《志鸿优化设计》2023届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第十一章概率与统计11．2古典概型

第页11.2古典概型eq\a\vs4\al(考纲要求)1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会用列举法计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率．1．根本领件有如下特点：(1)任何两个根本领件是______的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________．2．一般地，一次试验有下面两个特征：(1)有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的根本领件；(2)等可能性，每个根本领件发生的可能性是相等的，称具有这两个特点的概率模型为古典概型．判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．3．如果一次试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个根本领件的概率都是______；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝______.1．从集合A＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b，那么直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为()．A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3) C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，那么()．A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P13．从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是__________．4．盒子中共有大小相同的3个白球，1个黑球，假设从中随机摸出两个球，那么它们颜色不同的概率是__________．一、古典概型及其概率计算【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个根本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)假设按球的颜色为划分根本领件的依据，有多少个根本领件？以这些根本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？方法提炼1．判断一个概率问题是否为古典概型，关键是看它是否同时满足两个特征：有限性和等可能性，同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型．2．求古典概型的概率时，一般是先用列举法把试验所包含的根本领件一一列举出来，然后再找出所求事件A所包含的根本领件的个数，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)即可求得事件A的概率．请做演练稳固提升1二、古典概型的应用【例2－1】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．【例2－2】甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)假设甲抽到红桃3，那么乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：假设甲抽到的牌的牌面数字比乙大，那么甲胜，反之，那么乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．方法提炼由于古典概型所包含的根本领件的个数是有限的，所以可先用列举法把试验所包含的根本领件一一列举出来，然后再求出某事件A所包含的根本领件的个数，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)便可求出事件A的概率．请做演练稳固提升3概率主观题的标准解答【典例】(12分)(2023山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．标准解答：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．(3分)由于每一张卡片被取到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．(5分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f(3,10).(6分)(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．(8分)由于每一张卡片被取到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的．(9分)从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．(11分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为eq\f(8,15).(12分)答题指导：事件A的概率的计算方法，关键要分清根本领件总数n与事件A包含的根本领件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个．答复好这三个方面的问题，解题才不会出错．1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，那么这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)2．假设a∈{1,2}，b∈{－2，－1,0,1,2}，方程x2＋ax＋b＝0的两根均为实数的概率为()．A.eq\f(3,5) B.eq\f(7,10) C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,8)3．(2023安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()．A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5) C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)4．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()．A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)5．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bc(1)假设所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

参考答案根底梳理自测知识梳理1．(1)互斥(2)根本领件的和3．eq\f(1,n)eq\f(m,n)根底自测1．C解析：依题意k和b的所有可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为eq\f(4,9).2．B解析：先后抛掷两颗骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P1＝eq\f(1,36)，P2＝eq\f(1,18)，P3＝eq\f(1,12).3．eq\f(1,3)解析：所有情况共有6种，而其中一个数为另一个数两倍的有2种情况．故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4．eq\f(1,2)解析：根本领件总数为6种情况，其中颜色不同的共有3种情况，所以所求概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).考点探究突破【例1】解：(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为根本领件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个根本领件，分别记为A：“摸到白球〞，B：“摸到黑球〞，C：“摸到红球〞，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1,11)，而白球有5个，故一次摸球摸中白球的可能性为eq\f(5,11)，同理可知摸中黑球、红球的可能性均为eq\f(3,11)，显然这三个根本领件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分根本领件的依据的概率模型不是古典概型．【例2－1】解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的根本领件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq\f(3,16).故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).【例2－2】解：(1)甲、乙两人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2,3,4表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为eq\f(2,3).(3)由甲抽到的牌的牌面数字比乙大的有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)共5种，甲胜的概率为P1＝eq\f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq\f(7,12)，∵eq\f(5,12)＜eq\f(7,12)，∴此游戏不公平．演练稳固提升1．A解析：由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种，又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．B解析：假设方程有两实根，那么a2－4b≥0，即a2≥4b.那么满足条件的根本领件(a，b)有：(1,0)，(2，－1)，(2,0)，(1，－1)，(1，－2)，(2，－2)，(2,1)共有7种情况，而根本领件总数为10，∴所求概率为eq\f(7,10).3．B解析：记1个红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，那么从中任取2个球，根本领件空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)}，共计15种，而两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，所以所求概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).4．D解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，∴所求概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝eq\f(3,20)＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq\f(2,20)＝0.