专题12圆锥曲线

专题12圆锥曲线目录一常规题型方法1题型一轨迹方程1题型二椭圆5题型三双曲线17题型四抛物线28题型五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题34题型六圆锥曲线中的最值、范围问题43二针对性巩固练习49练习一轨迹方程49练习二椭圆51练习三双曲线56练习四抛物线61练习五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题64练习六圆锥曲线中的最值、范围问题68常规题型方法题型一轨迹方程【典例分析】典例1-1．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量数量积及模长公式,计算即可.【详解】设,因为,所以又因为,所以,即得可得点的轨迹方程为故选:.典例1-2．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入椭圆方程中即可求得点轨迹方程.【详解】设，，为中点，，则，即，又在椭圆上，，即，点轨迹方程为：.故选：D.典例1-3．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.【方法技巧总结】1.分类：直接法、相关点法、定义法、消元法、交轨法。2.技巧：直接法先设出所求点坐标（x,y），并根据题意写出含x,y的等式关系，化简后即为所求点轨迹方程；相关点法也是先设出所求点坐标（x,y），并根据题意另外一动点的坐标（用含x,y表示），最后把点带入所在方程化简后即为所求点轨迹方程；定义法时根据题意可以分析出所求轨迹是哪种曲线（椭圆、双曲线、抛物线等），然后设出方程，利用待定系数法求解参数，进而求出动点轨迹方程。【变式训练】1．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知点，，动点满足，动点的轨迹为，则轨迹的方程为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用两点间距离公式表示出，整理即可得到轨迹方程.【详解】设，则由得：，即，整理可得：.故选：C.2．（2022秋·北京·高二北京二中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.【详解】设，，，则，，由，则，解得，由点在椭圆C：上，则，即，即点的轨迹方程是.故选：C.3．（2022秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.【详解】如图所示：∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，∴，，∵是圆上一动点，∴，∴，∴，，，∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，∴点的轨迹方程为.故选：C.题型二椭圆【典例分析】典例2-1．（2022秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，如图，因此可以固定其中两个点，实现动静转化．由椭圆的定义得到为定值，至于，只需与圆的半径产生联系即可．【详解】根据椭圆的定义，得，所以，即所求取值范围为．故选：A典例2-2．（2022秋·福建南平·高三校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义可得，，当三点共线时，取值最大或最小.【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.由已知得，，，，，.图1如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大..图2如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大..故答案为：.典例2-3．（2022秋·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（????）A．4 B．4 C． D．8【答案】C【分析】先根据题意求出，再根据椭圆定义即可求出.【详解】因为，，又，所以，由椭圆定义可得的周长为.故选：C.典例2-4．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）“方程表示椭圆”是“”的（????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示椭圆可直接构造不等式组求得的范围，结合推出关系可得结果.【详解】若方程表示椭圆，则，解得：或；或；-2<m<52?或；“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A.典例2-5．（2023·广西柳州·二模）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求.【详解】如图，由已知可设，又因为根据椭圆的定义，在中由余弦定理得，所以故椭圆方程为：故选：B典例2-6．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得的周长为，内切圆的半径为，再结合等面积法得，再平方整理得，再求离心率即可；【详解】解：由题知为上一点，所以，，所以的周长为，因为的内心为所以，内切圆的半径为，所以，由三角形内切圆的性质知，，即，两边平方并整理得，即，所以，离心率为故选：C典例2-7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知是椭圆的右焦点，是的上顶点，直线与交于两点.若，到的距离不小于，则的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，解得，根据到的距离为，得，得，即可解决.【详解】设椭圆的左焦点为，是的上顶点，连接，如图，由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则,因为,所以四边形为平行四边形，所以，所以，解得，因为，到的距离为，解得，所以，解得，所以，故选：C典例2-8．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，，利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】解：设，，则，，，，所以，即，所以，即所以弦所在直线方程为，即.故选：A【方法技巧总结】1.技巧：在处理椭圆上动点与定点及焦点的和差问题时要遵循“同侧转换，异侧相连”，且圆上的动点可用圆心配合加减半径使其变为定点；求离心率或离心率范围需先尽量把几何长度都用含abc来表示，然后利用勾股定理、余弦定理、定义等建立abc的等式或不等式，最后通过整理化简求出离心率或离心率范围；处理弦中点问题适用“点差法”，流程为：设点，带入，做差、整理。【变式训练】1．（2022·全国·高三专题练习）点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用化简可知，再利用，即可得到结论.【详解】由题意，又为圆的任意一条直径，则，在椭圆中，有，即，所以，，故的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.2．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（????）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相关点法可求得点轨迹方程为，由椭圆定义可将转化为，可知当三点共线时，取得最小值.【详解】设，，则，，，由得：，即，，为圆上的点，，即点轨迹为；为的左焦点，右焦点为，由椭圆定义知：，在椭圆外，（当且仅当三点共线时取等号），.故选：C.3．（2023秋·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）已知是椭圆的左?右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.【详解】由椭圆的方程可得，，，则，所以，当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，此时，.