研究曲线的切线是一个主要命题点，内容主要涉及求曲线的

斜率与方程、曲线的条数、公切线问题，由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参

数范围等.

二、解题秘籍

(-)求曲线在某点处的切线

求以曲线上的点(xo«xo))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数贝X)的导数/(X)；

②求切线的斜率/(xo);③写出切线方程y—/(xo)=/(xo)(x—刈),并化简.

【例1】(2022届天津市静海区高三上学期开学摸底)已知函数/(x)=xlnx+2,g(x)=x2_〃a.

(1)在〃x)点(1J⑴)处的切线方程；

(2)求函数〃x)在g+2］(f>0)上的最小值；

(3)若存在不€%e使得，矿5)+8&)22与+加成立,求实数m的取值范围.

【分析】(1)由〃l)=2J'(x)=lnx+l,〃l)=l,

得函数在处的切线方程为V-2=x-l即x-y+l=0.

(2)/'(x)=hr+l(x>0)令/(x)=0.解得x=:,则时，尸(x)>0,函数单调递增

,0<x<，寸J'(x)<0,函数f(x)单调递减

产24

(3)先证明x-lnx>0恒成立，故mVxe-,e恒成立,

■-皿e

(2x-2)(x-lnx)-(x2

令/2(x)=————,xe人」〃((x-l)(x+2-21nx)

'Jx-\nxX)=-------------------------T

(x-lnJi)

因为XE-,e，所以x+2>2221nx，即x+2—21nx>0、

e

所以当xe%1)时,〃(司<0,/1(到在上单调递减,

当xw(l,e］时,”(另>0,力(力在(l,e］上单调递增,

J__2

〃斗产=匕<0,/)=・>0,

\e)1+1e+片')e-\

e

所以〃（力…=力,）=?筌,所以根《幺匚§

（二）求曲线过某点的切线

yo=f（X。）»

求曲线过某点的切线，一般是设出切点（xojo）,解方程组《上凶

得切点（XOJO）,进而确定切线方程.

（松）

【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数/（x）=e*--lnx.

（1）求过点（0,1）与曲线y=/（x）相切的切线方程.

(2)若a>0,函数〃(x)=f(x)-a(x—l)有且只有一个零点%,证明：为«1,2).

【分析】⑴设切点■,〃％)),则"/)=e3-ln七.

因为尸(x)=e'T-L所以左=/'W=e"-',

X工0

所以切线方程为y_(e*T_lnXo)=(e*T-L](x_Xo),

将点(0,1)代入，得伉-l)e"+ln七=0.%=1,切点为(1,1)斤0,故所求切线方程为y=L

(2)由/z(x)=eJ-Inx-冰+〃得=e"T------a.

先证明ex>x+l,

所以〃'(a+l)=e“----------a>a+\-----5-----a=\>0.

。+1。+1。+1

/7'(力=6--__0在(0,+8)上单调递增,且/(1)=_。<0,

所以存在唯一的r°e(l,l+a),使得“&)=0,即y一1一；一。=0.

当x«O,fo)时,〃(力<0,网龙)单调递减;当X«w3)时,“(力>0,力(力单调递增.

所以当X=%时,h{x)取得最小值，且/z(l)=l>o.x>ln(x+l)^x-l>lnx^-=l时取“="，则x>Inx,所以

/i(x)>e1-1-(a+1)x+a,ex-1>x=>er，>|^>et_2y=>e'_1Sy,

所以〃(x)>?-(〃+l)x+a=；x[x-4(a+l)]+a,贝1J/?[4(a+l)]>a>0,

于是要使力⑺有唯一的零点，则〃&)=0=/7(M)，即6"='+",

所以M%)=-―足/-5+2a=0(3>1).

玉)

设夕")=2-111》-分+24,则9(力在(1,+8)上单调递减.

因为9(1)=1+a>0./(2)=Q-In2<0.

