工程热力学与传热学11第二章导热

第二章导热微分方程式§2-1基本概念和定律§2-2导热微分方程式§2-3通过平壁和圆筒壁的稳态导热§2-4肋(fin)的稳态导热§2-5二维、三维稳态导热§2-1基本概念和基本定律一、温度场（Temperaturefield）各时刻物体中各点温度分布的总称温度场是时间和空间的函数t—为温度;x,y,z—为空间坐标;—

时间坐标稳态温度场非稳态温度场非稳态导热稳态导热一维温度场：

二维温度场：

三维温度场：

一维稳态温度场：

二、等温面与等温线

等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。

等温线：用一个平面与各等温面相交，在该平面上得到一个等温线簇。(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；等温面与等温线的特点(2)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们要么封闭,要么终止于物体表面上；(3)等温线的疏密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小。三、温度梯度（Temperaturegradient）等温面上没有温差；温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。

不同的等温面之间，有温差。系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度，记为gradt

温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向四、热流密度矢量(Heatflux)

直角坐标系中：热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的法线方向。由于热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。

t+Δttt-Δt同一个等温面上没有温差，没有导热；不同的等温面上有温差，有导热；热流线（Heatflowline)：为表示热流方向的线，它恒与等温线(面)正交，方向朝着温度降落最大的方向。五、傅里叶定律（Fourier’slaw）

1822年，法国数学家傅里叶(Fourier)在实验研究基础上，发现导热基本规律：文字描述：系统中任一点的热流密度与该点的温度梯度成正比而方向相反；数学表达：标量形式：热导率（导热系数）傅里叶定律只适用于均质各向同性材料

各向同性材料：热导率在各个方向是相同的。

有些天然和人造材料：如石英、木材、叠层塑料板，其导热系数随方向而变化。六、导热系数（Thermalconductivity）影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。一般情况下：导电性好的金属，其导热性也好。

a.λ固>λ液>λ气b.λ导>λ非导c.λ纯金属>λ合金d.λ湿>λ干e.λ晶体>λ非晶体f.λ多孔<λ实体导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。

-物质重要的物性参数

不同物质导热机理气体的导热系数依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递液体的导热系数主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞固体的热导率依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者

a)纯金属的热导率：依靠晶格的振动传递热量；c)非金属的热导率：

T导热系数

T导热系数(水等除外)

T导热系数

T导热系数b)合金的热导率：

T导热系数依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠后者

（1）＝const，不考虑温度对其影响；（2），认为是温度的线性函数。

式中λ0为某温度时物质的导热系数，b为温度系数，t为材料的温度。导热系数是随温度变化的物性参数。工程上，导热系数的取值：不同物质的导热系数当<0.12W/(m℃)(GB4272-92)时，这种材料称为保温材料。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构。1.防潮2.避免挤压3.在中低温中§2-2导热微分方程式傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场理论基础：傅里叶定律+能量守恒定律一、导热微分方程式的推导假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质

(2)热导率、比热容和密度均为已知目的

(3)物体内具有内热源Qv，表示单位时间单位体积物体发出的热量，单位为W/m³。在导热体中取一微元体导入与导出净热量根据能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡的关系式：微元体产生的热量微元体的内能变化量＋＝123xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz单位时间内、沿

x

轴方向、经

x表面导入的热量：单位时间内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：单位

时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量

1导入与导出微元体的净热量净热量：单位

时间内、沿

x轴方向导入与导出微元体净热量单位

时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量单位

时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量2单位时间微元体内热源的发热量由傅里叶定律：净热量：3单位时间微元体热力学能的增量净热量＋内热源发热量=内能增量导热微分方程式导热过程的能量方程热扩散率物性参数、c和均为常数物性参数为常数，