故选：C.4．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为，从而得到答案.【详解】，解得：，“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为，因为，但，故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件．故选：B5．（2022秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左?右焦点分别为，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，则E的标准方程为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，根据，得，由三角形面积解得，，计算即，求出可得椭圆的标准方程.【详解】如图，连接，，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，所以，得.又因为，所以四边形为矩形，设，，则，所以，得，则，则，，椭圆的标准方程为.故选：A.6．（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A．若，则C的离心率是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解.【详解】设则，又，在中，由余弦定理得：故选：A7．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.【详解】设，，则，在中，，所以，所以，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故选：C8．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（????）A． B．C． D．或【答案】A【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.【详解】解：设椭圆方程为，且设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，所以，又在椭圆上，可得：，两式相减得，整理得：，则，所以，又直线的斜率为，所以，即，所以椭圆的焦距为，所以，则，故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.故选：A.题型三双曲线【典例分析】典例3-1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（????）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2【答案】C【分析】利用双曲线的定义求.【详解】解：由双曲线定义可知：解得或（舍）∴点到的距离为18，故选：C.典例3-2．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左?右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（????）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.典例3-3．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（????）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设，则①，，因为，所以，由勾股定理得②，①②联立可得，，所以，故选：B典例3-4．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，可变形为.所以有，即，解得.故选：A.典例3-5．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，由此可得结果.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即，则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，，解得：，，双曲线方程为：.故选：C.典例3-6．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知分别为双曲线的左?右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由为圆心，为半径为径的圆经过点，得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解．【详解】解：由题意得，设，则，，，，在中，由勾股定理得，解得，则，，在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，故选：B典例3-7．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作圆：的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率的取值范围是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接，，推出，，，在中利用余弦定理可得，即可得出，由，得，即可得到不等式组，从而求出离心率的取值范围．【详解】解：连接，，设为双曲线的半焦距），在直角三角形中，，，则，，，所以，在中，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，即故选：D．典例3-8．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案.【详解】解：由题意可得，且，又因为，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【方法技巧总结】1.技巧：在处理双曲线上动点与定点及焦点的和差问题时也要遵循“同侧转换，异侧相连”；求双曲线离心率或离心率范围流程与椭圆相同；处理弦中点问题同样使用“点差法”。【变式训练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是（????）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据题意先求出点P的轨迹方程，再根据知求的最小值即求的最小值．【详解】解：由题意知不妨设点P的轨迹为以为焦点的双曲线的左支，设双曲线的标准方程为，则，，∴点P的轨迹方程是，，∴为M、N的中点，，，，∴的最小值为3，当点P在双曲线的左顶点时取等号．故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，所以下焦点，设上焦点为，则，根据双曲线定义：，在上支，，,在中两边之差小于第三边，，,??.故选：D.3．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解.【详解】由题可知，，求得，对由余弦定理可得，即，即，因为，解得，又，即，解得，，所以的周长为.故选：A4．（2022秋·四川·高二四川师范大学附属中学校考阶段练习）设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（????）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由已知，可根据方程表示的曲线为双曲线，利用双曲线方程的标准形式列式求解，然后与条件比对，即可作出判断.【详解】由已知可得：方程表示的曲线为双曲线，所以，解得：或，所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分而不必要条件.故选：A.5．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、，即可得解.【详解】解：椭圆的焦点为，又双曲线：的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线方程为.