所以l<x0<2,即为«1,2).

(三)求曲线的切线条数

求曲线切线的条数一般是设出切点&/d)),由已知条件整理出关于，的方程，把切线条数问题转化为关于，

的方程的实根个数问题.

【例3】(2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数/(x)=lnx+@,a€R.

x

(1)讨论/*)的单调性；

(2)若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线y=/(x)相切，求。的取值范围.

【分析】(1)f'(x)=--=^.x>0,

XX-X

当4K0时,/*)在(0,+00)上单调递增；Q>0时,f。)在(0,a)上单减，在(。,田)上单增；

(2)设切点横坐标为方,则切线方程为y=—-4x+lnx0+¥-l,代入(0,0)得lnx°+—-1=0,即

、/XQJXQXg

2a=x()-x0InxQ，关于x0的方程2a=x0-x0\nxQ在(0,+oo)内恰有两个解，

令g(x)=x-xlnx,g(x)在(0,1)上单增，在(1,+<»)上单减，

又g(D=l,当xf0时,g(x)f0,且g(e)=0,故当0<2a<l时，方程g(x)=2a有两个解，所以0<“弓,故。的取

值范围为(0《).

(四)曲线的公切线

研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使这两个方程表示同一条直线.

【例4】已知函数/(x)=ln(x+l),g(x)=7

(1)若直线l-y=kx+h既是曲线产/(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，求直线/的方程；

(2)证明：x\nx<ex-x1-\.(参考数据：0.69<In2<0.7)

【分析】(1)f'{x)=-,g'(x)=ex~',

x+1

11x

函数〃X)在点(和/5))处的切线方程为：y-ln(x,+l)=一^x-xj囱jyn--x+ln(x,+l)、，

X,+1X(+1xx+1

函数g(x)在点(々,g区))处的切线方程为：y-*7=/T(X_%),即y=e^-'x+(l-x2),

因为直线/：丫=丘+。既是曲线y=/(x)的切线，也是曲线>=g(x)的切线，

X+1

所以,

ln(x,+1)

将3-1=一如(占+1)代入得In®+1)一言'=eF+D.g+l),g|Jxjna+l)=x,,

所以苫=。或％=e-l,

若%=0,则迎=1,此时直线/的方程为：y=x；

若西=e-l则X2=。,则此时直线/的方程为：y=~x+~,

ee

综上得：y=x或尸L+L

ee

(2)先证明InxWx—1,所以xlnxWx?一x,

设F(x)=e*-2x?+x-l(x>0)”则/'(x)=e*-4x+1,令G(x)=F(x)=e*-4x+1,则G(x)=ex-4,

令G(x)=0,得x=In4,

所以存在对天使得尸(x)满足尸(x)在(0,西)和*2,+8)上单调递增，在(X"2)上单调递减，

所以11m=min{F(0),F(x2)}=min{0,歹(七)},

又因为F(x,)=e*-2x；+x2-1=-2%j+5x2-2,且ln4<占<2,

因为y=-lx2+5x-2在(In4,2)上单调递减，所以-2x；+5々-2>0,所以尸(%)>0,所以

F(x)=e'-2x2+x-1>0.HPex-x2-l>x2—x>xlnx,BPxlnx<ex-x2-1.

(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围

此类问题或判断符合条件的切线是否存在，或根据切线满足条件求参数的值或范围，求解思路是把切线满足

条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程根的情况或函数性质去求解.

【例5】(2021届北京人大附中高三考前热身)已知函数/(力=--2犬.

(1)求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程；

(2)是否存在.多«0,2),使得曲线y=〃x)在点(占,/(百))和点仁,〃毛))处的切线互相垂直？说明理由.

(参考数据：e«2.72,ln2®0.69)

【分析】由(1)广(0)=1,"0)=1,得切线方程为y=x+L

⑵令g(x)=/<x)=e*-4x,

若存在为,赴«0,2),使得曲线y=/(x)在点G，f(xJ)和点(wJH))处的切线互相垂直，则存在

%,W«0,2),g(%>g(N)=T.

