高考数学高考必考题突破讲座4

n高中数学知识点高考资料高考历年考试真题n高考必考题突破讲座(四)直线、平面与空间向的应用[解密考纲]“”．广东五校诊断)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝，与BD相于点O，⊥平面ABCDCF∥，＝＝(1)求证：BD⊥平面；(2)当直线FO与平面所的角为时求异面直线OF与BE所的角的余弦值大小．解析(1)四边形ABCD菱形，BD⊥．∵AE平面，BD平面，BD∵∩＝，∴BD⊥平面ACFE.→→(2)以为点OB的方向为x，轴方向，过且行CF的线为轴(向上为正方向，建立空间直角坐标系，则，，D，－30)，E，(－1,0，→)(a，＝－1,0，a)．设平面的向量为nx，)，→＝，则有→OE，

即

y＝02＝，

令z＝1，则＝－，→→|OF|2＋a|由题意得45°＝|cos〈，n〉＝＝＝.→a＋1·5∵a>0，∴解得＝→→∴＝－1,0,3)，＝，－，2)，

|·||n＝，高中数学知识点高考资料高考历年|·||n＝，→→→→－＋5∴〈OF〉＝＝＝.→→84故异面直线OF所成的角的余弦值为

π．河郑州模)如图，在ABC中ABC＝，O为AB边一点，且＝＝2AB，已知⊥平面＝AO＝，且DA∥PO(1)求证：平面PBAD⊥平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所角的正弦值．π解析(1)明：∵OB＝，∵ABC，ππ∴∠＝，∴∠＝，即CO⊥AB．2又PO⊥平面，OC⊂平面ABC∴PO⊥OC又∵PO⊂面PAB，∩＝O∴CO⊥平面PAB，即⊥面又CO⊂平面，∴平面PBAD⊥平面．(2)以，OB，OP所射线分别为，，z轴建立空间直角坐标系如图所示．设|＝，则＝OB＝＝2DA＝则(2,0,0)，B(0,2,0)(0,0,2)，D，－，→→→∴＝(0，－，－，＝，－2,0)，＝(0－．设平面BDC的向量为＝(，，，∴

→＝，0，∴→0，令y＝1，则x＝1＝，n(1,1,3)．设PD平面BDC所的角为

→→22222PDn22222222→→22222PDn22222222＝0，－＋c＝，→CB＝0，b0×01则sin0＋1＋1＋

＝

2222即直线PD平面BDC所角的正弦值为．湖北武汉调考)如图，四锥－中AB∥CD，BC⊥CD侧面SAB为等边三角形，ABBC＝，CD＝SD(1)证明：SD平面；(2)求AB与平面SBC所角的正弦值解析方法一(1)建立如图所示的空间直角坐标Cxyz，则D(1,0,0)，，(0,2,0)，设(，，)，则x>0，，，→→→且S(x－2，－，，)，＝(，－2)．DSx，y，)．→→由AS＝，＝x＋，＝1，→由＝＋＝1，①→由BS＝2得y＋－4＋1，3由①②解得y＝，＝，∴，，，→3→→3→→→→AS－，－，，＝1－，DS，，，AS＝，DS＝2，∴⊥，⊥，又ASDS，∴SD平面SAB(2)设平面SBC的个法向量为m＝a，，c)→3→→BS1，－，，CB，AB＝(－，→由得故与面所的角的正弦值为

∴可取＝－，，

|·|AB|22222222高中数学知识点高考资料高考历年考试真题|·|AB|22222222→→－×〈，AB〉＝＝＝→7×2方法二如右图，取的点E，连接DE，则四边形为形，∴＝CB，∴＝

＋AE＝5.∵侧面SAB为等边三角形AB＝，∴＝SB＝AB＝，＝，又SD1，∴＋SD＝，＋SDED，∴⊥，SDSB又∩＝，∴⊥平面．(2)作在上射影G∵⊥，⊥DEAB⊥平面SDE∴平面⊥平面，两平面的交线为DE∴SG平面，在eq\o\ac(△,Rt)中由SDSE＝得1＝×SG，∴＝

，作在面上射影H，∠为与面所的角，∵CD∥AB，AB平面SDE，∴CD平面SDE∴CD，在eq\o\ac(△,Rt)CDS中由CD＝，求得＝在△中＝＝，SC＝，∴＝××2

