普通物理学教程力学第二版课后题答案(第四、十章)

第四章动能和势能思考题4.1起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？[解答]在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升Fmg；匀速上升Fmg。4.2弹簧A和B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？[解答](1)KK拉长同样距离ABA1K22AAA1K22｝KK,AA.BBABAB(2)原长FKx,KKAAAAFAFKx,AOBBB原长FFBxAxKBBFBAFFAKBABBOKxKxBAABA1Kx2K1F1F22AA22K2KAAAA2AAA1Kx2K1F1F22BB22K2K｝,KKAAABABBBBB2BB4.3“弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。[解答]与零势能的选取有关。4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？[解答]设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方？便[解答]（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。（2）人体的动能是内力做功的结果。（3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？[解答]不一定。4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？[解答]木块（1）有关。F木板如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。木块木板SF（2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。[解答]原长E(x)p（1）弹簧原长为势能零点oxoE1Kx22PKxdx1Kx2EEA??)(E0x2PPp00E(x)P设xx处势能为零。0EEkxdxxpxPx0x0E1kx1kx2222xoPx01kx220（2）重力势能：y0处势能为零E(y)pyh处势能为零0EEmgdymgymghy0PyPhhyo0h00E(y)mgymghp0mgh0E(y)pyh处势能为零0ymgdymgymgh0EEPyP(-h)hy-h0o00h0万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零EGmm12rp习题4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？[解答]人作用到传送带上水平方向的力，大小为50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。N=F=mg×=50kg×9.8N/kg×2m/s=980w4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为fkk3，表12示弹簧的伸长量，k为正。（1）研究当k0,k0和k0时弹簧的1222df12劲度d有何不同；（2）求出将弹簧由拉伸至时弹簧对外做的功。[解答]（1）根据题意fkk312dfk3k2所以弹簧劲度为d12df当k0时，由于k0，所以d0，弹簧的劲度随弹簧的伸长21量的增加而增加。df当k0时，弹簧的劲度随弹簧的k02d2伸长量的增加而减小。kk021df当k0时，dk1弹簧的劲度不k022变。以上三种情况的弹簧劲度系数如右图所示：12（2）将弹簧由拉伸至时，弹簧对外界所做的功是：A=2(kk)d1k(22)1k(44)242121212111k(22)1k(22)(22)2421212121112kk(22)(22)2212211当时，A0.拉伸，外界做功，弹性力做负功。12当时，A>0.缩短，弹性力做正功。124.2.4一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳。证明力F对线做的功等于线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。[解答]ATdr设T为绳作用在小球上的力。力T对小球所做的功为TSdr,dr将dr分解为沿r方向和与r垂直方向的两个分位移(r为对12O点的位矢)如图：A=TdrTdrdrTdr1T12SSSdr又∵绳子不可伸长dr2FTdr1∴drd（d是力F的作用点的r1T位移）OTdrFd∵S4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切tg0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？[解答]取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力mg、牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示：RRFffFmgmg上坡受力分析下坡受力分析上坡时：下坡时：∵卡车作匀速直线运动∵卡车作匀速直线运动∴Fmgsinf0∴F+mgsinf0F=mgsin0.04mgF=mgsin0.04mg卡车的功率卡车的功率上下NF(mgsin0.04mg)上NF(mgsin0.04mg)下tgtg=（mg0.04mg)上=（mg0.04mg)下tg12tg12由题意：NN上下tg0.04tg21()45(km/h)tg上下0.04tg214.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率6m/s。求力T0将木块自A拉至B点的速度。