故选：C6．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（????）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.【详解】因为，为的中点，所以，，所以，又，，所以，所以.故选：B.7．（2022秋·山西晋城·高二校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用双曲线的几何性质和的几何性质即可求解.【详解】如图，由双曲线的几何性质可知，由条件可知，，在中，，即，；当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即，，由双曲线的几何性质知，所以离心率的取值范围是；故选：C.8．（2022秋·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A题型四抛物线【典例分析】典例4-1．（河北省石家庄市2023届高三上学期期末试题）已知抛物线：的焦点为，准线为，点P在C上，过点P作准线的垂线，垂足为A，若，则（????）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由题知，进而结合得，在等边中即可求解【详解】因为，所以，设准线与轴交于点，因为，所以．因为，所以，所以，在等边中，故选：D典例4-2．（2019秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）若点坐标为，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使取得最小值，点坐标应为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抛物线的定义得到，结合图像可得，从而得解.【详解】因为抛物线，所以其准线为，由向准线作垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，再由定点向准线作垂线，垂足为，如图，因为点在该抛物线上移动，所以，所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时的纵坐标与的纵坐标相同，即，将代入，得，所以点的坐标为.故选：A.典例4-3．（2023·安徽淮南·统考一模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，点在的准线上，若为等边三角形，则（???）A． B．6 C． D．16【答案】A【分析】利用抛物线的定义结合为等边三角形可知垂直于准线，利用抛物线方程可解出点坐标进而得到直线的方程，将直线的方程与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.【详解】因为为等边三角形，所以，又因为点在的准线上，由抛物线的定义可知垂直于准线，由可知，，设，因为，，所以，所以，代入抛物线方程得点坐标为，所以直线方程为，整理得，由得，所以，故选：A典例4-4．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得，两式作差可得，即直线的斜率，所以直线方程为，即故选：B【方法技巧总结】1.抛物线的性质：(1)焦半径：，(2)焦点弦：(3)若直线的倾斜角为，则，(4)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切(5)(6)通径：(7)(8)中点弦：（中点坐标和斜率的关系）2.技巧：抛物线的二级结论虽然做题很快，但记忆量较大，酌情使用。【变式训练】1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（????）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.【详解】解：因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于，则在直角中，，所以，由抛物线的定义得：，则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即，所以.故选：B.2．（天津市和平区2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：上任意一点，则的最小值是（????）A． B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】画出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将转化为C，P，F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线的焦点是，准线方程是，PH与准线的交点是，圆C的半径为，圆心为，依题意作下图：由图可知：，，当C，P，F三点共线时最小，的最小值是6；故选：D.3．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题知点A为的中点，结合已知得，过点B作，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点，因为，所以．过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知，所以，则，所以．故选：C4．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.【详解】设，，则，，所以，即，因为AB的中点为，，所以直线的斜率，所以直线的方程为，所以焦点到直线的距离，故选：A.题型五圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【典例分析】典例5-1．（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，椭圆的左?右顶点分别为，点是椭圆上异于的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）由已知得，所以，又点在该椭圆上，所以，所以所以梋圆的标准方程为；（2）由于的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，所以，从而，即，同理可得：由于的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，得，可得即，所以，所以，从而，即，当时，，所以直线为整理得即直线过定点当，即时，直线的方程为，也过点综上可得，直线过定点.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.典例5-2．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上的两点，且，求证：为定值；反之，若为此定值时，是否成立？试说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析；不一定成立，理由见解析【分析】（1）根据离心率和经过的点，代入椭圆方程中即可求解，（2）联立直线与椭圆方程，得坐标，进而根据两点距离公式表达，即可求值.根据为定值，得到，即可求证不成立.【详解】（1）依题知，且，解得．所以椭圆的方程为．（2）当分别为长轴?短轴的端点时，．当都不是长轴?短轴的端点时，设．由解得．由解得．所以．反之，设，由上面的推导可知由，化简得，即，当时，不一定成立．典例5-3．（2023·贵州·校联考一模）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)详见解析【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求得椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，再根据,以及，转化为坐标表示，代入韦达定理后，即可求【详解】（1）由条件可知，，解得：，，所以椭圆C的方程是；（2）假设在轴上存在点，使且，联立，设，，方程整理为，，解得：或，，，则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，即中点坐标，，则，即，化简为，①又,则，，整理为，，化简为②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.