无内热源,稳态二、导热微分方程式的简化拉普拉斯方程物性参数、c和均为常数,无内热源

物性参数为常数，无内热源,一维稳态：三、其他坐标下的导热微分方程

对于圆柱坐标系若为无内热源，一维稳态径向导热方程可简写为：

或四、导热过程的单值性条件

导热微分方程式的理论基础：完整数学描述：导热微分方程+单值性条件傅里叶定律+能量守恒定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷多个解。对特定的导热过程：为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。单值性条件包括四项：几何条件物理条件初始条件边界条件

单值性条件

几何条件如：物性参数、c和的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；又称时间条件，反映导热系统的初始状态

说明导热体的几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的物理特征

物理条件

初始条件稳态导热过程不需要时间条件——与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相互作用的条件

边界条件

第一类边界条件s—边界面;tw=f(x,y,z,)—边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上温度值：稳态导热：tw=const非稳态导热：tw=f(x,y,z,)oxtw1tw2例：

第二类边界条件根据傅里叶定律：已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值稳态导热：qw非稳态导热：特例：绝热边界面：

第三类边界条件傅里叶定律：当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度以及边界与流体之间的对流换热系数牛顿冷却定律：tf,qw

综上所述,对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括(1)导热微分方程式;(2)

单值性条件。

对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。

建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。

目前应用最广泛的求解导热问题的方法:(1)分析解法;(2)数值解法;(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。导热微分方程＋单值性条件＋求解方法温度场

a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c

之间的关系.

a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力越大，故称为热扩散率热扩散率a

分子是物体的导热系数。

分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。是与1/(c)两个因子的结合

a越大，材料中温度变化越迅速，a也是材料传播温度变化能力大小的指标，故有导温系数之称。§2-3通过平壁和圆筒壁的稳态导热假设一维导热微分方程几何条件：单层（或多层）；厚度物理条件：、c、

已知；无内热源边界条件：时间条件：1、长度和宽度远大于厚度——简化为一维导热问题2、两表面保持均一温度单值性条件第一类：已知tw稳态oxtw1tw2一、大平壁的一维稳态导热1、

单层平壁的稳态导热（λ为常数）

导热微分方程：求得平壁内温度分布：边界条件线性分布对导热微分方程式积分两次单层平壁内部温度分布是一条直线oxtw1tw2根据边界条件求得积分常数：导过平壁的热流量热流密度——导热面积为A的导热热阻——单位面积上的导热热阻温度梯度：温度分布曲线的斜率特殊情况：①壁面一侧温度各部份有差别的情况：当多个分区温度相差不大时，取表面温度为一个加权平均温度，视为近似的一维。如果分区温度相差较大，属二维导热，不能用一维导热公式。②两种不同材料物质组合的单层平壁：

设,材料热阻相差大，两材料间有热量传递，属于二维问题。若导热系数相差不大，忽略此热量，视为一维，其热阻被视为两个分热阻的并联。

③非常物性，导热系数随温度发生变化边界条件(λ0、b为常数)物理条件

求得平壁内温度分布二次曲线方程微分方程

热流密度

常数b的讨论式中：为平壁的算术平均温度；

为平壁算术平均温度下的导热系数。

对照2、多层平壁的稳态导热

多层平壁：由几层不同材料组成例：房屋的墙壁—白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等

条件：无内热源，λ为常数，第一类边界对平壁1：对平壁2：对平壁3：稳态无内热源：温度分布是由三段直线组成斜率:λ大，斜率小，平缓；λ小，斜率大，陡二、通过圆筒壁的一维稳态导热和传热

假设圆筒轴向长度远大于径向厚度（简化为一维径向导热）管壁内外表面保持均匀的温度（第一类边界条件）几何条件：单层圆筒壁物理条件：、c、

已知且为常数；无内热源边界条件：时间条件：单值性条件第一类：已知tw1单层圆筒壁的稳态导热

微分方程：或

tw1

r1

tw2

rr2对微分方程积分两次：第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果，获得单层圆筒壁的温度分布显然，温度呈对数曲线分布

tw1

r1

tw2

r

r2圆筒壁内温度分布：圆筒壁内温度分布曲线的形状？

tw1

r1

tw2

rr2温度梯度

单位长度圆筒壁的热流量不同半径处温度梯度不同——单位长度圆筒壁的导热热阻圆筒壁的热流量：热流密度：虽然是稳态情况，但热流密度与半径成反比热流量处处相等，与半径无关2多层圆筒壁的稳态导热