[解答]TNTxxoABmgABN、mg做功为零由动能定理：121AB2mmTdr22BA式中4xTATdrT4Tcosdx4dx(4x)232AB00uduu2+a2利用积分公式：u2+a2(4x)0AT450d(4x)(4x)232则上式50(4x)2324100(J)0m2A2AB20.9(m/s)Tm注：关于T做功还有一种解法:TdrT[4232-3]2T100(J)AB其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度2m/s，求木块被拉至B时0的速度。0.5m0.5mBBFF0.5mA0.5mNTmgA450450[解答]重力做功AWdrWAB5.88(J)WABA60(20.5-0.5)12.43(J)F112mmAAAF2A22B总W2Am总m2AB3.86(m/s)方向向上4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为k，0物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离k02mg11。kmg2为2[解答]ll00kkmmmmoxx由：1122220Amm120A0m2Amgxkxdxx0mgx1kx221所以：2mmgx1kx2202解一元二次方程：由xbb24ac2a0mgmg1km2(mg)2xkmgmg1km20(mg)2舍去负号：xk2mgk0(11)mg2k24.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为V和V，膨胀前的压强为P。121活塞初速度为。（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时0气体压强与体积满足PV恒量。（2）若气体压强与体积的关系为PV/恒量，为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）[解答]11pv11vvvvmmpdvdvpvln11220222（1）22vvv1112pvvln11220mv1112pvpvdv(v1v1-)1111mm20v21-2（2）22v1v12pv1-21(v1v)011(1)m24.3.5O坐标系与O坐标系各对应轴平行。O相对于O沿x轴11Fxmm212，0以作匀速直线运动。对于O系，质点动能定理为222,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于O系，动能定理也取这12种形式。[解答]yoy0xxt∵t0xxt,=00xFxFxFt∴∵∴xo0FxFxFtzz01111mmm()m()2022122222220111mm(mm)1222221021m2(mm)1FxFt=m022221021由动能定理得：Ft=mm21Ft=(mm)∴002121m21Fx=m最后可得：2221说明相对于O系，动能定理的形式不变。4.3.6带电量为e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为V的电场加速。设偏转磁感应强度为B，偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为meBR222U.[解答]C正离子从离子源引出后，在nˆF加速器中受到电压V的电场加速。O正离子获得的动能为1EmeVK2(电势能)2zeV正离子的速度m由于正离子在磁场受到洛仑兹力F=qB的作用而发生偏转2meBReBReBReBRm2zeVm∴eB2R2即：mzV4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。[解答]300Ox3001RT相对R30F02W1W2以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力wmg，框架重力w，轻绳拉力T和作用在框架上的水平力F。其中211轻绳的拉力T和w不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作2用力R、R，由于光滑，所以R、R做功之和为零。质点组所力情况如图：根据质点组动能定理：121mmmg(1cos30)Fsin3002122（1）21为圆柱体的绝对速度2为框架的绝对速度。由于相对（见下图）12将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：cos3021带入（1）式中11mm(cos300)2mg(cos301)Fsin3002221112.4(m/s)1解得：4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧kk1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差l。坐标12原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在0xl和x<0时弹性势能的表示式。[解答]fkx1k弹性力112kk(x)21k(x)1xxOF=k(x)1外力为当0x时，k无势能，只有k有势能。外界压缩弹簧k做功使212k势能增加。设原点处为势能零点，则：2E(1k2)k(x)dx1x2P1EPxk(x)d(x)1k2211E1kx2kx2P11x0时：原点为势能零点kxdx1kx2x2A2对于k：外力做功220211A1xk(x)dxkxk2kx1222对于k：外力做功1111E(1k2)kxkxk2kx111222222112P11E1(kk)x2kx2P1214.5.1滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（3）运动员B到达平台时的速率。