解析几何中的面积问题1

14分.14分.解析几何中的面积问题21、如图，直线ykxb与椭圆—y214交于A,B两点，记z\AOB的面积为S.(I)求在k0,0b1的条件下，S的最大值；(II)当AB2,S1时，求直线AB的方程.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分(I)解：设点A的坐标为(为，b),点B的坐标为(x2,b),2 由二b21,解得X12 2j1b2,4 ，所以S：bgx〔X22bg/1_b2<b21b21.当且仅当b也时,S取到最大值1.2ykxb,(n)解:由1,TOC\o"1-5"\h\z2 12 2得k-x2kbxb10,42 \4k2b21|AB|V1k2gx1xjV1k2g 2.1 2—k4 2s设。到AB的距离为d,则d仝-1,IAB|又因为d-4bU,所以b2k21,代入②式并整理，得.1k2TOC\o"1-5"\h\z.4.21— ,2 1 ,2 3k4 k2- 0,解得k2 -, b2 一,代入①式检验， 0,4 2 2故直线AB的方程是.2 .6--2-X-2-，或y

2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1P是动点，且三角形POA的三边所在直线的余^率满足k0Pk0AP是动点，且三角形POA的三边所(I)求点P的轨迹C的方程;uuvuuv(n)若Q是轨迹C上异于点p的一个点，且PQOA直线OP与QA交于点M,问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM?若存在，求出点P的坐标;解:(I)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则由整理得轨迹C的方程为yX2(X0且X1).(n)设LUIV由PQP(X1,X2),Q(X2,X2),uuvOA可知直线PQ//OA,解:(I)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则由整理得轨迹C的方程为yX2(X0且X1).(n)设LUIV由PQP(X1,X2),Q(X2,X2),uuvOA可知直线PQ//OA,则kPQkOA,X2X2 X1 1直线QA的斜率为:・♦・直线QA方程为:联立①②，得X由SPQAuuur由PO2sPAMuuur2X1Xi0P(XiXi1)211y1(Xi2)(X1),即1 ,—,，点M的横坐标为定值2即6分yX1X(X12)xX112分,得到QA2AM,因为PQ//OA,所以OP2OM，得为1,P的坐标为(1,1).14分3 3、已知中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为三的椭圆过点((I)求椭圆的方程；(n)设不过原点O的直线1与该椭圆交于P次成等比数列，求^OPQ3 3、已知中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为三的椭圆过点((I)求椭圆的方程；(n)设不过原点O的直线1与该椭圆交于P次成等比数列，求^OPQ面积的取值范围.Q两点，满足直线OP,PQ,OQ的斜率依解：(I)由题意可设椭圆方程为(a>b>0),2b21,2,,,所以,1椭圆方程为(H)由题意可知，直线1的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(mw0),p(xi,yi)kx4ym,2 消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m240,'x1x224(m21)14k2贝(]△=64k2b2T6(l+4k2b2)(b2—1)=16(4k2—m2+1)>0口 8kmx1x2 214k2故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以，工业x1x2,2 2kx1x2km(x1x2)m2 =k,x1x2~2 2即，8km214k2c —,c1 r一+m2=0,又mw0,所以k2=—,即4由于直线OP,OQ的斜率存在，且4>设d为点O到直线l的距离，则Saopq=0,1一d2得0vm2v21一 2一2、|PQ|=一|x1—x2||m|=Vm(2m)所以SaOPQ的取值范围为(0,1).4、过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C：x22py(p0)截得的弦长为4H(I)求p的值；(II)过抛物线C上两点A,B分别作抛物线C的切线l1,l2.(i)若li』2交于点M,求直线AB的方程；(ii)若直线AB经过点M,记li12的交点为N,当Sabn28"时，求点N的坐标。TOC\o"1-5"\h\z解：(I)由已知得点(222,2)在抛物线X22py上，代入得8=4p,故p=2.2 2x1 x(II)设A(xi,‘)，B(X2，二)，直线AB方程为ykxb.4 4rykxb,m2由2 得x4kx4b0,则x1x24k,x1x2 4b.x4y,又y—x之求导得y—,故抛物线在A,B两点处的切线斜率分别为—,—,4 2 222 2故在A,B点处的切线方程分别为l1:y^x二和l2:y逐x&,2 4 2 4于是Ii与l2的交点坐标为(x1资,\^)，即为(2k,b). 8分(i)由题意得M(4,2)是Ii与l2的交点，2k4一 k2一故,即,故直线AB的方程为2xy20. 9分b2, b2,(ii)由题意得M(4,2)在直线AB±,故4k+b=2,且％x2 4k,Xi x2 16k 8,故h与l2的交点N坐标为(2k,4k 2).又|AB| .1k2 |x1 x2| 4,(1k2)(k24k2),点N