当时，，当时，，满足，所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.【方法技巧总结】1.技巧：直线与圆锥曲线大题需熟练流程，第一步：设点、设直线（讨论斜率存不存在）且直线有两种不同设法，需结合题意来选择；第二步：联立方程并整理成含参一元二次方程；第三步：韦达定理（可配合根的判别式）；第四步：将伟大定理带入题干中产生的等式或不等式，并整理化简，最后求出结果。【变式训练】1．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知双曲线的左?右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.【详解】（1）解：因为，所以，解得，设双曲线的半焦距为，因为离心率为，所以，解得，则，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：设，则，，直线的方程为，直线的方程为.联立方程消去并整理得显然，即所以，，联立方程消去并整理得，显然，即，，即当时，直线的方程为，将上面求得的的解析式代入得，整理得，所以直线过定点.2．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点A不重合）.(1)求抛物线的方程及焦点坐标；(2)设直线的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值.【答案】(1)，焦点坐标为.(2)证明见解析；定值为.【分析】（1）由题意可确定，即可得抛物线方程和焦点坐标；（2）设出直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系，表示出，并化简，即可得结论.【详解】（1）由题意抛物线过点，所以,即，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.（2）证明：设过点的直线l的方程为，即，代入得，,设，则，直线的斜率分别为，，所以,即为定值，该定值为.3．（2021·浙江·高二学业考试）如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点．（1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标；（2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程．【答案】（1）（2，1）；（2）．【分析】（1）首先求得点的坐标，再结合抛物线方程，即可求得点的坐标；（2）首先设点的坐标，并设出直线，与抛物线方程联立，得到韦达定理，再求出在点处的切线方程，求出点的坐标，利用点三点共线，即可求得直线方程.【详解】（1）∵P位于抛物线上，故P的坐标为（-2，1）-又∵F为抛物线的焦点，得2p=4，解得故F：（0，1）则过PF的直线为y=1根据抛物线的对称性，则H点坐标为（2，1）-（2）由（1）可知，抛物线的准线方程应当为y=-1令P：）；Q：设过PQ的直线m为，将其代入抛物线得，故因为P为切点，故其切线方程为,根据化简得当y=-1时，得，得故M点的坐标为（，-1）Q点的坐标为则MQ直线方程为，其过点（0，1），故有，化简得得，化简得得，故，（舍）故解得4k=2，得k=，直线m的方程为题型六圆锥曲线中的最值、范围问题【典例分析】典例6-1．（2023·安徽淮南·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.(1)求C的方程；(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.【答案】(1)；(2)，面积的最大值为.【分析】（1）由已知，根据，可得，.根据已知得到，，根据离心率值即可求出的值；（2）设，，由已知可得，即.联立直线与椭圆方程，根据，得到.根据韦达定理求出，.根据坐标表示出弦长以及点到直线l的距离，即可得出.进而根据基本不等式，结合的范围换元即可求出面积的最小值.【详解】（1）解：由题意可得，，，.又因为，，，由已知可得，即，又椭圆C的离心率，所以，则，解得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）解：设，，又，因为，所以，所以，化简整理得①.设直线，联立直线与椭圆方程化简整理可得，，可得②，由韦达定理，可得，③，将，代入①，可得④，再将③代入④，可得，解得，所以直线l的方程为，且由②可得，，即，由点到直线l的距离，，.令，则，当且仅当时，即，等号成立，所以面积S最大值为.典例6-2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知椭圆长轴长为4，离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据长轴长和离心率列出方程组求解；(2)根据，利用韦达定理表示，进而可求取值范围.【详解】（1）由题可得，解得，所以椭圆C的方程为.（2）当直线的斜率为0时，则可得直线为轴，可得，，当直线的斜率不为0时，设直线，联立整理得则所以，因为，所以，所以，综上.【方法技巧总结】1.技巧：流程同上一题型一致，需注意自变量的范围求解，以及对所含变量最值范围的求解，通常化为函数，并使用构造、换元、同除等方法来求解。2.【变式训练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，且到点的距离的最小值为.直线与交于另一点，是上位于直线下方的动点.(1)求的值；(2)当，且△ADE面积最大时，求△ADE外接圆的标准方程【答案】(1)(2)【分析】（1），根据距离公式可得，根据二次函数的性质可求最小值，从而可得的值.（2）根据（1）可得，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，设，利用点到直线的距离公式可求距离的最大值，从而可得面积最大时对应的的坐标，从而可判断出圆心在轴上，利用待定系数法可求圆心坐标，从而可求圆的方程.（1）设，则，整理得到：，故当时，，故，（2）由（1）可得且，故直线的斜率为，设，由可得，故或，因为在轴下方，故，所以，故，设，其中又到直线的距离为，因为，故的取值范围为，故的最大值为，此时△ADE面积最大，且△ADE面积最大时即，因为，所以关于轴对称，故外接圆的圆心在轴上，设△ADE外接圆的圆心为，设，故即，解得，故圆的半径为，故△ADE外接圆的方程为：.2．（2021秋·吉林白山·高二抚松县第一中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点的坐标为，过的直线与双曲线交于不同两点、.(1)求双曲线的方程；(2)求的取值范围（为坐标原点）.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解方程和即得解；（2）设过的直线的方程为，设，，联立直线和双曲线方程得到韦达定理，求出，再根据的范围求解.(1)解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，∴，，∵??∴，∴双曲线的方程为.(2)解：点的坐标为，设过的直线的方程为，与双曲线方程联立可得消去可得①，不符合题意，舍去；②时，得.设，，则，∴∴.∵，,∴，∴或∴或∴或.针对性巩固练习练习一轨迹方程1．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为2，则圆心的轨迹方程为（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆心（x,y），根据圆过定点，求得半径，再根据圆被轴截得的弦长为2，利用弦长公式求解.【详解】解：设圆心（x,y），因为圆过定点，所以，又动圆被轴截得的弦长为2，所以，化简得，故选：D2．（2022秋·甘肃陇南·高三统考期中）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为，中点为，则，可得，代入得，化简得．