《志鸿优化设计》2023届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第十一章概率与统计11．3随机数与几何概型

第页11.3随机数与几何概型eq\a\vs4\al(考纲要求)1．了解随机数的意义，能运用模拟试验的方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或______)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为__________．2．几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝__________________________.3．用随机数估计事件发生的概率：利用计算机或计算器产生一些满足一定条件的数，其中每一个数产生的时机是一样的，通过模拟一些试验，可以替代我们进行大量的重复试验，从而估计得到事件的概率．1．如下图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为()．A.eq\f(2,π) B.eq\f(1,π) C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)2．在长为6m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2mA.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．正方体ABCD­A1B1C1D1内有一个内切球O，那么在正方体ABCD­A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,8) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，那么此小杯中含有这个细菌的概率是()．A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.15．如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，那么射线OA落在∠xOT内的概率为__________．一、几何概型及其应用【例1－1】如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．假设在矩形ABCD内部随机取一个点Q，那么点Q取自△ABE内部的概率等于()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)【例1－2】在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在外表，对产品就不会造成影响，否那么产品就会不合格．在一个棱长为4cm的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡方法提炼1．几何概型的特征：一是根本领件的无穷性，二是根本领件的等可能性．常见的几何概型问题有：与长度有关的几何概型、与面积有关的几何概型、与体积有关的几何概型．2．解决几何概型问题的一般步骤：(1)明确取点的区域Ω；(2)确定所求概率的事件中的点的区域A；(3)计算区域Ω和区域A的几何度量μΩ和μA；(4)计算所求问题的概率P(A)＝eq\f(μA,μΩ).请做演练稳固提升1,3二、用随机模拟的方法估计概率【例2】种植某种树苗，每株的成活率为0.9，假设种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．方法提炼用均匀随机数模拟试验时，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．(2)由所有根本领件总体对应区域确定产生随机数的范围．(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．请做演练稳固提升2不能正确画出几何概型的图示而致误【典例】(2023辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积大于20A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：此概型为几何概型，由于在长为12cm的线段AB上任取一点C，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与因此所求概率为eq\f(8,12)，即eq\f(2,3)，应选C.答案：C答题指导：1.计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．1．设x∈[0，π]，那么sinx＜eq\f(1,2)的概率为()．A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)2．某运发动每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运发动三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运发动三次投篮恰有两次命中的概率为()．A．0.35B．0.25C．0.20D．3．(2023北京高考)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是()．A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2) C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)4．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，那么点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为A.eq\f(1,27) B.eq\f(26,27) C.eq\f(8,27) D.eq\f(1,8)5．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，那么所投点在E中的概率是__________．

参考答案根底梳理自测知识梳理1．长度面积体积几何概型2．eq\f(构成事件A的区域长度(面积或体积),试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))根底自测1．A解析：此试验属几何概型，设圆的半径为1，那么圆的面积为π，正方形的面积为2，所以投中正方形区域的概率为eq\f(2,π).2．B解析：将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．C解析：设正方体棱长为a，那么正方体的体积为a3，内切球的体积为eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))3＝eq\f(1,6)πa3，故M在球O内的概率为eq\f(\f(1,6)πa3,a3)＝eq\f(π,6).4．C解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P＝eq\f(0.1,2)＝eq\f(1,20)＝0.05.5．eq\f(1,6)解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，那么OA落在∠xOT内的概率为eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).考点探究突破【例1－1】C解析：由题意知，该题考查几何概型，故P＝eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)AB·BC,AB·BC)＝eq\f(1,2).【例1－2】解：记产品合格为事件A，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4cm的正方体．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体外表要大于0.6cm，所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8cm的正方体内部才符合题意，所以构成事件A的区域是棱长为2.8cm的正方体，这样产品合格的概率P(A)＝eq\f(2.83【例2】解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以表达成活率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数．698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，那么表示恰有4棵成活，其中有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率为eq\f(9,30)＝0.3.演练稳固提升1．C解析：由sinx＜eq\f(1,2)且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).2．B解析：由题意可知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的随机数为：191,271,932,812,393，共5组随机数，故所求概率为eq\f(5,20)＝0.25.3．D解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A，如下图，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A的是阴影局部区域μA，故由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(22－\f(1,4)×π×22,22)＝