由不同材料构成的多层圆筒壁三层圆筒壁推导分析与多层平壁类似，总热阻由三个分热阻串联而成。温度分布为三条对数曲线首尾连接而成。通式：三、接触热阻的概念前所述及的多层平壁或圆筒壁中，假设条件一般为：*相邻两层在接合处的温度相等

*通过该处的热流密度也相等

第四类边界条件

*实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触—给导热带来额外的热阻—接触热阻

*当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出

*当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大影响接触热阻的因素：主要有结合面的粗糙度，接合压力，间隙中介质种类；其次还有材料的导热系数、硬度、温度等。减小接触热阻的方法：增大接合压力；减小粗糙度；在接合面上涂导热性能比较好的液体（如硅油、导热姆热油）或加上硬度低、延展性好、导热能力强的金属箔片。稳态导热公式总结串联热路：常见计算问题已知：各分热阻、左右两侧的温度求：Q、q、ql和交界面的温度解法：Q=Δt／Rtq=Q／Aql=Q／L

求出Q、q、ql

再由Q=Δt／Rt求出交界面的温度例1：某热输管道内直径为400mm，外直径为450mm，材料导热系数为40W/（m·℃）,在管外包有一层厚为50mm的保温材料，其导热系数为0.1W/(m·℃)，若管内表面温度为500℃，保温材料外表面温度为250℃，试求：1）单位管长的散热量；2）保温层内表面的温度，并画出壁内温度示意图。解:(1)(2)一条对数曲线，内壁面高，外壁面低，下凹例2：一块无限大平壁，厚为δ，左侧绝热，右侧与某种流体进行对流换热，对流换热系数为α，流体温度为tf。平壁本身具有均匀的内热源Qv，求平壁中的温度分布t1及t2（传热是稳定的）。解：列出该导热过程的微分方程为：边界条件为：积分一次：积分两次：代入边界条件：讨论：（1）最高温度为左侧壁温（2）温度分布曲线：上凸的抛物线

1.2无内热源，λ不为常数的求解积分一次：再积分一次：代入边界条件：温度分布求出两个常数§2-4肋(fin)的稳态导热工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托车的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表面，乃至人体的四肢及耳鼻等。

在一些储运设备中，经常在传热表面增设一些肋片来扩展传热面积，强化传热。科学家有争论说：恐龙是温血的动物，其身上的肋片加强了过多运动带来的热量散失。图示出了几种典型形状的肋(或称伸展体、延伸体)。直肋；环肋。等截面肋；变截面肋。一、等截面直肋的稳态导热分析1、基本假设1）肋片材料热导率为常数；

2）肋片根部与肋基接触良好，温度一致；

3）肋片厚度方向的导热热阻/与表面的对流换热热阻1/相比很小，可以忽略,肋片温度只沿高度方向发生变化,肋片导热可以近似地认为是一维的；4）肋片表面各处对流换热的表面传热系数都相同；与高度方向垂直的横截面积为A，横截面的周长为U=2（b+）2、分析思路（2）将肋片导热看作是具有负的内热源的一维稳态导热。数学模型：肋基处的温度为t０，环境温度为tf，且均为定值。肋片的上、下表面和肋端与流体对流换热的换热系数一般不同，设分别为α及αL，且均为定值。肋片的导热系数λ亦为定值。（1）热平衡方程内热源强度的确定：对于图中所示的微元段，代入导热微分方程式，得令，称为过余温度。数学模型可改为：是二阶线性齐次常微分方程，其通解为：积分常数由边界条件确定：最终解得其特解为：双曲线函数：(hyperbolicfunction)双曲线函数也可以由303页附录Ⅸ中查取。

