2021年全国中考数学真题分类汇编-函数：函数与几何(压轴题1)(含答案)

屮考真题分类汇编（函数）——函数与几何（1）1.（2021・湖北省武汉市）抛物线）=妒一1交x轴于A,B两点（A在B的左边）.（1）口4CDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.如图（1）,若点C的坐标是（0,3）,点E的模坐标是舟，直接写出点A,D的坐标：如图（2）,若点D在抛物线上，且口4CDE的面积是12,求点E的坐标；（2）如图（3）,F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段AF,BF（不含端点）于G,H两点,若直线/与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.【分析】（1）①点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C,而四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D,即可求解；②利用S^ACE=S样形CNMA-S^CEN-S：.AEM=6,求出m=-5（舍去）或2,即可求解；（2）由FG+FH=―+—^―=V5（.w-xg）=^5-1Z£）=屆即町求sin^sinCt44解.【解答】解：（1）对于y="-1,令y=J-i=o,解得x=±5,则y=・1,故点4、B的坐标分别为（-1、（4,顶点坐标为（0,①当X=—时，丫="・1=呂，~74由点A、C的坐标知，•••四边形ACDE为平行四边形,故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点DM-|+S=5M-|+S=5417—9“244故点D的坐标为伶¥）；②设点C（3,_1）,同理可得，点D的坐标为（〃汁4,mVF是原点0VF是原点0关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0,由点B、F的坐标得，同理可得，直线AF的表达式为y=-6.v-2②，设直线I的表达式为v=rx+/n联立y=f.r+〃和）=”-4并整理得：A-2-tx-n-1=6,将点D的坐标代入抛物线表达式得:7M•・•直线I•・•直线I与抛物线只有一个公共点，故/\=（-f）2-4（-〃・6）=0,解得n=-丄Z2-L4解得“=2加+8,故点C的坐标为（0,2m-r6）；连接CE,过点E作y轴的平行线交x轴于点M,则s从CE=S梯形CNMA-S^cen-S.：.AEM=*（m+2+m）（2〃汁1）-^-2-6）-寺”[5〃?+1-厶乙厶512・8）]=丄S“ced=6,2解得加=-5（舍去）或2,故点E的坐标为（8,3）；

