中考卷安徽省2022年中考全真冲刺模拟卷数学试题（九）（含答案与解析）

安徽省2022年中考全真冲刺模拟卷（九）

数学

（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将个人信息填写在答题卡和试卷规

定的位置上。

2.选择题需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能写在试卷上。

3.非选择题部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然

后再写上新的答案。

4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不按以上要求作答的答案无

效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.

1.的倒数是（）

A.0.5B.-0.5C.2D.-2

2.下面是一位同学做的四道题，其中正确的一题是（）

A.（―242）=—8a6B.aba3-a1C.（a—b）2—cr—b~D.a3-a4=a'2

3.在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为

12.5亿亿次/秒.这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（）

A.1.25x10*亿次/秒B.1.25x109亿次/秒C.1.25x10'°亿次/秒D.12.5X10'亿次/秒

4.如图所示几何体的俯视图（）

5.秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀

升，第三季度销售利润是196万元.设第二季度和第三季度平均增长的百分率为X,那么

所列方程正确的是（）

A.100(1+x)2=196B.1(X)(!+2%)=196

C.196(1-x)2=100D.100+100(1+X)+100(I+X)2=196

6.如图，直线直线EF分别与4B,CD交于点E,F,F网EF于点F,且与I2BEF

的平分线交于点P.若回1=20。，则回2的度数是()

A.35°B.30°C.25°D.20°

7."冰墩墩"和"雪容融"分别是2022年北京冬、残奥会的吉祥物，小刚在六张卡片（质地

均匀，外表无差别）上分别写了"冰""墩"、"墩"、"雪"、"容"、"融"，将其背面向上洗匀，

从中一次性随机抽取两张，则他拿到的恰好是“冰雪"两张的概率是（）

8.下列命题中，假命题是（）

A.如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；

B.如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交

点；

C.边数相同的正多边形都是相似图形；

D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

9.在AABC中，AB=AC,BC=4,回8AC=120。，P为线段CA延长线上一动点，连接

PB,将线段P8绕点尸逆时针旋转120。，得到线段尸。，连接DC、DB交PC于点、

M,设线段AP=x,ABC。的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是（)

10.如图，在R&8C中，EWCB=90。,CE是斜边48上的中线，BD0CE于点。，过点A

作A/^CE交CE延长线于点F.下列结论不一定成立的是（）

A.WAC=W)BCB.tanSECB=—C.AF=BDD.CE=CB

BC

第H卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.因式分解：xy2-x=.

12.已知，小〃为两个连续的整数，且"<2指<m，则加+〃的值为.

13.如图，在菱形A8C。中，Zfi4D=60。，BD=2.以点A为圆心，AB的长为半径画弧

14.在平面直角坐标系中，抛物线y=af—1与y轴交于点4点A关于x轴的对称点为

a

点B,

(1)求点B坐标(用含〃的式子表示)；

(2)已知点P(l,：),Q(3,0),若抛物线与线段P。恰有一个公共点，结合函数图

像，求。的取值范围____.

三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.计算：—22+1])—2cos60°+1—3|；

16.如图，在直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),8(4,0),

⑴请画出与AABC关于x轴对称的586.

（2）以点0为位似中心，将A"C缩小为原来的得到△&&G，请在y轴的右侧画出

⑶在y轴上存在点P,使得AOA尸的面积为6,请直接写出满足条件的点P的坐标.

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2,其中点仇均

为可转动点，现测得AB=BE=ED=CD=20cm,经多次调试发现当点民E都在C£＞的垂

直平分线上时（如图3所示）放置最平稳.

⑴求放置最平稳时灯座DC与灯杆OE的夹角的大小；

⑵当A点到水平桌面（CQ所在直线）的距离为42cm-43cm时，台灯光线最佳，能更好的

保护视力.若台灯放置最平稳时，将4吃调节到105。，试通过计算说明此时光线是否为

最佳.（参考数据：sin15。=0.26,cos15。=0.97,tan15。=0.27,石=1.73）

18.如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹

的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，

已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3〃?.