8，(力=产-4,令夕(力=0,解得：x=ln4e(O,2).

所以g(x)在(O.ln4)上单调递减，在(In4,2)上单调递增.

2

g(0)=l,g(ln4)=4-41n4«-1.42.1g(2)=e-8®-0.6016

故g(x)e[-L42,l),所以存在玉,毛e(O,2),使得8(办"仇)=-1,例如8(为)=-|送(当)='1.

5o

三、典例展示

【例11函数f(x)=Hn(x+l),aeR.

(1)当。=1时,求曲线y=/(x)在x=3处的切线方程；

(2)若对任意的xe[0,4w),都有恒成立，求实数。的取值范围；

(3)设p(x)=/(%T，a>0,若为曲线y=P(x)的两个不同点，满足0Vxi〈5,且

训«与,马),使得曲线y=p(力在工处的切线与直线AB平行,求证：匕<七三.

【解析】(1)当a=l时,〃x)=ln(x+l),得出切点(3,ln4),

・••/'(x)=」7，.•・切线的斜率k=/e)=；

•••曲线y=/(x)在X=3处的切线方程为:y—ln4=；(x-3),

化为x—4），+81n2—3=0.

(2)对任意％c[0,*o)/恒成立，即”in(x+l)-元2.0恒成立.

令=〃ln(x+1)-x+—x2=-...l+x='+"--(x0).

2JCI11xI1

①当a.l时,"(x)..O恒成立,.•・函数〃(x)在x«0,+o))上单调递增,

・•.h[x)..妆0)=0,a.A时符合条件.

②当。<1时，由/(X)=0,及X..0,解得％=及1-4.

当x£仙Jl-u)时、/(X)<0；当x£(Jl-a,+8)时,"(x)>0.

则/心)在倒,单调递减，在(7iK,+8)单调递增.

所以A而(x)=〃(J心卜〃(o)=o,这与，(x)..0相矛盾，应舍去.

综上可知的取值范围为[L+CO)

P(x)=〃x_l)=ahu，3B="hU2_H叫.•_•p,()=—,

(3)%3

X)X]X

/、Hnx,-〃lriX[a

2L

•••曲线y=P(X)在鼻处的切线与直线钻平行,，------=-,

x.+工a\nx^-a\nx.2a

要证〈一•即证明:

变形可得In%>2(”xJ=k_],令三=t，则t>}

X

X]x2+x1三十]\

王

要证明的不等式等价于hv>当?o(r+l)hv>2(/-1).

构造函数q(£)=(，+l)ln/—2(Z—1),(Z>1)./(z)=In/4------2=In/4---1(t>1)

ii

则4"«)=:孑=甘>0,.*«)在区间(1,+8)上单调递增.

g'G)>>(1)=0,;.函数g(f)在区间(1,2)上单调递增,

.•.4«)>4(1)=0,:应«)>0在(1,+8)上恒成立.

/.(r+l)lnr>2(r-l)在(L+8)上恒成立，即％,<工!上成立.

【例2】(2021届安徽师大附中高三5月最后一卷)已知函数，(x)=e，,g(x)=lnx.

(1)若曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为丫=依+"且存在实数"?，〃,使得直线y-m=k(x+〃)+b与曲

线y=g(x)相切，求帆+〃的值；

(2)若函数以X)=X+afM(gM-x)有零点，求实数”的取值范围.

【解析】⑴f'M=e\f\O)=1,/(0)=1,

所以曲线y=/(x)在X=o处的切线方程为y=x+i,所以左=6=1,

则y-m=k(x+n)+y=x+m+n+1.

g'(X)=',则曲线y=g(x)在点(%,Inj)处的切线方程为y-InX。='•(x-X。),即y='x+In-1,

X玉)玉)

1.