C[解答]A?CCN25mBh=?30Bd=?W（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力W和地面支持力N作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力N不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：1mghm2B250g22.14(m/s)B（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高C度22sin230B2g8ghB6.25(m)（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：mmcos30CBcos3019.17(m/s)CB（4）d的高度:水平射程的一半d1(sin2)21.65(m)2B2g4.5.2装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。[解答]包含球杆弹簧的质点组受力O0.5m如图所示：NFAC0.1mN不做功。重力和弹性力为保守力（不1mB计摩擦）W系统机械能守恒设杆水平时势能为零110mmg(AB)+k()22（1）22∵OA2AC20.520.120.5099(m)（水平位置）0(OAAC)0.60.50990.09(m)0（2）将（2）式代入（1）式121mmg(AB)+k(0.09)2022m2mg(AB)+k(0.09)2022mg(AB)k(0.09)2m2g(AB)k(0.09)2m4.278(m/s)4.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。[解答]AFNOBDRC（1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力F和光滑圆弧的水平方向的作用力N作用，F为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处：1121mk()2m2B（B点速度最大）22A2k()2mBAAOAOB=(OB+R)2R2OB=0.3065(m)1.2(m/s)B（2）在D点弹性势能为：E1k(2R)22.76(J)2PD121mmE2B2DPD因为所以22EPD0.58(m/s)D2mB4.6.1卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。[解答]设粒子的质量为4m，氢原子的质量为m；粒子的初速度为10，氢原子的初速度为0；2012正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。(mm)2m11022120mm由公式:12将以上数据代入：3m8m20101.61025m1(4m)210入射粒子的能量：21m(1.6)210氢原子碰后的能量：2则：4.6.2m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率滑行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。[解答]选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。MVmM01(Mm)V2fs2撞后：由动能定理f(Mm)V2(Mm)M2M2222s(Mm)2s(Mm)22s4.6.3两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e。若球A自高度释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。[解答]（1）A球碰前的速度，由机械能守恒：1mmgh2A021Ah2ghA01AB（1）A与B发生非弹性碰撞Bmmm（2）（3）A0AeBABA又知：A0B0A0由（1）（2）（3）式得：1e1e2gh2（4）2AA01A球上升高度：机械能守恒1mmgh2A0222A2g2g1(1e)(1e)22h2ghh44211（2）若两球发生完全弹性碰撞e10A由（4）式再由（2）式BA0即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（h1B，A球以0A0高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。A速度开始向上运动。如此往复。A04.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆沿铅直方向升起若干。[解答]第一阶段，动量守恒MmMV+mMmh01V=m()V0M0第二阶段，机械能守恒1MV2Mgh2V1m2()022h2g2gM20.0022(500100)229.8120.03(m)4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。[解答]铅块下落到框底速度为2gh（1）10接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。1012gh（2）22（由于碰撞时间短，下降距离为零）以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为，碰撞后质点移动的最大距离为。0122mk22mg1k()22mg()12（3）220000kmg依题意（4）0（2）（4）式代入（3）式：22h0002h0.10.120.10.30.10.2000舍去负号项，0.3m30cm4.6.6质量为m=0.790kg和m=0.800kg的物体以劲度系数为1210N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率=100m/s沿水平方向射于m内，问弹簧最1多压缩了多少？