⑴按图示规律，第一图案的长度。=;第二个图案的长度&=;

⑵请用代数式表示带有花纹的地面砖块数”与走廊的长度。（/«）之间的关系;

⑶当走廊的长度乙为60.3,”时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数.

五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，在直角坐标系中，点A(3,a)和M是一次函数y=x-2和反比例函数y='

x

图象的交点，点8是一次函数y=x—2与)，轴的交点.

⑴求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标.

(2)。为线段A8上一点，作轴与反比例函数旷=”交于点。，求△BCD的面积得最大

x

值.

20.如图，在中，AB=BC,。是AC中点，BE平分班80交4c于点E,点。是48

上一点，回。过8、E两点，交BD于点、G,交AB于点足

⑴判断直线AC与回。的位置关系，并说明理由；

(2)若EB0BC,ED=3,求BG的长.

六、解答题(本题满分12分)

21.为响应"双减"政策，老师们都精心设计每天的作业，兴华学校想调查本校学生每天完

成作业所用时间，随机抽取了100名学生，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计

图，请根据相关信息，解答下列问题：

⑴这100名学生每天完成作业所用时间的众数为,中位数为；

（2）求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；

⑶若该校共有学生2000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数.

七、解答题（本题满分12分）

22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的

月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月

销售利润卬（元）的部分对应值如表：

售价X（元/件）4045

月销售量y（件）300250

月销售利润卬（元）30003750

注：月销售利润=月销售量x（售价一进价）

⑴求》关于x的函数表达式；

⑵当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

⑶现公司决定每销售1件商品就捐赠加元利润（加＜6）给"精准扶贫"对象，要求：在售

价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求〃，的取值范

围.

八、解答题（本题满分14分）

23.如图，四边形是正方形，点E在A8的延长线上，连接CE,比绕点E逆时针

旋转90。得到EF,连接CF,AF,C尸与对角线3。交于点G.

⑴求的度数；

(2)试探究线段AF,BG,OC之间有何数量关系？请证明；

⑶若点E在直线A8上运动，C尸与对角线8。所在直线交于点G,且AB=3,当

Z4FC=30。时，请直接写出8G的长度.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.

1.的倒数是()

A.0.5B.-0.5C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答即可.

【详解】

解：的倒数为-2.

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了倒数的定义，掌握互为倒数的两个数的积为1成为解答本题的关键.

2.下面是一位同学做的四道题，其中正确的一题是()

A.(—2〃-J=-8a"B.a6a'=a~C.(a—b)'=a~—b^D.a3-a4=ci'~

【答案】A

【解析】

【分析】

先将各式计算得到结果，然后作出判断即可.

【详解】

解：A、(-2a2)3=-8«6.故此选项符合题意；

B、/+“3=”3’故此选项不符合题意；

C、(a-b)2=a2-2ab+b2,故止匕选项不符合题意；

D、“3."=/,故此选项不符合题意.

故选：A

【点睛】

本题考查了累的乘方与积的乘方，同底数寤的除法，同底数嘉的乘法以及完全平方公

式.熟练掌握运算法则及公式是解答本题的关键.

3.在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为

12.5亿亿次/秒.这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（）

A.1.25x108亿次/秒B.1.25x109亿次/秒C.1.25x10">亿次/秒D.12.5X10'亿次/秒

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中1即4|<10,〃为整数，确定〃的值时，要看

把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝

对值回10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.

【详解】

解：12.5亿=12.5X100000000=L25X109-

故选：B.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中

1（3|«|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

4.如图所示几何体的俯视图（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据俯视图是从上面看所得到的图形解答即可.

【详解】

解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中心位置是一个圆，并且圆里面还有虚线圆.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图.