从而一=1,皿玉)-1=加+〃+1,所以%=1,加+〃=-2.

冗0

(2)由题意知8(x)=x+aex(\nx-x),xw(0,+oo),

函数讽x)有零点，即奴幻=()有根.

当a=0时必x)=x>0,不符合题意.

当a工0时，函数9(x)有零点等价于g="11-0有根.

设h(x)=

靖1

则〃(幻==—u-l)(x+1-Inx),iSS(x)=x+1-Inx,则s'(x)=1一—,

xx

当xw(0,1)时,s'(x)<0,s(x)单调递减,

当X€(1,+00)时,s'(x)>0,s(x)单调递增，所以s(x)..s(l)=2>0,

所以“(X)=0仅有一根x=1,且当xe(0,1)时,"⑴<0,h(x)单调递减,

当xe(1,+8)时.h'(x)>0.h(x)单调递增，所以h(x)>h(y)=e.

数形结合可知，若函数夕(x)有零点，则L..e,从而0<a,L

ae

【例3】(2021届西南名校联盟“333”高三5月诊断)已知函数〃x)=d-3x

(1)求函数/(x)在［0,2］上的值域;

(2)若过点(2/)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求/的取值范围.

【解析】(1)•.•1f(x)=3x2—3=3(x+l)(x—1),

当xw(O,l)时,/'(x)<0J(x)单调递减;当xw(l,2)时,r(x)>0J(x)单调递增,

.•.)(X)在x=l处取得极小值为/(I)=-2,

又〃0)=0,”2)=2,，〃x)在［0,2］上的值域为［一2,2］；

(2)设切点为(如毛3一3%),则切线斜率为々=/'(%)=3片—3.

所以切线方程为y-(£-3xo)=(3x；-3)(x-x。)，

又切线过点(2,f),则"侈一3%)=(3%一3乂2一％),

整理得2x：-6x；+6=-f,

则曲线有三条切线方程等价于g(x0)=-6为2+6与y=-有三个交点，

g'(与)=6%2-侬=6%(x0-2),

令g'(%)>0解得%<0或%>2,令/(%)<0解得0<x()<2,

.♦遭(不)在(9,0),(2,心)单调递增,在(0,2)单调递减，

・•・g(M)在x=0处取得极大值g⑼=6,在x=2处取得极小值g(2)=-2,

要使g(与)与丫=-有三个交点，则需满足-2<T<6.解得-6<f<2.

四、跟踪检测

1.(2021届】重庆市巴蜀中学高三适应性月考)函数/(x)=gx3-ar2+。，g(x)=a2\nx+m.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当a>0时，设h{x}=/。),力(x)与g(x)有公共点，且在公共点处的切线方程相同,求实数m的最大值.

133,4、

【解析】(1)/(乃二万/一^^+尻^^!^厕f(x)=］X-2ax=^x\x--a\

当a=0时,/。)=|犬20,所以/(x)在R上单调递增；

44

当av0时，令//(X)>0=>x>0°!cx<-67,/(%)<0=>-«<%<0,

所以f(x)在上单调递增，(3,0)上单调递减,(0,+8)上单调递增；

，44

当Q>0时，令f(x)>0=>x>—6Z^x<0,fXx)<0=>0<x<—a,

所以〃X)在(-8,0)上单调递增.(oga)上单调递减.(［〃,+«>)上单调递增；

综上所述：当。=0时,f(x)在R上单调递增；

当〃<0时,/(X)在［-8,豺上单调递增,4,0)上单调递减,(0,+8)上单调递增；

当a>0时,/(x)在(-8,0)上单调递增,(0,ga)上单调递减,(3,+8)上单调递增.