[解答]1第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量(mm)(mm+m)V再由机械能守恒：1(mm)1(mm+m)V21k()22（3）22210120max有（1）（2）（3）式解出：111m00()0.25(m)kmmmm+mmax101204.6.7一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。[解答]第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒：110（为子弹、小鸟共同速度）m(mm)12m101mm12第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动t小鸟落地时间：gm1mm2h0.0111024.910(m)g0.010.19.8t10水平距离：124.6.8在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知A、B两质点的质量分别为m和m。求至少发生两次碰撞的条件。12[解答]分三个阶段：第一阶段，A第一次与B完全弹性碰撞。设，A撞前速度为，撞后速度10为；11B撞前速度为零，撞后速度为。21(mm)2m2201210m+m由公式：112(mm)2m1102120m+m得：2122102m110mm12(mm)1mm11;2112110mm2要使质点返回，必须，即1121mmghm21112112（是再度下滑到平面轨道的速212度）,11得21121212第三阶段，A，B再次碰撞。1121要求，即将上面的，代入此式12211121mm1mm22m110mm101212m3m2即1这是A，B至少发生两次碰撞的条件。4.6.9一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD长。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至时开始做匀速直线运动。后来，0钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？[解答]选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系ox。第一阶段，钢球与AC发生完全弹性碰撞。,10设为铁箱碰撞前后速度，1为小球碰撞前后速度。由完全弹性碰撞：e,e11220110202,0,01002021即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为。0第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与BD相碰。取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间t0隔为4.6.10两车厢质量均为M。左边车厢与其地板上质量为M的货00箱共同向右以运动。另一车厢以2从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：（1）货箱与地板间的摩擦系数；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。[解答]（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，M2M2MV0010V2第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系;0EfK002224f1M21M()3M20220Mg3M4203204g（2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。0M2m()00系统的动量：系统总动量为零，质心不动。2Mx2Mx13M2xc(常量)（1）（2）Mx2Mx3Mxc12M(xx)2m(xx)3Mx（3）c1222x32解（2）（3）式得：4.7.1质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成900角散射。（1）求粒子的运动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核传给粒子？[解答]（1）由动量守恒：x:mu2mcosy:0mu2msin(2)即：由e1（完全弹性碰撞）(usin)usin1ucoseucosucosusin（3）（1）（2）式代入（3）式得：2cos212sin2,30u（2）由（1）式2cos3033u12m(3u)223231mu2（3）动能比：2m10610kg14.7.2参考3.8.7题图。桑塔娜空车质量为，载质量为70kg一人，向北行驶。另一质量为15210kg的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北300滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为0.8。该地段规定车速不得超过80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？[解答](mm)gd1(mm)V221212V2gd（1）（2）（3）m(mm)Vcos22012m(mm)Vsin11012(mm)sin解得：102gd18.57(m/s)66.88(km/h)12m1(mm)cos202gd23.92(m/s)86.1(km/h)12m2切诺基超速。E(mm)1(mm)V21121102220碰撞损失的动能：22212第十章波动和声习题10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉.0C时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长.