5.秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀

升，第三季度销售利润是196万元.设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x,那么

所列方程正确的是（）

A.100（1+X）2=196B.100（1+2x）=196

C.196（1-x）2=100D.100+100（l+x）+100（l+x）2=196

【答案】A

【解析】

【分析】

设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为X,根据第一季度及第三季度的利润，即可

得出关于x的一元二次方程.

【详解】

解：设秦杨商场第二、三季度的利润平均增长率为X,

根据题意得：100（1+x）2=196,故A正确.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出题目中的等量关系式：第一季度的

利润x（1+平均增长率）2=第三季度的利润.

6.如图，直线AB0CE）,直线EF分别与48,CD交于点、E,F,FP0E尸于点尸，且与团8£户

的平分线交于点P.若回1=20。，则回2的度数是（）

A.35°B.30°C.25°D.20°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求得自BFE+回BEF=180。，再进一步根据角平分线的定义求解.

【详解】

解：EIFRSEF于点F,01=20°,

a3EFD=90o+20o=110",

^BFE+^\BEF=180°,

0[HBEF=18Oo-llOo=7Oo,

团E尸是团3EF的平分线，

002=ySBEF=35°,

故选：A.

【点睛】

此题综合运用了平行线的性质、关键是根据平行线的性质求得回BEF.

7."冰墩墩"和"雪容融"分别是2022年北京冬、残奥会的吉祥物，小刚在六张卡片（质地

均匀，外表无差别）上分别写了"冰""墩"、"墩"、"雪"、"容"、"融"，将其背面向上洗匀，

从中一次性随机抽取两张，则他拿到的恰好是“冰雪"两张的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据列表法求概率即可

【详解】

解：设A,B,星，C,D,£>2分别表示"冰""墩"、"墩"、"雪"、"容"、"融"列表如下

ABB2CDD2

AABAB2ACADAD2

BBABB2BCBDBD2

BB

B2B2A2B2CB2DB2D2

cCACBCB2CDBD2

DDADBDB2DCDD2

DADBDD

D222D2B2D2C2

共有30种等可能结果，其中恰好是"冰雪"两张有2种可能，则恰好是"冰雪"两张的概率

是工」

3015

故选A

【点睛】

本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键.

8.下列命题中，假命题是（）

A.如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；

B.如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交

点;

C.边数相同的正多边形都是相似图形；

D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、相似图形的定义、轴对称与中心对称图形

的定义逐一判断即可.

【详解】

解：A.如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外，该命题是真命

题；

B.如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交

点，该命题是真命题；

C.边数相同的正多边形都是相似图形，该命题是真命题；

D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，该命题是假命题.

【点睛】

本题考查命题，掌握点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、相似图形的定义、轴对称

与中心对称图形的定义是解题的关键.

9.在AABC中，AB=AC,BC=4,幽4c=120。，P为线段CA延长线上一动点，连接

PB,将线段尸8绕点P逆时针旋转120。，得到线段尸连接。8、DC、DB交PC于点、

M,设线段AP=x,△BCD的面积为y,则能反映了与x之间函数关系的图象是（）

D

p

BC

【解析】

【分析】

过点P作PE垂直于AB于E,PF垂直于B£＞于产，过点。作QG垂直于BC于G,由等腰

三角形性质即锐角三角函数，可得PE=3X,丝=且，再证APBESADBG,由对应线

2BD3

3

段成比例可得高。6=3上，用三角形面积公式即可求解.

【详解】

解：过点P作尸石垂直于A3于E尸尸垂直于3。于F,过点。作QG垂直于3c于G,

vZBAC=120°,

Z/Vl£=60°,

vZAEP=90°,AP=x

c

PE=AP.sinNPAE=­x

2

团线段P8绕点。逆时针旋转120。，得到线段

.\BP=PDyZBPD=\20°,

ZPBD=30°,BF=DF=-BD,

2

在R^BPF中,cosZPBF=—=cos30°=—,

BP2

BPBP苜

,~BD~2BF~~i'

AB=AC.ZB4C=120°,

.\ZABC=300=ZPBF,

1.ZBPF+ZDBA=ZABC+ZDBA,

即：/PBE=ZDBC,

・・・NPEB=NDGB=90。,

,△PBESADBG,

PEBP6

---=---=—，

DGBD3

113

S=—DG*BC=—x4x—x=3x,

nrn222

故选B.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形面积，

函数图像等知识，作辅助线构造直角三角形以及相似三角形是解题的关键.