(2)〃(x)=/(x)=|x2-2ox.因为〃(x)与g(x)有公共点，设公共点为(七,％),

22

所以h(x)=3x-2。,g'(x)=三，则证-2a=幺,且X。>0,a>0，解得%=a,

Xx0

3°

又因为,苍-2%=/[”与+也则加二一—cr-crIna,a>0

2

令(p(x)=-^x2-x2Inx(x>0),(p\x)=-2x(1+Inx),

当X€(0,j时,”(x)>0:当X噌,+0时，夕(x)<0,

故奴x)在(。$)上单调递增上单调递减，

所以=/->!=A，故实数m的最大值为1.

2e~2e-

2.已知函数/(x)=(x+a)2R.

(1)若直线y=2双是曲线丁=f(x)的切线，求a^-h的最小值;

(2)设匕=1,若函数/(x)有两个极值点占与々,且占<三,证明"*)一"幺)>«---

苔一毛a

【解析】(1)设切点(毛,%),

由fM=(x+a)2+〃nx得广⑴='一+24'+"

x

因为切线为y=2依，故2.%」2cMo=2a.所以。=_2x：.

又因为(/+a)2+〃lnx(,=2axQ,

所以/=-x：-Olnx。=-x：+2x；lnxo20,所以为之五，

因此a?-0=x：+2x：In/.

令g1)=片+2*lnx0,x0>5/e,

则g'(%)=4%+4/In%>0对/w［石+8)恒成立，

所以g(%)在/e［点+8)上单调递增，则g*g(五)=2e,

所以-b的最小值为2e.

(2)因为r(x)=2尸+2"*+1

X

若函数f(x)有两个极值点引与

△=4。2-8>0

则不>0,x2>0,-xt+x2=-a，所以夜;

1

y

因此/⑷-/⑸=X：+2⑼-(¥+23)+In占-In々=“+'百一丁》

X|-x2

2+1

=a+1%l+X2ln^=a+」_步—E五.

(-a)x}-x2x2(-«)A_1七

工2

令五=心(0<r<1),

则以上但t+\

玉一工2

，一1

构造函数g«)=ln，-2"—,(0<r<l)

r+1

1-214

则，")=7一2了万=：+Q可>°在’e(0，l)上显然恒成立，

所以g«)在f€(0,1)上单调递增，则g⑺<g(l)=0；

所以Inf<2匕L即上匕nf>2,

7+1t-\

i—,1/+112....1/+1.2

又4<一及,贝n(J-------Inr>一一，因此。-------lnt>a一一

ar-1aa，-1a

1r+1,2

所以小)-"％)="-------In/>a——

玉一赴at-\

3.(2021届四川省遂宁市高三三模)已知函数/(x)=e*-x2+]nx,g(x)=2-e*-lnx.

(1)设曲线y=fW在点(1,7(D)处的切线斜率为《，曲线y=g(x)在点(1,g⑴)处的切线斜率为代，求K+b

的值;

(2)若版x)=/(x)+g(x),设曲线y=/z(x)在点。,人⑺)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S⑺，求S⑺

的最小值.

【解析】⑴因为小―+叱所以小"-2七,

故匕=/'(l)=eT；

乂因为8。)=2-〃-111尤,所以8'(外=-6"-2,

x

故自=g1l)=_e—l,

所以K+&=-2

(2)h(x)=/(x)+g(x)=2-J,(%>0),"(x)=-2x，则h\t)=-2t,

又点(f,咐))为(。2-5),

所以y=h(x)在点(f,2-r)处的切线方程为y-(2-/)=-2r(x-t),

故当x=0时,y="+2；当y=o时,x='+2

2t

所以S⑺=；(/+2).*+2/+4/+4

-----=----------,(z>0)

2|”41rl

则,,,s_⑺zx=/^+^4/-+4=上1/3+4),+47、)

则"」自\4，］一姓士1_(3*-2*+2)(也一础"+©(产+2)

由S")>0得f>如,由S'")<0得0<，<迈，

33

所以S(r)在(0,当］上单调递减，在手,+8上单调递增，

所以当t=业时,SQ)取得极小值，也是最小值S8限

3~9~

故所求最小值为座.