[解答],20Hz,20000Hz∵12331.5(m/s)331.5116.58(m)20∴1331.516.5810-3(m)220000210.2.2一平面简谐声波的振幅为0.001m，频率为1483Hz，在20C的水中传播，写出其波方程.[解答]已知A.001m.1483Hz,表P309知波速1483m/s。设O-x轴沿波传播方向，x表示质元平衡位置坐标，y表示质心相对平衡位置的位移，选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即2x原点处初相为零0。则位于处的体元相位落后。即：2x2xyAcos(t)Acos(t)Acos(tx)2xy=Acos2(t)0.001cos(2996t2x)10.2.3已知平面简谐波的振幅A0.1cm，波长1m，周期为102s，写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？[解答]选坐标原点处位相为零刻为计时起点。O-x轴沿波传播方向，则可得波的最简形式：txyAcos2()T代入已知数据得txy103cos2()103cos2(100tx)1012设波源处为x，则xx9,xx10010202[100t(x9)]2[100t(x10)]2因此位相差是：0010.2.4写出振幅为A，f，波速为c，沿Ox轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox轴正方向.[解答]波源振动方程：yAcos(t)0t0时，yAcos0,,Asin0,sin0022因此波源振动方程为：yAcos(t)22x任一x处的位相比波源的相位落后，得波方程为2xyAcos(t)22Acos(2t)x2xAcos[2(t)]2将已知量代入得：yAcos[2f(tx)]c210.2.5已知波源在原点（x0）的平面简谐波方程为yAcos(btcx)，A,b,c均为常量。试求：（1）振幅，频率，波速和波长；（2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？[解答]yAcos(btcx)与平面简谐波方程的标准形式yAcos(t-kx)比较可得：b22（1）振幅为A，频率：；b/c2b/2cb波速kc，波长（2）x时，该点的振动方程式为：yAcos(btc)此质点振动的初位相为c。010.2.6一平面简谐波逆轴传播，波方程为xyAcos2(t3)，试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。[解答]x，最简形式应为xyAcos2(t)yAcos2(t3)如改变计时起点后的新计时系统以t应满足xx，因此tt3tt3即将计时起点提前3秒，就可将波方程化成最简形式xyAcos2(t)y5cos2(tx)ts4，试用两种方法画出时5310.2.7平面简谐波方程的波形图。（SI）[解答]x3y5cos2(t),t45的波形图。yyy5cos(2)5cos(),5450找出对应于方程的各（x,y）点,例如：5xx0，y4.045;y0,x1.4；y5,x2.4O5通过各点描绘出所求波形图（右图）。6A5m,4m,0方法二：由方程求得，50,y5cosx2先画出的图形，在将纵坐标轴向右移动x：0x6/50235x03即向右移动5，就可以得到所求的波形图。txSrcos2()中r=0.01m,T=12s,=030m.,10.2.8对于平面简谐波画出Tx0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t3s,6s时的波形图。[解答]txyrcos2(),r0.01m,T12s,0.30m（1）Ttx得y0.01cos2()120.3y(m)又xx0.20m00.014t0.20y0.01cos2()0.01cos（t)t(s)120.3630.050.20.018可求得T=12s,t=0时；y0.01cos（4)0.053（2）t=3s、6s时波形图y(m)3xa.y0.01cos2()120.3042x0.010.01cos()20.300.3x2xO0.0750.15x0,y0;0,x0.075,y0.0120.306xb.y0.01cos2()120.302x0.01cos()0.30其相位与t=3s时相差2，所以将t=3s的波形图向右移4，即得t=6s时的波形图。10.2.9二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的123x,x,x,,波形图，说明此时以及各质元的位移和速度为正还是为123x负？它们的相位如何？（对于和只要求说明其相位在第几象限）22yyx22xxx33x11[解答]若波用余弦函数表示,则所求结果如下表.横坐标位移速度0相位2正最大x1负负最大0Ⅱ象限xx230正最大负221正Ⅲ象限2320正最大310.2.10图（a）、（b）分别表示t0和t2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。y/my/m22x/mx/mO122O122(a)(b)[解答]由图知A2m,2m由图(a)知,原点处质元t=0时,位移最大,速度为零,因此原点处质元初相0.(1n)T2S比较t=0和t=2s的(a)(b)图知4,8Ts,(n0,1,2,)4n1因此取n0,T8s,将A,,,T之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式:txyAcos[2()Ttx2cos[2()0822cos(tx)410.3.1有一圆形横截面的铜丝，手张力1.0N，横截面积为1.0mm2.求其中传播横波和纵波时的波速各多少？铜的密度为8.9103kg/m3，铜的杨氏模量为12109N/m3.[解答]8.9103kg/m3,r12109N/m2r121091.16103(m/s)8.9103可把很细的铜丝看作柔软的弦线(设弦线的密度为),计算在其中传播的横波的波速.T1.0N11.01068.91038.9103T1.010.6(m/s)8.910310.3.2已知某种温度下水中声速为1.45103m/s，求水的体变模量.