10.如图，在R0ABC中，a4C8=90。，CE是斜边AB上的中线，BD0CE于点。，过点A

作A朋CE交CE延长线于点尸.下列结论不一定成立的是()

A.0BAC=0DBCB.tanSECB=—C.AF=BDD.CE=CB

BC

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可得，NBDC=NBDE=NF,CE=AE=BE&CE+NECB=90°,继而得出E1BAC

=囱£>8C；再由直角三角形的边角关系得到tan回ECB=—；再证明

^AEF^ABED(AAS),便可得至ljA尸=80,至此，即可得至lj答案.

【详解】

•••EWC8=90。，CE是斜边AB上的中线，8D0CE,AF^CE

NBDC=90°=ZBDE=ZF,CE=AE=BE=；AB/ACE+NECB=90°

/.ABAC=ZACE,NECB=N48C,ZECB+ZDBC=90°

：'3tBAC=W)BC,故A正确；

AQ

在R/B4BC中，tanZABC=——

BC

AC

tan0ECB=-^,故B正确；

在AA£F和AB£D中

NF=ZBDE

•丁ZAEF=/BED

AE=BE

AAEF兰ABED(AAS)

•0*AF=BD,故C正确；

没有足够的条件证明D选项

故选：D.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、直角三角形的边角关系、全等三角形的判定及性质，熟练

掌握并灵活运用知识点是解题的关键.

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.因式分解：xy2-x=.

【答案】x(y+i)(j—1)

【解析】

【分析】

提公因式与平方差公式的逆应用相结合解题.

【详解】

解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得：

xy2-x=x(y2-l)=x(y+l)(^-l),

故答案为：x(y+l)(y-l).

【点睛】

本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式的逆应用，是重要考点，难度较易，此类

题第一步一般是提取公因式.

12.已知〃?、〃为两个连续的整数，且"<2而<"，则加+〃的值为.

【答案】9

【解析】

【分析】

首先根据卡的大小，判断2指在哪两个整数之间，可得，小〃的值，即可得出答案.

【详解】

04<6<6.25,

回2<#<2.5,

04<2>/6<5，

团72=4,〃2=5,

回加+〃=4+5=9.

故答案为：9.

【点睛】

本题主要考查了无理数大小的判断，比较太和2.5之间的关系是解题的关键.

13.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60a,BD=2.以点A为圆心，A8的长为半径画弧

BD，则图中阴影部分的面积为.

D

【答案】2J5—：万

【解析】

【分析】

首先根据菱形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形，可求得A8、BD、AC的长，再

根据S阴影=S菱形ABC”-S扇形，即可求得.

【详解】

解：••,四边形ABC。是菱形

:.AB=AD,AC=2AO,DO=-BD=l

2

vZBAD=60°

.•.△ABQ是等边三角形，AB=AD=BD=2

：.心-DO2=@-f=&

AC=2AO=2y[3

S阴影"S菱形ASCO—S扇形

160乃AB2

二一AC•DL）--------------------

2360

-2\[3--7T

3

故答案为：243--7t

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形及扇形的面积公式，

求出A&BD,AC的长是解决本题的关键.

14.在平面直角坐标系中，抛物线丫:以2-^与y轴交于点A,点A关于x轴的对称点为

点、B,

（1）求点8坐标（用含a的式子表示）；

（2）已知点尸（1,：）,Q（3,0）,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图

像，求。的取值范围_____.