9

4.已知函数/(x)=ln(x+，w)-Ae-*.

(1)若/(x)的图象在点(1,/(1))处的切线与直线x-2y=0平行，求m的值;

(2)在(1)的条件下,证明：当x>0时,/(x)>0；

(3)当机>1时，求f(x)的零点个数.

【解析】(1)因为f(x)的图象在点(1J⑴)处的切线与直线x-2y=0平行,

所以尸(1)=；，

因为f'(x)=」一+(xT)eT,

x+m

所以/<1)=解得机=L

(2)由(1)得当，〃=1时,/''(x)=^7+(x-l)ef—:、J,

x+1(x+l)e

当x>0时，因为/'(x)>0,所以〃x)在(O,+e)上单调递增，

因为"0)=0,所以〃x)>0在(0,+的上恒成立.

(3)由(2)可知当且x>0时,/(x)>ln(x+l)-次—>0,

即/(x)在(0,+8)上没有零点，

/、八，/、1/、,QX

当x«f，0)时，/(x)=0+(xT)e'=—~

令g(x)=e*+犬2+(机_1)犬_m.X€(一n0),

贝ijg'(x)=e、+2x+m—L单调递增，

g,(0)=/n>0,

所以g'(x)在(TH,0)上存在唯一零点，记为x0,

且XW(T”,Xo)时,g'(x)<0,xw(%,0)时,g'(x)>0,

所以g(X)在(-%为)上单调递减，在(%,0)上单调递增，

因为，">1,

所以g(TM)=e-m>0,g(0)=l-加<0,

因为g(%)<g(o),所以g(%)<o,

所以g(x)在(一派动上存在唯一零点大且在(%,0)上恒小于零,

故xe(-/n,再)时,g(x)>0：xe(%,0)时,g(x)<0.

所以f(x)在(-犯x)上单调递增，在(X,0)上单调递减，且〃0)=lnm>0,

所以/(X)在(-%o)上至多有一个零点,

取9e(-w,0),

则有/(WvlMw+mH""』。.

所以由零点存在定理可知f(x)在(-〃?,0)上只有一个零点，

又火0)不为0,所以/(X)在(-机内)上只有一个零点.

5.(2021届辽宁省高三临门一卷)已知函数/(》)=；》2-3》,8(犬)=(1-4)x+24111》,“€鼠

(1)若函数〃(x)=/(x)+g(x)在(0,1)上单调递增，在(|,2)上单调递减,求实数a的取值范围；

(2)设曲线y=/(x)在点尸处的切线为/，是否存在这样的点P使得直线/与曲线y=g(x)(其中。=1)也相

切？若存在，判断满足条件的点P的个数，若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为/i(x)=/(x)+g(x)=gx2-(a+2)x+2alnx,

则h'(x)=x-(a+2)+^=(x-2,x-a)

①当aVO时，若0<x<2,则/'(x)<0,此时函数f(x)单调递减，

若x>2.则/'(x)>0,此时函数〃x)单调递增,不合乎题意；

②当0<a<2时，由/'(X)v0,可得a<x<2,由/'(x)>0,可•得0<x<a或x>2.

此时函数的单调递增区间为(0,。)和(2,位),单调递减区间为(〃,2),

因为函数力(龙)在(0,1)上单调递增，在(|,2)上单调递减，则14a41；

③当a=2时,对任意的x>0,h\x)=(I)*20,则函数f(x)在(0,+助上单调递增,不合乎题意；

X

④当a>2时，若0<x<2,则/'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,不合乎题意.

'3'

综上所述，实数a的取值范围是1，-;

(2)设尸(x°,gx；-3xo),因为尸(x)=x—3,所以「(%)=%—3.

