初三数学直角三角形边角关系专题复习知识精讲北师大版

初三数学直角三角形边角关系专题复习知识精讲北师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：直角三角形边角关系专题复习［学习过程］-.知识体系:.三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中①tan①tana=/a的对边/a的斜边②sin②sina二/a的对边/a的斜边③cos③cosa=/a的邻边/a的斜边在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中.特殊角的三角函数值，可用表格来说明sinacosatana30°1060°<33345°旦1注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆.三角函数的有关计算(对于一般角的三角函数值可利用计算器)(1)测山的高度4.三角函数的应用4.三角函数的应用《(2)测楼的高度(3)测塔的高度(4)其它二.例题分析例1.如图在等腰直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6,D是AC上一点，若tan/DBA=5，求AD的长。CAE B分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。本题已知tan/DBA=1,所以可以过D作DELAB于E,把/DBA放于RtADBE中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰Rt△的性质，此题就不难解答了。解：过D作DELAB于E.,.△DBE和4DEA为Rt^DE1•.♦tai/DBE= = 设DE=x则BE=5xBE5AB=DE+BE=6x又•••AACB为等腰RtA.•./A=45。/.RtADEA为等腰RtAAE=DE=x.AD=<2x又•AC=6,.AB=<2AC=6<2 .6x=6<2 .x=、n.AD=,；2x=<2.-<2=2即AD=2例2.如图湖泊的中央有一个建筑物AB,某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°,求建筑物的高（结果保留根号）分析：本题的关键在于(1)DB-CB=100(2)Rt△ABC与Rt^ADB有一条共同的线段AB,因此只要利用Rt△ABC和Rt△ADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100,问题便可迎刃而解。, AB AB 、；3解：在RtAABC中，•/tan60= /.BC= 二—ABBC tan603在RtAABD中，•tan30。=AB.BD=AB=<3ABBD tan30。■-•BD—BC=100, 3AB——AB=10032/3 ■-.•・AB=100,AB=50t33答：建筑物AB的高为50△米。例3.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1°）分析：（1）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“t”的一元二次方程，从而求出时间晨（2）要求B点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角。解：设需t小时才能追上。则AB=24t，OB=26t，（1）在RtAAOB中，OB2=OA2+AB2即（26t）2=（10）2+（24t）2解得t=1，t=-1（不合题意舍去）1 2.•.t=1即需1小时才能追上。（2）在RtAAOB中AB24t 12si七AOB= =——=—a0.9231OB26t13「./AOB=67.4。即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°。例4.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：（1）测量数据尽可能少（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用a、B、Y等表示，测倾器高度不变。）（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）

分析：要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，若已知AD的长度，再分别测在A和D两处观测的H的仰角即可求出H点距AD的高度。但要求HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据；若分别测得在D和C两处观测的H的仰角再测出DC的长度也可以求出HG的长度，而采用这种方案需3个数据，因此本题最佳的解决方案有两套。有了方案第3小题便可轻松解决了。解：（1）延长AD交HG于M，方案1：分别测量AD=m，DC=n，在A处测得H的仰角为丫，在D处测得H的仰角为a。（2）解设HG=x，TOC\o"1-5"\h\zHMx-n x-n在RtAAHM中，tany= = .\AM= AM AM tanyHM x-n x-n在RtADHM中，tana= = .\DM= DM DM tan ax一n x一n又AM一DM=m.\ 一 =mtanytana_mtary-tana+n（taa一tary）_ mtanatarytarn-1aty tan-tatymtana•tany即HG=n+tana一tany方案2：（1）分别在D、C两点测得H的仰角为a、HG（2）设HG=x，在RtACHG中，tanp= =CGHMx一n x一n在RtADHM中，tana= = ,\DM= DMDM tanaDM=DM=CGx x一ntanP tanan-taiP「.x= taiP-1ana即HG二一ntanPtanP一tana

例5.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。解：（1）过B作BDXAC于D根据题意得：NBAC=30°,在RtAABD中BD=sin30。•AB=1AB=1x20x16=160<2002 2AB处会受到影响。（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）贝UE点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在RtADBE中，DB=160,BE=200,由勾股定理可知DE=120,在RtABAD中，AB=320,BD=160,由勾股定理可知：AD=160v3AE=AD—DE「.AD=160v3—120（海里）…160…160.3-120二3840（小时），该船应在3.8小时内卸完货物。【模拟试题】一.填空：.在Rt△中，斜边和一直角边之比为13：12,最小角为a，则Sina=,cosa=，tana=.在Rt^ABC中NC=90。,a、b、c分别是角A、B、C的对边，则sinA;TOC\o"1-5"\h\ztanB cos! ...在RtAABC中，ZC=90。，sinA=5，则cosA= ,tanB=.沿着坡度（坡比）为1：<3的山坡向山顶走200m，则此时离开地面的高度是 .在AABC中，AB=422,ZB=45。，ZC=60。，AH，BC于H,D是AC上一点且AD=%；3,则AH= ,CH= ,DC= .C.在RtAABC中，ZC=90。,AC=6<3,ZA的平分线AD=12，则ZBAC= ,BC= .若等腰三角形的两边分别为8和10,则底角的余弦值为AABC中，AB=5,BC=13,AD是BC边上的高，AD=4,则CD= ,sinC=o.在RtAABC中，ZBCA=90。,CD是中线，BC=8,CD=5,则sinZACD=—,cosNACD;,tanNACD;4 一一一10.AABC中，ZC=90。,sinA=5,BC=20,则AABC周长= ,AABC的面积=,NB^（精确到度）

