高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2 已知不等恒成立,分离参数定最值

专题2-10已不等恒成立，分离参数定最值【型述不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函图像，实际是一种猜测。俗说，形缺数时难入微。【例引例1己函数f

x

ln.若函数f取极值，且，；若，且函数取范.法（接为值分讨）令g

x

，g

x

.令

x

ax

x

，①当a时h()，以g

1,

上单调递减而1aa

x

0在x

1,

上恒成立相矛盾.②当a时，则口向上(方案一）：.若a，

时，(),即

1,

上递增，所以

Ⅱ若即0

时，此时g

，合题意法三（缩小范围＋证明不等式）令

x

，则g.另一方面，当a时则有g

axxxx

，令(xax，口向上，对称轴增函数，则g题.例2.(2016全国新课标Ⅱ文己知函数f（Ⅰ）当a时，求曲线yf（Ⅱ）若当取值范.2

法（接为值：

xx

(函数为超越函数）；f

xflnx在xx

为增函数，则f

即时则f

时取“)，故f成立，故a适合题意.（）2即时则f

f

，f

，故f

x

有唯一实根x，ffxfa不合题意综，实数a的值范围为.法（离数：f

x

在点自成立），则设g

g

1

，令2xxxxxx

在xh)

x)

x

在lim

lim2，实数的值范围为a3法（小围）f

x

x

x

0在

恒成立，且f

，存在使得f

x

在f

x

xx

在令xf

2.又当a时f

fln在1,为增函数，则xxfxa时，取“)，故ff综上，实数a的值范围为.点：端刚适题时则离数一会到说的洛达则缩范则利端值导符来出数围这种化式有出学纲求的疑2.(重庆市2015届诊理20)已知曲线

x

lnx在

处的切线的斜率为1；若函数f值范围；当x，求a取值范围当

1时g在上减，单增，而gln，盾；2综上，法（离数fa

ln

在x自成立）设

12lnxxg

令hx

xx

[KS5UKS5UKS5U]

x

4又因lim

lim

故实数的值围为a（）矛盾；

11时，则，在上减，单增，而gln0，2aaa综上，实数a的值范围为点评：（在点处恰好适合题，分离参数所得函数却在x到下确界，值得留意5（）小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层数，缩短解题步骤。（）造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函g

x

x

分为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数数的零点为，二次函数的零点为x及x

1又知当时，零点，易得aln，而导出矛盾。【展接洛达则介法则1若数limfg的心邻域内，xf

lim

，么lim

lim

.法则2若数limfg

在

lim

，么lim

.法则3若数limfg的心邻域内，xf

lim

，那么lim

lim

.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①将上面公式中的,x换xa

x

洛必达法则也成立。②洛必达法则可处理,。③在着手求极限以前，首先要检查是否满足,0

,0

定，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用另途径求极限。④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【步练1．知函数

f

.6eaea（），证：当x时f

；（）存在

x

，使

f

，求实数

的取值范围

[KS5UKS5UKS5U]【思路引导】(1)由意对函数求导，然后构造函数

g

xx

，结合函数的性质即可证得题中的结论；(2)结题意构造函数

h

e

，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.设h（）=

exlnx

（≥eh’（）

ex1（）xxu=lnx-

111，’=，lnxxxx2x

在e+∞）增。=e时u=1-

＞，以u＞在e）恒成立，h（）0在e,+00恒成立，所以（x）e∞）递增≥e，（）=h（）emin需＞a＞e2．已知f

，

的导函数．（Ⅰ）求（Ⅱ）若f

在

时恒成立，求数a

的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求函数（x）的导数（x）,对g(x)进行求导g’(x),可求出7

ga

以及a

时，对应函数f（x）的单调性，求满足

f时成立时的值范围．【详细解析】当a

时，由e（x）得（x

）'

a故当

，于是当

，f

不成立综上，a

1的取值范围为．3．知函数f

x

0)

．（Ⅰ）若

求线f

在点（Ⅱ）求函数

f

的单调区间；（Ⅲ）设函数g

x

．若对于任意

f

成立，求实数的取范围．【思路引导】(求

f'

，可得切线斜率

f

，根据点斜式可得切线方程（）讨论三种情况，分别令8f'

得增区间，

f

得减区间；（Ⅲ）对于任意

有

成立等价于

恒成立，利用导数研究函数Fxln

的单调性，求出其最大值，进而可得结【详细解析】（）

，af

x

x2

在x所以函数

f

的增区间为

综上所述：当

时函f

的增区间为

；当

a

时，函数

f

的增区间为

，

，减区间为

；当

a

时，函数

f

的增区间为

9（Ⅲ）因为对于任意

成立，则

，等价于a

ln

.令F

ln

，则当

时，

aFmax

.F

x

.因为当

F

上单调递增所以

.所以

maxa

.1所以4．知函数

.