所以直线/的方程为y-gX：+3玉)=5-3)(x-/,即y=(%-3)x-g宕.①

假设直线/与y=21nx的图象也相切，切点为&,21nxJ.

?2/、

因为y'=K,所以直线/的方程也可以写作y—21nxi=—(x-xJ,

XE

2

即y=-x+2\nx1-2.(2)

百

227i<?A

又因为％-3=—，即/=一+3,代入①式得直线/的方程为y=4+3

为X芭21占｝

\(2Yif?Y

由①②62InX]—2=——F3，即21nxl—24——F3—0.

2($)2($)

z\2

](2

令*9(百)=2InN—2H——F3，玉>0,

2(M1

9(272

所以“(xj=——^3•--=—(x^—3%j-2).

为1%Axi；xi

令。(xJ>0,得%>土乎,令/(与)<0.可得0<%<丑烂.

所以夕a)在(o,电政］上递减，在(卫普,+e)上递增，

即。(认T”卜仙智L号I>0,

所以以与)>0在(0,y)上恒成立，即以西)=0无解,

故不存在这样的点尸使得直线/与曲线y=g(x)(其中a=l)的图象也相切.

6.(2021届安徽省六安市高三下学期适应性考试)已知函数f(x)=xlnx-奴2+x(aeR).

(1)证明：曲线y=〃x)在点(1J0))处的切线/恒过定点；

Q

(2)若“X)有两个零点再，々,且Xz>2为,证明：%,x,>—.

e

【解析】(1)函数/*)的定义域为(0,田),由f(X)=xlnx-ax2+x，得f'(x)=Inx-2办+2,则-⑴=2(1-«).

乂/⑴=1—a,则曲线y=/(x)在点处的切线/的方程为y—(l-a)=2(l-a)(x-l),即

y=2(1-a)［x-；),显然恒过定点］；,o)

、、Inx1lnx91

(2)若fM有两个零点Xj,x2则XjIn%-ax-+Xj=0,x2Inx2-+/=。,得。=----+—=---+一.

八，In1ln(rx.)1

因为工2>2芭>0,令工2=枕|«>2),则---+—=----+—

X{Xjtxxtx{

得In玉=-1,则Inx=ln([X1)=Inf+In玉=-1,

t—\2t-\

1/\i,In/.rlnr〔(r+l)lnr.

所以ln(xlx2)=lnx1+lnx2=-----1+------1=---------2.

/—1t—\t-\

,.(Z+l)Int—/111—2In/+1—

令/?(/)=--------2(r>2)，贝]i6,(力=_________t_.

I(r-1)2

令e(r)=_2In11_1Q>2),则(p\t)=--+\+\="」)>0,

tttt

3

则被t)在(2,+«))上单调递憎，所以(p(t)>以2)=--21n2>0.

所以//(f)=严)>0,则h(t)在(2,田)上单调递增，

(，一1)

QQO

所以/?(/)>〃(2)=31n2-2=In/,即In(xw)>In丁,故x^x>—.

ee2e

7.已知函数/(x)=皿尤+,+。.

(1)函数/(x)的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数。的值；否则请说明理由;

113

(2)若函数/⑶恰好有两个零点X,毛(0<X<W),求证：-+—>2-

【解析】(1)函数〃x)=lnx+L+a的导数为r(x)=』-4，

XXX

由/⑴=0,得x=l,

若f(x)与X轴相切，切点为。J(1))，必有/(1)=1+0=0,

解得a=—1,当xw(0,1)时,r(x)<0J(x)递减;当Xe(l,+oo)时,r(x)>0J(X)递增,

所以函数Ax)的图象能与x轴相切，此时a=-\:

(2)证明：设％=%，所以，>1,由f(xj=，(％)=(),可得lnX|+'■+“=In(历)+，-+a=0,

X]tX[

1t\nt

解得一=

X

tintr+l(r+l)lnr

----•—=--------

/-Itt-\

要证即证空1臀>[,即为Inr-步?