.在RtAABC中，NC=90数值，则c边等于( )， b c， ，A.^ .在RtAABC中，NC=90数值，则c边等于( )， b c， ，A.^ B.bcosAbC. D.bsinAcosA.在RtAABC中，AC边的长是斜边AB的L则sinA=（3A.1 B.2^-2 C.1<2 D.3<23.在RtAABC中，NB=903.在RtAABC中，NB=90°,tan22°30,的值为（ ）A.<2+1B.、汽—1ZACB=45°,^D在BC的延长线上，且CD=CA,则UCv2+1 D，2-1...在RtAABC中，CD为斜边AB上的高，则下列各线段的比不等于sinA的是（ ）A.里 B.些 C.CD D改AB BC AC BC.RtAABC中，NC=90°,NA=60°,C=80,贝Ua等于（ ）A.40B.40v2C.40v3 D.1^v3.若梯子与水平方向所夹的锐角为A,则下列说法正确的是( )sinA越大，梯子越陡cosA越大，梯子越陡tanA越小，梯子越陡D.与以上因素无关三.解答题.计算(不用计算器)cos60。+sin45。-tan30。(2)6tan230-%3sin60。-2cos45。「、.一一一行一4tan450-6sin30。+——tan60。3，,、於•一一一(4)——sin45。+sin60。-2cos45。2.用计算器计算下列各式的值。sin15。+cos61+tan76。sin27.8。-cos65。37'+tan49。56''.如图物华大厦离小伟家60m,小伟自家中眺望大厦，并测得大厦顶部仰角为45°,而大厦底部的俯角为37大厦底部的俯角为37求该大厦的高度。.求图中避雷针的长度（CD）5海中有一小岛A,该岛四周10海里以内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西50°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西28°的C处，货轮继续向东行驶，你认为货轮继续向东行驶途中会有触礁的危险吗？说明你的理由。.某商店准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角由43°减至35°，已知原楼梯长5m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？.小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，求塔高（小明的身高忽略）（结果保留根号）DABCABC.如图，一护栏AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°的角，且DB=5m，现再在C点上方2m处加固另一钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少？NEDC等于多少度？°方向航行°方向航行10km至C港，求（1）A、C两港之间的距离（结果精确到0.1km）（2）确定C港在A港的什么方向？.如图大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°,爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC。.请你设计方案，测量下图中建筑物AB的高度，测量仪器有皮尺和测角器。A□要求：（1）测量数据尽可能少（2）写出你的设计方案（3）并写出计算过程【试题答案】.填空(1)5.填空(1)513ac451213ab4512

bc100m460° 1852(7)100m460° 1852(7)5或28 5(8)10-./2929345 3(10)150。 37。1.C2,B3.B4.B5.C6.A三.解答题1.(1)3+1.(1)3+3c2-2<36(2)(3)22+<3-2<2(1)略 (2)0.76BCBC3,解：在RtABCD中，•••tan37。=连=而BC=60•tan37。, ABAB在RtAABD中，tan45。= =——=1,\AB=60BD60・•.AC=AB+BC=60+60-sin37。, ACAC4解：在RtAABC中，•••tan50。=——=——,\AC=80•tan50。AB80ADAD在RtAABD中，tan56。=一=一,\AD=80•tan56。AB80CD=AD-AC=80(tan56。一tan50。)BD5.在RtAABD中，tan50。= .\BD=ADtan50。ADCD在RtAACD中，tan28。=一,\CD=AD-tan28。AD又BD-CD=20「.AD(tan50。-tan28。)=20

6.20JAD= 6.20tan50。-tan28。解：如图解：=AC=5在RtAACB中在RtAACB中ABACsin43。・•.AB=ACsin43。=5sin43。些=cos43些=cos43。AC・•.BC=ACcos43。=5cos43。在RtAABD中，在RtAABD中，AB =sin35。 .\ADADAB 5sin43。sin35。sin35。5sin43。jAD-AC= 5h0.9(m)sin35。AB又• =AB又• =tan35。 /.BD=BDAB5sin43。tan35。tan35。・DC=BD-BC=5sm43。-5cos43。tan35。（三角函数的具体值可用计算器求出）7.解：设CD=x米•在Rt7.解：设CD=x米•在RtABCD中，在RtAADC中，DC =