【答案】（0,g）—<a<^2Wi-V2-a~~^

【解析】

【分析】

（1）求出A点坐标，再由点8关于x轴对称，根据点的对称性可求8点坐标；

（2）根据题意，分两种情况分别求：当“>0和“<0时，分别求抛物线分别经过P、。点是

。的值，再结合图象可确定。的范围.

【详解】

（1）抛物线丫=加-』与y轴交于点A,

a

A（0,----）,

a

・・•点A关于无轴的对称点为点B

鲂（0,1）,

故答案为：（o,:）;

（2）当a>0时，如图1

抛物线经过点P时，a--=-

aa

解得a=亚或〃（舍去）

抛物线经过。时，9a--=0

a

解得a=g或〃=-；（舍去）

.d<a<y/2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；

当〃<0时，如图2

抛物线经过点尸时，a--=-

aa

解得〃=-血或〃=血（舍去）

抛物线经过。时，9a--=0

a

解得〃=或a=g（舍去）

时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；

综上，a或-拉时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点

故答案为：；44V0或-五4a4.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨

论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键.

三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.计算：-22+^j-2cos60°+|-3|；

【答案】1

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方运算法则，负整数指数幕，特殊角的三角函数，绝对值的性质计算即

可.

【详解】

解：原式=-4+3-2xg+3=l

【点睛】

本题考查有理数的乘方运算法则，负整数指数累，特殊角的三角函数，绝对值的性质，熟

练掌握这些知识点是解题关键.

16.如图，在直角坐标系中，己知“IfiC三个顶点的坐标分别为A(3,3),8(4,0),

C(0,2).

y

⑴请画出与AABC关于x轴对称的△AUG.

⑵以点0为位似中心，将AABC缩小为原来的3，得到△&4G，请在），轴的右侧画出

△A/G.

⑶在y轴上存在点P,使得AOAP的面积为6,请直接写出满足条件的点尸的坐标.

【答案】⑴图见解析

⑵图见解析

⑶P（0,4）或（0,-4）

【解析】

【分析】

（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；

（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；

（3）直接利用三角形面积公式求出。尸的长，故可得出答案.

⑴

如图，"8c为所求；

（2）

如图，△人与G为所求；

⑶

如图，四轴上存在点P,使得的面积为6,

S^\OP\XXA=6

叫OP|x3=6

解得10Pl=4

0P(0,4)或(0,-4).

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键.

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2,其中点8,乙。均

为可转动点，现测得A5=BE=EO=C£）=20cm,经多次调试发现当点都在CQ的垂

直平分线上时（如图3所示）放置最平稳.

l?l1

⑴求放置最平稳时灯座。C与灯杆DE的夹角的大小；

⑵当A点到水平桌面（C。所在直线）的距离为42cm-43cm时，台灯光线最佳，能更好的

保护视力.若台灯放置最平稳时，将N48E调节到105。，试通过计算说明此时光线是否为

最佳.（参考数据：sin15°=0.26,cos15°=0.97,tan15°=0.27,^=1.73）

【答案】（1）灯座。C与灯杆DE的夹角为60。

⑵此时光线最佳

【解析】

【分析】

（1）延长BE交0c于点尸，由线段垂直平分线的性质可得£7迥CO且尸D=gC£）=：L0cm,

由此求解即可；

(2)作AM3DC于点例，作BGS4M于点G,则四边形GMF8是矩形求出AM的长即可得

到答案.

(1)

解：延长BE交。C于点F,则由题可知EfSCO且尸。=gCQ=10cm；

DF1

团cosZD=----=—

DE2

00D=6O0即灯座DC与灯杆DE的夹角为60。；

⑵

解：作AM0OC于点M,作BGS4M于点G,则四边形GMFB是矩形

EEG8F=90°

国EF=DE•sin0=10限m,

0GM=BE+EF=20+1073«37.3cm,

a3ABE=105°,

HMBG=15°

EAG=AB-sinl5=5.2cm

1MM=37.3+5.2=42.5cm

回此时光线最佳.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造

直角三角形是解题的关键.

