《志鸿优化设计》2023届高考数学人教A版理科一轮复习题库：第九章解析几何9．7抛物线

第页课时作业49抛物线一、选择题1．抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的焦点，那么a＝()．A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()．A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y3．抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为()．A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)4．点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，那么d1＋d2的最小值是()．A．5 B．4 C.eq\f(11\r(5),5) D.eq\f(11,5)5．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其上的3个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，那么以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形()．A．不存在 B．必是锐角三角形C．必是钝角三角形 D．必是直角三角形6．(2023四川高考)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．假设点M到该抛物线焦点的距离为3，那么|OM|＝()．A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)7．如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，假设eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，那么|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝()．A．6 B．4 C．3 D．二、填空题8．以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________．9．(2023安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，假设|AF|＝3，那么|BF|＝__________.10．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF＝eq\f(\r(3),2)MN，那么∠NMF＝__________.三、解答题11．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．12．(2023江西高考)三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|＝eq\o(OM,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋2.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，－1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

参考答案一、选择题1．C解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))，双曲线的焦点为(0,2)，依题意那么有eq\f(a,4)＝2，解得a＝8.2．D解析：由题意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.3．A解析：由题意，得1＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝8.∴m＝4.∴M(1,4)．又A(－eq\r(a)，0)，∴直线AM的斜率为kAM＝eq\f(4－0,1＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a)).∴eq\r(a)＝eq\f(1,3).∴a＝eq\f(1,9).4．C解析：设抛物线的焦点为F，那么F(1,0)．由抛物线的定义可知d1＝|PF|，∴d1＋d2＝|PF|＋d2.∴d1＋d2的最小值为|PF|＋d2的最小值，即点F到直线x＋2y－12＝0的距离．∴最小值为eq\f(|1－12|,\r(5))＝eq\f(11\r(5),5).5．B解析：设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k＞0)，由抛物线定义得|FA|＝eq\f(p,2)＋3k，|FB|＝eq\f(p,2)＋4k，|FC|＝eq\f(p,2)＋5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．6．B解析：由抛物线定义知，eq\f(p,2)＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y0eq\o\al(2,)＝8，于是|OM|＝eq\r(4＋y\o\al(0,)eq\o\al(2,))＝2eq\r(3).应选B.7．A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵F(1,0)，∴＋＋＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋x3＝3，,y1＋y2＋y3＝0.))∴||＋||＋||＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＋x3＋eq\f(p,2)＝3＋3＝6.二、填空题8．x2＋(y－4)2＝64解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，那么圆心为(0,4)，半径长r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.9.eq\f(3,2)解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2,2eq\r(2))，那么直线AB的斜率为k＝eq\f(2\r(2)－0,2－1)＝2eq\r(2).∴直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2\r(2)(x－1)，))消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2).∴|BF|＝x2＋1＝eq\f(3,2).10.eq\f(π,6)解析：过N作准线的垂线，垂足是P，那么有PN＝NF，∴PN＝eq\f(\r(3),2)MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝eq\f(\r(3),2)，∴∠MNP＝eq\f(π,6)，即∠NMF＝eq\f(π,6).三、解答题11．解：如图，依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，那么直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.12．解：(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得|＋|＝eq\r((－2x)2＋(2－2y)2)，·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，由得eq\r((－2x)2＋(2－2y)2)＝2y＋2，化简得曲线C的方程是x2＝4y.(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，曲线C在Q处的切线l的方程是y＝eq\f(x0,2)x－eq\f(x\o\al(2,)0,4)，且与y轴的交点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(x\o\al(2,)0,4)))，分别联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x－1，,y＝\f(x0,2)x－\f(x\o\al(2,0),4)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝\f(x0,2)x－\f(x\o\al(2,0),4)，))解得D，E的横坐标分别是xD＝eq\f(x0－2,2)，xE＝eq\f(x0＋2,2)，那么xE－xD＝2，|FP|＝1－eq\f(x\o\al(2,)0,4)，故S△PDE＝eq\f(1,2)|FP|·|xE－xD|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\