[解答]k,已知1.45103m/s,103kg/m3k(1.45103)22.10109(N/m2)210.4.1在直径为14cm管中传播的平面简谐声波.平均能流密度9erg/scm2，300Hz，v300m/s.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相邻同相位波面间的总能量.[解答]xAsin(t)222(1)能量密度最大能量密度Amax2212IIA,A2222能流密度max2I9erg/scm29107104J/sm2300m/s已知2I6105(J/m3)maxAI3105(J/m3)122平均能流密度2d2d24Vs,s(2)4由于相邻同位相波面间的距离为.一周期内单位体积媒质具有的平均能量为,因此相邻同位相波面间的总能量为d2EV4.62107(J)410.4.3面向街道的窗口面积约40m2，街道上的噪声在窗口的声强级为60dB，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？[解答]IL10logI0LII10100LWISI10S1010601012404105(w)声功率10010.4.4距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB.求（1）距声源5m处的声强级；（2）距声源多远，就听不到1000Hz的声音了？[解答]Ir2IIr22r12Ir(1)2212211r2I2L10lgI210lg10lgI110lg2rr2121I0II0r2120已知10lgI220dB,r10m,r5mI120102因此L2010lg26.02(dB)522(2)设距声源r时,刚好听不到声音0Ir2r(I1r2)1/2(1010Lr2)1/2100cm0120IrI1001110.5.1声音干涉仪用于显示声波的干涉,见图.薄膜S在电磁铁的作用下振动.D为声音检测器,SBD长度可变,SAD长度固定.声音干涉仪内充满空气.当B处于某一位置时,在D处听到强度为100单位的最小声音,将B移动则声音加大,当B移动1.65cm时听到强度为900单位的最强音.(1)求声波的频率,(2)求到达D处二声波振幅之比.已知声速为342.4m/s.[解答](1)由最小声音到相邻的最强音,经SAD,SBD管内穿到D处的二相干波,传播距离差应改变2,此改变量是由B管的移动引起的,因此21.65cm241.65cm6.61025188HzIAAI112111IAAI3(2)2222210.5.2两个声源发出横波,振动方向与纸面垂直,二波源具有相同的位相,波长0.34m.(1)至少求出三个x数值使得在P点合振动最强,(2)求出三个x数值使得在P点合振动最弱.[解答]此二横波振动方向相同,波长相同,在同一种媒质中传播,波速相同,因此其周期相同,圆频率也相同,传到P点的此二横波的方程可写成:tLyAcos2()T11tLxyAcos2()T22(1)在P点合振动最强时,二横波在该点引起的多振动位相相同,即tLxtL2()2()2nTT由此得,xn.已知0.34m取n0,1,2时得x0.17m,0.51m,0.85m10.5.3试证明两列频率相同,振动方向相同,传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加.[解答]设满足题目要求的二平面简谐波为:yAcos(tkx)11yAcos(tkx)且AA2221则:yyAcos(tkx)Acos(tkx)121(AA)cos(tkx)2Acoskxcost2122此结果的前一项表示一行波,后一项表示一驻波,可见满足题目要求的二平面简谐波叠加后形成了一驻波与一行波的叠加.y10104cos[2000(tx)]在固定端反射,坐标原点与3410.5.4入射波固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)[解答]反射波的振幅,频率,波速均与入射波相同,传播方向与入射波传播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐标原点的初位相为零.故反射波在原点的初位相为:0(22)(41)(0.51m)其中为落后位相,为半波损失.y10104cos[2000(tx)]10104cos[2(34tx)]1/100034/1000入射波可见34/1000,(40.511001)6134由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程:6120000y1010cos(t61)10104cos2000(t)4反射波的振动方程为:x61xy10104cos2000(t)10104cos[2000(t)]34200034txyAcos2()10.5.5入射波方程为,在X=0处的自由端反射,求T反射波的波方程.无振幅损失.[解答]yAcos2()知T反射波振幅为A,周期为T,波长为,传播方向沿坐标轴O-X正方向.因在X=0处自由端反射,故反射波与入射波在原点处位相相同.因此反射波方程为:txyAcos2()T10.5.6图示某一瞬时入射波的波形图,在固定端反射.试画出此瞬时反射波的波形图.无振幅损失.[解答]因为反射波与入射波传播方向相反,在固定端反射时,二者位相差为,所以可以按以下方法作出反射波波形图:以界面处质元平衡位置为原点如图建立坐标系.设入射波波方程为yAcos(tkx)先作出入射波波形图,以y轴为对称轴的对称波形图,并画出该波形图在固定端左侧的部分.设此波是逆X轴正方向传播的,则其方程可写为yAcos(tkx)因为入射波在自由端反射时,没有半波损失,即反射波和入射波在界面处位相相同,而传播方向相反,所以反射波波形图是入射波波形图以界面为对称的对称图形,其图形如图所示10.5.8一平面简谐波自左向右传播,在波射线上某质元A的振动曲线如图示.后来此波在前进方向上遇仪障碍物而反射,并与