解析函数的各种等价条件及其应用

#存在很多联系.因此，我们可以根据共轲调和函数的定义及定理推导函数解析的等价条件.定义42131如果二元实函数H(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程2HHxxHyy0,则称H(x,y)为区域D内的调和函数，其中 ——.xy定义52131在区域D内满足CR方程的两个调和函数 u(x,y),v(x,y)中，v(x,y)称为u(x,y)在区域D内的共轲调和函数.在此，u与v不可调换顺序.根据定理6和定理7我们可以得出解析函数的又一个等价条件条件4函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是在区域 D内v(x,y)是u(x,y)的共轲调和函数.由条件4及相关定义，可知，如果已知一个调和函数u(x,y),我们可求得它的共轲调和函数 v(x,y),从而构成一个解析函数 f(z)u(x,y)iv(x,y).同理，如果已知一个调和函数 v(x,y),我们也可以求出它的共轲调和函数u(x,y),构成一个解析函数.这类问题，一般是用 C.R方程去求解.我们看下面的例子例7验证u(x,y)x33xy2是z平面上的调和函数，求解析函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)使f(0)0.解ux3x23y2,uy6xy,uxx6x,Uyy6x因为UxxUyy0所以u(x,y)是z平面上的调和函数.TOC\o"1-5"\h\z2 _ 2由CR万程.vyux3x3y得出2 2 .vx,y uxdy (x)3x3ydyx所以vx,y3x2yy3 (x).再由C.R方程得vx6xy '(x)6xyuy2 3v(x,y)3xyyc

因此f(0)i(03c)0,得c0所以解析函数为f(z)z3.但有时此方法较多且繁，我们还可以通过下面这种比较简便的方法来解决.解由于u(x,y)为调和函数.~ (x，0) 2 2 (x，y) 2 2所以v(x,y)(00)6xydx(3x3y)dy(°)6xydx(3x3y)dycy2 -2 2 30(3x3y)dyc3xyyc.可得f(0)i(03c)0,得c0所以解析函数为f(z)z3.3.5等价条件5及其应用综合定理8和定理9可得出刻画解析函数的又一等价条件条件5函数f(z)在区域D内解析的充要条件是f(z)在D内任一点a的邻域内可展成za的哥级数.例8将ez展成z的哥级数，并指明其收敛范围.解由于ez ezz0解由于ez ezz0z01,n012Ml所以ez 1三1!2!IIIIll(*)注意到ez在整个z平面上处处解析，故ez的解析区域的边界为而原点到 的距离R所以(*)式在整个z平面上处处成立注意任意一个具有非零收敛半径的哥级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.例9将函数f(z)Vz班1内按z1的哥展开，并指明其收敛范围.21解3z31(z1)31[1(z1)产0111 11(11)(1

33 30111 11(11)(1

33 3n!n1)一(z1)n]收敛范围为4总结综上所述，解析函数的各种等价条件对我们更深刻地理解复变函数提供了很大的帮助.若函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内满足CR方程，而且ux,y和vx,y具有一阶连续偏导数，那么函数fz在D内解析，也就是利用条件 1和条件2可用来判断函数在某区域内的解析性和不解析性；条件 3可用来计算某些复变函数的积分，特别是一些被积函数的实部和虚部容易被计算的积分；另外，若已知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的问题，可利用条件4来分析解决；最后条件5则根据函数 fz在区域D内任一点是否可以展成 za形式的幂级数来判断函数的解析性，并根据相关性质为我们求幂级数的收敛区域提供了一种更为简单的方法．在证明和计算过程中，我们可以根据题目的具体要求灵活选择适当的方法解决，使问题简单化．得注意的是，在条件3的应用中都是被积函数在包围积分路径的单连通区域内解析或有一个奇点的情况下进行积分的，解题时应注意．通过刻画解析函数的各种等价条件，使我们知道了解析函数在复变函数中的重要性，它几乎贯穿了复变函数论的始终，因此，更进一步探讨解析函数的各种等价条件是非常必要的．参考文献：盖云英，包革军．复变函数与积分变换 [M]．北京：科学教育出版社，2001钟玉泉．复变函数论 [M](第三版)．北京：高等教育出版社，2004杨林生．复变函数 [M]．高等教育出版社，2001余家荣．复变函数 [M](第四版)．北京：高等教育出版社，2004马立新．复变函数学习指导[M]．山东：山东大学出版社，2004郑建华．复变函数 [M]．北京：清华大学出版社，2005薛以峰，李红英，翟发辉．复变函数与积分变换 [M]．华东理工大学出版社，2001李建林．复变函数与积分