习题课二重积分的计算市公开课金奖市赛课一等奖课件

习题课二重积分计算第1页第1页

二重积分计算办法是累次积分法，化二重积分为累次积分环节是：①作出积分区域草图②选择适当坐标系③选定积分顺序，定出积分限1。关于坐标系选择

这要从积分区域形状和被积函数特点两个方面来考虑一、主要内容第2页第2页被积函数呈惯用极坐标其它以直角坐标为宜2。关于积分顺序选择选序原则①能积分，②少分片，③计算简3。关于积分限拟定二重积分面积元为正拟定积分限时一定要确保下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形第3页第3页看图定限—穿越法定限和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。先

y

后

x

，过任一x∈[a

,b

],作平行于

y

轴直线穿过D内部从D下边界曲线穿入—内层积分下限从上边界曲线穿出—内层积分上限ⅱ。先x

后

y过任一

y∈[c,d]作平行于x

轴直线定限第4页第4页左边界——内层积分下限右边界——内层积分上限则将D分成若干个简朴区域再按上述办法拟定每一部分上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分顺序普通是过极点O作任一极角为射线从D边界曲线穿入从穿出ⅲ。如D须分片第5页第5页——内下限—内上限详细可分为三种情况⑵极点在D边界上

是边界在极点处切线极角绝大多数情况下为0⑶极点在D内部化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量函数或常数极坐标系下勿忘r⑴极点在D外部第6页第6页5关于二重积分换元法f(x,y)在D上连续变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将uov

平面上闭区域D1

变成

xoy

平面闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上含有连续一阶偏导数（2）在D1上第7页第7页基本要求:变换后定限简便，求积容易．注意第8页第8页例1解第9页第9页第10页第10页例2计算解积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得曲线是两个半圆但它们围不成区域都故意义必须限制因此D只能在x=0

，x=2之间拟定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域特点，化成极坐标计算较为简朴

第11页第11页显然r

呢？极点在D边界上，因此

那就错了不能认为极点O在区域边界上就误认为对

r

积分下限为0定r

积分限，应先固定以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交穿入从从穿出积分限如何拟定第12页第12页尽管极点在D边界上但极角为射线并不是从极点穿入而不是域D极坐标表示为第13页第13页4。关于对称性

利用对称性来简化重积分计算是十分有效，它与利用奇偶性来简化定积分计算是同样，但是重积分情况比较复杂，在利用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对①若D关于x

轴对称第14页第14页第15页第15页②若D关于

y

轴对称③若D关于原点对称第16页第16页——称为关于积分变量轮换对称性是多元积分所独有性质

奇函数关于对称域积分等于0，偶函数关于对称域积分等于对称部分区域上积分两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数定积分性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简朴地说就是④若D关于直线

y=x

对称第17页第17页解D关于x,y

轴及原点及

y=x

对称故故例3计算第18页第18页例4计算D2D1解第19页第19页D第20页第20页例6设f(x)在[0,1]上连续求解D第21页第21页试将二重积分化成定积分解由积分域和被积函数对称性有用极坐标例7第22页第22页

为将二次积分化为所需要定积分，须变换积分顺序DD1第23页第23页依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数化为一元函数自然想到用极坐标另一方面，若先对

r

后对不可进一步化为定积分因此想到换序例8设

f(x)连续，证实注第24页第24页证一令则uv第25页第25页