7－＝，2由＝V，得AH＝，ASBCABC3SBCeq\o\ac(△,S)ABC21即××＝××2××2得AH，237AH21∴sin∠＝＝，AB7故与面所的角的正弦值为

(2018·安徽江南名校联)如图四棱锥－ABCD中PD平面ABCDAB∥DC，⊥，DC＝，AD8＝10∠PAD＝45°，为的中点．

2222高中数学知识点高考资料高考历年考试真题2222(1)求证：DE∥平面BPC(2)线段上否存在一点F，满足⊥DB若存在，试求出二面角F－D的弦值；若不存在，请说明理由．解析(1)明：取PB的点M，连接和，点C作CNAB，垂足为点∵⊥AB，DAAB，CNDA，又∥CD，∴四边形为行四边形，∴＝＝8，＝＝6，在eq\o\ac(△,Rt)中，＝BC－＝－8＝，∴AB，而，M分为PA，的点，∴EMAB且EM＝6又DCAB∴EMEM＝CD，四边形CDEM为行四边形，∴∥CM∵⊂面PBC⊄平面PBC，∴∥平面BPC(2)由题意可得，DC，DP两互相垂直，如图，以D为点DADC，分别为x，y，z轴立空间直角坐标系Dxyz则(8,0,0)，，C，P(0,0,8)．假设上在一点FCF⊥BD设点坐为(，t,0)，→→则F＝(8，－6,0)，＝(8,12,0)，→→2由FDB＝得t.又平面DPC的向量为m＝，设平面的向量为＝x，y，z．

→→161＋12＋92高中数学知识点高考资→→161＋12＋92又C＝，－，FC＝－，－，由

→＝，→＝，

z＝0，得－8＋y＝0

即

y，y，不妨令y＝12有n＝．n则cos〈n，m＝＝＝.|||2217又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F－－D的弦值为.．山东卷如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形A及其内部以边︵所在直线为旋转轴旋转120°得到的，GD的点．︵(1)设是C上的一点，且BE，求∠CBP的小；(2)当AB＝3，＝时求二面角－AGC的小．解析(1)为⊥BEAB⊥BE，，AP⊂平面ABP，∩AP＝，以⊥平面ABP又⊂面ABP所以BE⊥，又∠EBC＝，因此∠＝30°.︵(2)方法一取EC的中点，接EH，GHCH因为∠EBC120°所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEAC＝

2

＋＝13.取AG中点M连接EMCM，则EMAG⊥，所以∠EMC为所求二面角的平面角．

222可得高中数学知识点高考资料高考历年考试真题222可得又AM，所以EM＝13＝2在△，由于∠＝，由余弦定理得EC

＝＋2－22×2×cos＝12，所以EC23因此△为边角形，故所求的角为60°.方法二以B为标原点分别以BE，BPBA所在的直线为，，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，G，，，→→→C－1，3，故A＝，－，AG＝(1，，0)，＝，＝x，，1z)是平面AEG的个法向量．1由

→＝01－z＝0，可得y＝取z＝2，可得平面的个法向量m＝，－，2)．1设n＝(x，，)平面的法向量．2由

→AG，＋y＝，223＝取z＝－，可得平面ACG一个法向量n＝(3，－3，－2)．2n所以〈，〉＝.此所求的角为mn(2017·全国卷Ⅲ)图面ABCD中eq\o\ac(△,，)ABC是三形eq\o\ac(△,，)是角三角形，∠ABD∠，＝．(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的面于点，若平面把面体ABCD分体积相等的两部分，求二面角D－的余弦值．解析(1)明：由题设可得ABD≌△，从而＝CD．又△是直角三角形，所以ADC90°.

2222222n＝，1高中数学知识点高2222222n＝，1取的点O连接DOBO则DO⊥AC，＝AO又因为ABC是三形，故BO⊥，所以∠为面角－AC－的面角．在eq\o\ac(△,Rt)AOB中

＋AO

＝

2又＝，所以＋＝＋AO＝＝BD，故∠BOD90°.所以平面⊥平面ABC→(2)由题设及(知，，OB，OD两垂直，以O为坐标原点OA方向为x轴方→向，OA为单位长度，建立如图所示的空间直坐标系，则(1,0,0)，(0，0)(－1,0,0)D(0,0,1)由题设知，四面体的体积为四面体的积