18.如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹

的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，

已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3,“.

⑴按图示规律，第一图案的长度右=;第二个图案的长度&=;

(2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数”与走廊的长度。(/»)之间的关系；

⑶当走廊的长度L为60.3〃?时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数.

【答案】(1)0.9；1.5

⑵Z.=(2，?+l)x0.3

(3)100块

【解析】

【分析】

(1)观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1,2个，第二

个图案比第一个图案多1个花纹的地面砖，所以可得第〃个图案有花纹的地面砖有〃块；

第一个图案边长4=3x0.3,第二个图案边长4=5x0.3：

(2)由(1)得出则第〃个图案边长为4=(2〃+1)X0.3；

(3)根据(2)中的代数式，把工为60.3，〃代入求出”的值即可.

⑴

解:第一个图案的长度£,=3x0.3=09,第二个图案的长度*=5*0.3=1.5；

故答案为：0.9,1.5；

(2)

解：观察可得：第一个图案中有花纹的地面砖有1块，第二个图案中有花纹的地面砖有2

块，.・・...，故第〃个图案中有花纹的地面砖有〃块；

第一个图案边长4=3x03,第二个图案边长右=5x0.3,则第〃个图案边长为

Ln=(2n+l)x0.3；

所以带有花纹的地面砖块数〃与走廊的长度4(〃?)之间的关系为L,,=(2〃+l)x0.3；

⑶

解:把L=60.3代入L,,=(2"+I)x0.3中得：

60.3=(2"+1)x03,

解得：w=100,

答：需要100个有花纹图案的瓷砖.

【点睛】

本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式，求代数式的值等，要求学生通过

观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题.

五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，在直角坐标系中，点A(3,a)和M是一次函数y=x-2和反比例函数y=%

X

图象的交点，点B是一次函数y=x-2与)，轴的交点.

⑴求反比例函数与一次函数的另一个交点”的坐标.

(2)C为线段AB上一点，作CD方轴与反比例函数y="交于点O,求ABC。的面积得最大

X

值.

【答案】⑴M(-1,-3)

(2)2

【解析】

【分析】

(1)由一次函数产x-2求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解

析式联立成方程组，解方程组求得M的坐标；

3

(2)设C(x,x-2)(x>0),则。(x,-),求出用含有x的代数式表示出△BCD的面

x

积，再求其最大值即可.

⑴

把A(3,a)代入y=x-2可得，

a=l,即A(3,1),

解得，w=3,

3

团反比例函数表达式为"2,

x

y=x-2

x=3x=-l

解3,得日或

>=一j=-3'

x

0M(-1,-3)；

⑵

,3

设C(x,x-2)(x>0),则拉(x,—),

x

3

0CD=--x+2,

「1-3-x+2|=-1(X-1)2+2,

0\BCO=2%-

x

团」VO,

2

回当x=l时，△BCD的面积最大，最大值为2.

【点睛】

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的

解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，（1）熟练掌握待

定系数法是解题的关键；（3）得到函数关系式是解题的关键.

20.如图，在中，AB=BC,。是AC中点，8E平分财BO交4c于点E,点。是48

上一点，回。过8、E两点，交BD于点G,交AB于点F.

AF\OB

⑴判断直线AC与回。的位置关系，并说明理由；

(2)若ED=3,求3G的长.

【答案】⑴直线AC是回。的切线，理由见解析

(2)2出

【解析】

【分析】

(1)连接0E,根据等腰三角形的性质得到8D0AC,再证明OE〃BD,则。硕AC,然后根

据切线的判定方法得到结论；

(2)过。作OM0B。于M,根据矩形的性质得到0M=ED=3,BM=；BG,推出回1

=02=04=30°,根据三角函数的定义即可得到结论.

⑴

解：直线AC是回。的切线.