故选：A．3．（2022·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（????）A．B．或C．D．或【答案】D【分析】根据题意设出动圆圆心坐标,分外切和内切两种情况讨论,列出符合题意的方程化简即可.【详解】解:由题不妨设动圆圆心为,若动圆与已知圆外切,则,,若动圆与已知圆内切,则,.故选：D练习二椭圆4．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为（????）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据椭圆的离心率，求出椭圆方程，再利用两点间距离公式和点在圆上，换成关于点横坐标的二次函数，根据二次函数在闭区间上的最值即可求解.【详解】因为椭圆：的离心率为，所以椭圆的离心率，又，则，所以椭圆方程为，设椭圆上一动点，则，所以，因为，所以当时，取最大值，故选：.5．（2022·高二单元测试）点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，当三点共线时，取得最值．【详解】设是椭圆的右焦点，则又因为，，所以，则故选：A6．（2022秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（????）．A． B． C． D．【答案】B【分析】设为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可.【详解】解：设为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，又因为，在中由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以.故选：B.7．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（????）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x轴上的椭圆求出，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆得：，解得或，由充分性，必要性的概念知，“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.8．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.【详解】依题意，解得，由于椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.故选：B9．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知点A，B是椭圆长轴上的两个顶点，点P在椭圆上（异于A，B两点），若直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可设点坐标为，则，即，由，则，整理解方程即可.【详解】设点坐标为，则，，不妨设，则，整理可得，即，或（舍），故选：C10．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义结合几何关系求出，并利用点到直线的距离关系求得，进而可求离心率的取值范围.【详解】如图，设为椭圆的左焦点，连接,由对称性可得为中点，且为中点，则四边形为平行四边形，所以，所以，取，因为点M到直线l的距离不小于，所以，解得，所以，又因为，所以椭圆E的离心率的取值范围是.故选：C.11．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解.【详解】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；故直线的斜率存在，且，由于A、两点都在椭圆上，则，两式相减得，即，因为在直线AB上，故，故，即，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：A.练习三双曲线12．（2021·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（????）A．21 B．30 C．27 D．15【答案】C【分析】根据双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意可知，，，，两式相加得，即.故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（????）A． B．8 C． D．9【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】由，所以有，设圆的圆心为，半径为，设该双曲线另一个焦点为，所以，求的最小值转化为求的最小值，因此当点依次共线时，有最小值，即，故选：B14．（2021秋·河南安阳·高二安阳市第三十九中学校考期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理求解即可.【详解】由双曲线方程可知，根据双曲线的几何意义可得，，又，解得，，，在中由余弦定理得,故选：A15．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】依题意，，则或.故选：A16．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，焦点到其渐近线的距离为，双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．故选：B．17．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的离心率为（????）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.【详解】设的左焦点为，连接，过作于，易知，所以为的中位线，又图中双曲线的渐近线方程为则，，则为线段的中点，所以为等腰三角形，即又，即，，得.故选：B.18．（2022秋·浙江温州·高二校考期中）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为，离心率为，由，则，，因为是的平分线，所以,又因为，所以，所以，解得，即，所以双曲线的离心率取值范围为.故选：B19．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.练习四抛物线20．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，若的面积是，则的值为（????）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【分析】根据抛物线定义结合得到是等边三角形，并根据三角形面积公式得到，从而求出的值.【详解】根据抛物线的定义可知，，又，故是等边三角形，又的面积是，设，则，解得：，故可得，因为，所以，故．故选：A．21．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（????）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.过P作于Q，则到直线和直线的距离之和为抛物线的焦点过作于，和抛物线的交点就是，∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，最小值．故选：C．22．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】确定,，确定过点，联立方程求得点M的横坐标，利用抛物线焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意得,，准线方程为，当时，，即过点，联立，即，解得或，由于M在第一象限，且斜率大于0，故取M横坐标为3，则，故选：D23．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）若抛物线的弦AB中点坐标