在上式中，令x=L可确定肋端的过余温度：由傅里叶定律可求得肋片的换热量：肋较长时，可认为肋端温度梯度已趋于零。在前述公式中若取αＬ＝０:设想将肋加长一段ΔL，即将肋端的散热部分摊到ΔL这一段上。只要原端面上的散热量αA(t－tf）等于延长段ΔL周边上的散热量αUΔL(t－tf），这种假设就是允许的。使上述两部分热量相等，可求得ΔL为ΔL＝A/U对于矩形截面直肋，上式为

ΔL＝bδ/[2(b＋δ)]≈δ/２对于厚δ的等截面直肋，把肋高L修正为Lc＝Ｌ＋δ/２，就可用简化公式计算Q。对直径为D的等截面肋柱，可求出ΔL＝D/4，取Lc＝L＋D/4。实践证明，只要，这样计算的误差小于1%。对金属材料来说，这个条件完全能得到满足。三、敷设肋片对强化传热的判据

合适的肋片的几何形状和尺寸大小的选定，要考虑到传热效果好，材料费用和制造成本低、重量轻、占用空间小以及流体在肋间通过时流动阻力小等一系列具体性能。对于等截面(A＝δb)直肋，如设αＬ＝α，则其与周围流体间的换热量可得：

如不敷设肋片，则基部壁面A０＝Ａ直接与流体接触时的换热量Q

nf为：与前式相除：上式等号右侧的值可以有三种情况，即大于、等于、小于1。从敷设肋片而影响换热的角度来说，这三种情况依次表示壁面敷设肋片后：(1)增强换热；(2)既不增强也不减弱；(3)减弱换热。因为b》δ，所以把它代入：敷设肋片后能增大换热量，亦即起有利作用的判据为

式中：为肋片中垂直于x向的内部导热热阻；1／α为外部对流换热热阻。因此，这一比值反映了两种热阻的比值。毕渥准则(简称Bi数):但由于推导此判据时曾设肋片周围的α为定值，并把肋片内部的温度场作一维问题的处理等，故通常认为对于等截面直助和三角形直肋，只有当

时才能增强换热。注意，在三角形直肋中δ应取平均厚度，亦即肋基厚度的一半。四、肋片效率及肋壁效率

衡量肋片实际散热能力的指标称为肋片效率ηf。它定义为肋片在实际情况下的散热量Q与理想情况下的散热量Q０之比，即:η

f＝Q/Q

0

理想散热量:是指沿肋片高度肋片温度不降低，仍保持为肋基温度时的散热量，而实际散热量则是肋片实际散失的热量。以等截面矩形直肋为例，理想散热量为

Q０＝α·2Lbθ０Ｗ实际散热量为

Q＝λＡθ０mth(mL)W式中，A＝bδ、m2＝(２α/λδ)上式中的mL也可表示为将与的关系绘制成曲线则为肋片效率曲线：在肋片散热的计算中，如肋片效率ηf已由图中曲线查得，则在算出理想情况下的散热量Q０后，即可按ηf的定义式求出肋片的实际散热量Q。肋壁效率ηt：整个肋壁在理想情况下的散热量与实际散热量的比值。若以At表示各肋间面积及各肋片散热面积之和，以Af表示各肋片散热面积之和，则肋间面积等于(At－Af)。于是：值得指出的是，本节所讨论的肋的计算方法有一定的近似性。例如：对流换热α并不为常值，敷设肋片部分和末敷设肋片部分的肋基温度也不一定相同等。关于这方面的问题可参看有关专著。§2-4二维、三维稳态导热求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响但是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界条件，无法得出其分析解数值计算方法—

有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：

（1）有限差分法

（2）有限元方法（3）边界元方法

√一、导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否例：二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题xynm(m,n)MN基本概念：网格线、节点、步长、控制容积（元体）二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：

（1）建立控制方程及定解条件

针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：

（2）区域离散化（确立节点）

用一系列与坐标轴平行的网格线把求