理由如下：如图，连接OE,

SAB=BC,。是AC中点，

QBDSAC,

I3BE平分0AB。，

BSOBE=BDBE,

^OB=OE,

^EOBE^OEB,

^\OEB=QDBE,

0OE//BD,

回。豳4C,

而OE为回。的半径，

回直线AC是回。的切线.

(2)

解：如图，过。作OM团于M

c

团四边形OEQM是矩形，

0OM=ED=3,BMqBG,

团E施8c

（3ZC+ZCEB=90°,

同理可得：？22CEB90?,

0Z2=ZC,

0AB=BC,

团N2=NA,

团团1二团2二M二30°,NOBM=60。

在m中，tan?OBM”，

OM

回>/3------,

BM

I3BM=G,

国BG=2BM=2上.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练学

握直线与圆的位置关系：设团0的半径为〃圆心。到直线/的距离为乩直线/和回。相交

O衣r；直线/和回。相切Od=r；直线/和回。相离=d>r.

六、解答题（本题满分12分）

21.为响应"双减"政策，老师们都精心设计每天的作业，兴华学校想调查本校学生每天完

成作业所用时间，随机抽取了100名学生，将他们每天完成作业所用时间绘制成如下统计

图，请根据相关信息，解答下列问题：

⑴这100名学生每天完成作业所用时间的众数为,中位数为；

⑵求这100名学生每天完成作业所用时间的平均数；

⑶若该校共有学生2000人，请估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数.

【答案】⑴1.5小时，1.5小时

（2）1.32小时

（3）600

【解析】

【分析】

（1）根据众数和中位数的定义求解即可；

（2）利用平均数的定义求解即可；

（3）用总人数乘以样本中每天完成作业所用时间为1小时的学生人数所占比例即可.

【详解】

解：（1）由条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5小时；

中位数为=（小时）；

故答案为：1.5小时，1.5小时；

（2）x=-p-x（12x0.5+30x1+40x1.5+18x2）=1.32（小时），

答：这100名学生每天完成作业所用时间的平均数是1.32小时.

（3）估计该校每天完成作业所用时间为1小时的学生人数为2000x30^=600.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、众数等，解答本题的关键是明确题意，

利用数形结合的思想解答.

七、解答题（本题满分12分）

22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的

月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月

销售利润w（元）的部分对应值如表：

售价X（元/件）4045

月销售量y（件）300250

月销售利润w（元）30003750

注：月销售利润=月销售量X（售价一进价）

⑴求y关于X的函数表达式；

⑵当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

⑶现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润（加46）给“精准扶贫"对象，要求：在售

价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价尤的增大而增大，求机的取值范

围.

【答案】（l»=-10x+7000

（2）4000元

（3）3<m<6

【解析】

【分析】

（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利

润x销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；

（3）根据总利润=（单件利润加）x销售量列出函数解析式，再根据m52时，每天扣除捐

赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求〃，的取值范围.

⑴

解：设一次函数解析式为>="+"

40Z+Q300

根据题意，得

45Z+6=250

A:=-10

解得:

/?=700

所以），与x的函数表达式为y=-10x+700；

(2)

300x40-3000

解：由表中数据知，每件商品进价为=30(元),

300

设该商品的月销售利润为w元,

则w=（x-30）y

=（x-30）（-10A-+700）

=-10X2+1000X-21000

=-10(A--50)2+4000,

0-10<0,

回当x=50时，w最大，最大值为4000,

13当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；

⑶

解：根据题意得：

w=(x-30-/n)(-10X+700)=-10X2+(1000+10W)x-21000-700m,

10004-10m...m

对称轴为直线x=-2x(_10)=50+万，

0-10<0,

回当X450+葭时，卬随X的增大而增大，

dr<52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，

050+—>51.5,

2

解得：〃i>3,

03<m<6,

所的取值范围为3<%46.

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题.注意：数学应用题

来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润

的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值.

八、解答题(本题满分14分)

23.如图，四边形ABC。是正方形，点E在A8的延长线上