，.(当

时，求证：过点

有三条直线与曲线

相切；(当

时，

，求实数的值范围【思路引导】

，设直线与曲线

相切，其切点为，出线方程，且切线过点，可得易当

，判断方程有三个不的根，则结论易得；时，，则

，分、

两种情况讨论函数

的单调性并求出最小值，即可得出结论；法二：(1)同法一得得出结论；(2)同法.【详细解析】

，设，导判断函数的单调性，判断函数的零点个数，即可10(

当

时，，当

时，当

时，，设，，设，.(1)当

时，，而当且仅当在上单调递增，

时，等号成立)又

当时，而当时，，11在

上单调递减，又，从而当于是当

时，时，

，即，在

上单调递增，又，从而当

时，，于是当时，综合得的值范围为

.

，12121212121212当变化时，

变化情况如下表：

7

,

g

极大值

极小值g故过点

287312恰有三个根，有三条直线与曲线

相切.

28312(同解法一.5．知函数（）曲线

在点

（）处的切线的斜率大于时求函数

的单调区间；（）

对

恒成立，求的值范围（提示：

）【思路引导】(1)考查函数的定义域，且

，由，得

.类讨论：13当

时，

的单调递增区间为；当

时，

的单调递减区间为

.(2)构造新函数，令

，，则

，，分类讨论：①当

时，可得

.②当时，综上所述，【详细解析】

.

.②当

时，令，.14当

时，，

单调递增；当

时，，

单调递减.所以当

时，

取得最大值故只需，，化简得，令，（）令（，令

，，所以

在

上单调递增

，以，以

在上单调递减，在

上递增，而，，所以

上恒有，即当

时，

.综上所述，

.6．知函数

f

在点

处的切线方程为yx

,且

f

.(求函数

f

的极值；(若

f

2

在数的大值【思路引导】(Ⅰ由函数的解析式可得

f

x

，结合导函数与极值的关系可得极小

6ln6

，无极大值(Ⅱ)由题意结合恒成立的条件得正整数

的最大值是5.15【详细解析】g

.∴

在区间

区间0

,0

又∵

g

0,g

g

g∴当

1

时，恒有

g

；当

x

时，恒有

g

；∴使命题成立的正整数

的最大值为

5

.7．知函数f

x

xx

，

g

3

其中a，kR.（）

f

的一个极值点为

，求

f

的单调区间与极小值；（）

a

时，

12

f12

的取值范围.【思路引导】（）导由意

f

,可得a

,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即;（2）当

时，

f

x

x

，求导酒红色的单性可得ff

,进而得到16fx0,2

.又

g

，

k或k时g若

，通过讨论

g

的单调性，可得gi

kn

312

，或g

a

，可得

的取值范围ax【详细解析】

的单调递增区间为

，单调递减区间为

，

.

的极小值为f

.17gg8．知函数

f

.(1)求函数

f

的图象在

处的切线方程；(2)若任意

，不等式

f

恒成立，求实数a的取值范围；(3)设

m

π2

f

m

f

，0证明：

g

.【思路引导】求,得结果为

π

;18nn原不等式等价于x

,令gx

3

g

令h

分a

33

三种情况讨论函数的单调性可得结论;(3)利定积分求出的值,由(2),a

时fx

则

g

令

ln

x

求并判断函数

u

的单调性,求出

u

上恒成立令得ln1

n

n

则结论易得.【详细解析】且

0

g

(不符合题意)综上：

.199．知函数(1)讨论函数

fg

为自然对数的底)(2)当时f【思路引导】

恒成立，求实数a的值范围

g

，分

a

、

a

两种情况讨论

g

的符号，则可得结论；当

x

时，原不等式可化为

a

ex1，令，则x

1，令

h

的单调性并且求出最小值，则可得结论【详细解析】(1)

g

①若a，g

上单调递增；②若

a

，当

时，

g

，

g当

时，

g

，

g2010．函数（）

时求数

在点

.处的切线方程；（）任意的

函数

恒成立，求实数的值范围【思路引导】（）把a代函数解析式，求导后得到函数在点方程的点斜式得答案

f

x

出数的导函数函数在

x处，的导数为零，然后由导函数的导函数在

上大于零求得

的范围，就是满足函数

f

恒成立的实数

的取值范围.【详细解析】（）由函数即

时，则在点

处的切线方程为[KS5UKS5U]2111．设函

ae

ln，其中aR，e是然对数的底数（Ⅰ）若f

的取值范围；（Ⅱ）若a，证明：f2【思路引导】

.（由函数单调递增故函数恒为非负数离常数后利用导数求得

的最小值由得到

的取值范围）原不等式

f

，转化为

aeexln令F

，求出

的导数，对

分成

0x

两类，讨论函数的最小值，由此证得

，由此证得

f

.【详细解析】22aexaex（Ⅱ）flnx.令

F

a

（x下明当