故直线I的表达式为y=tx-L2-8③，4联立①©并解得劝/=空・4同理可得，“=丄二二4•・•射线网、关于y轴对称，设ZAFO=ZBFO=a,则smZAF0=ZBF0=9^===2=sina,BF（2+2?鹿则FG+FH=严+,切=丽（xh-xg）=V&（丄埋-主遛）=V5.sin^sin^442.（2021•湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点”.例如（1,1）,（2021,2021）-都是“雁点（1）求函数）=垒图彖上的“雁点”坐标；X（2）若抛物线），=小2+5.计（上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与;i轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当。＞1时.①求C的取值范闱；②求ZEMN的度数:（3）如图，抛物线）=-"+21+3与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线）=・"+2丫+3上一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰RtABPC,是否存求出点P的坐标:求出点P的坐标:若不存在，请说明理由.【分析】（1）由题意得：x=l,解得x=±2.即可求解;（2）①由△=25・4ac=0,即ac=4,即可求解;②求出点M的坐标为（0）、点E的坐标为（-Z,-Z）,即可求解;aaa（3）证明△CMP^APNB（AAS）,则PM=BN,CM=PN,即可求解.【解答】解：（1）由题意得：x=±解得x=±2,X当x=±2时，〉=仝=±2,x故“雁点”坐标为（2,2）或（・2,-2）；（2）①・・•“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y=x,•・•物线y=a"+5x+c上有且只有一个“雁点”E,贝I」ax1+5x+c=x9则Z\=25-4ac=0,即ac=4,故c<4；②V«c=4,则6?a2+5x+c=0为ax1+5x+—=0,解得或■丄，即点M的坐标为（-X0）,aaa图L由图L由ax1+5x+c=x,ac=4.解得即点E•的坐标为（-2・2）aaa故点E作曰7丄x轴于点H,则HE=—则HE=—9MH=xe^xm=-—故ZEMN的度数为45°:（3）存在，理由：由题意知，点C在直线y=兀上，故设点C的坐标为（/,/）,过点P作X轴的平行线交过点C与），轴的平行线于点M,交过点B与y轴的平行线于点N,设点P的坐标为（加，-?n2+2m+3）,则BN=・加2+2〃汁3,pn=3-m,PM=m-f,CM=-m2+2m+3・t,•・・ZNPB+ZMPC=90”，ZMPC+ZCPM=9（F,・•・ZNPB=ZCPM,IZCMP=ZPNB=90“、PC=PB、:.'CMP空、PNB（A4S）,:.PM=BN,CM=PN,即m・f=|-〃,+2"?+3|,・〃,+2〃?+3-r=|3-m\,解得加=1+乞10（舍去）或1-如或邑22故点P的坐标为（2山°一,1）或（3,丄5）.2243.（2021-怀化市）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且04=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点M（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达；I轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点£、F的位置,写出坐标，并求出最短路程.（4）点0是抛物线上位于x轴上方的一点，点/?在x轴上，是否存在以点0为直角顶点的等腰RtACQR?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当ZCP'M为直角时，则PC〃x轴，即可求解：当ZPCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN=MN+PM=6+5=」L即可求解：2（3）作点C关于函数对称轴的对称点C'（2,8）,作点D关于x轴的对称点D'（0,-4）,连接C'D'交x轴于点E,交函数的对称轴于点F,则点E、F为所求点，进而求解；（4）证明△AN0竺△0WC（A45）,则QN=CM,即可求解.【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为C2,0）、（4,0）、（0,8）,（4a-2b+c=0fa=-l16a+4b+c=0,解得｛b=2,c=8[c=8故抛物线的表达式为y=-x2+2x+S；（2）存在，理由：当ZCPfM为直角时,,cosa=,cosa=-4),则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则円C〃x轴，则点P的坐标为（1,8）；当ZPCM为直角时，在RtAOBC中，设ZCBO=a,MtanZCBO=-^^-=2=tana,贝ijsma=-OB4，忑'在RtZXTVMB中，NB=4・L=3,则BM=———=3妬，cosa同理可得，MN=6,由点B、C的坐标得，BC=J护+42=4馅,则CM=BC=MB=品,在RtAPCM中，ZCPM=ZOBC=a,则pm=£=尊吕sina2V5则PN=MN+PM=6+5=A,2故点P的坐标为（b丄上），2故点P的坐标为（1，8）或（1,丄匸）：2（3）•・•£＞为CO的中点，则点D（0,4）,作点C关于函数对称轴的对称点C'（2,8）,作点D关于x轴的对称点ZT连接CD9交犬轴于点&交函数的对称轴于点八则点E、F为所求点,

理由：G走过的路程=DE+EF+FC=D‘E+EF+FC'=CfDf为最短,由点C'、D'的坐标得，直线C'Df的表达式为y=6.v-4,对于y=6x-4,当y=6x-4=0时，解得x=耳，当x=l时，）=2,故点F的坐标分别为（Z,0）、（1,2）：3G走过的最短路程为C'D'=勺（2-0）'+（呂+4）2=2“37；（4）存在，理由：设点Q的坐标为（X,-"+2x+8）,故点Q作y轴的平行线交x轴于点N,交过点C与只轴的平行线于点M,ZMQC+ZRQN=90l>,ZRQN+ZQRN=9O0,・•・ZMQC=ZQRE,ZANQ=ZQMC=90i,QR=QC,（A4S）,:.QN=CM,即x=-,+"+8,解得x=1+V，33（不合题意的值已舍去）,2故点Q的坐标为（-_,—彳3）.24.（2021*湖南省邵阳市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y=a.r+bx+c3工0）经过点（1,1）和（4,1）.（1）求抛物线C的对称轴.（2）当4=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线Ci.求抛物线C1的解析式.设抛物线C1与X轴交于A,3两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,连接BC.点D为第一象限内抛物线Ci上一动点，过点D作DE丄OA于点E.设点D的横坐标为/;/.是否存在点D，使得以点O,D,£为顶点的三角形与ABOC相似，若存在，求出加的值;备用图【分析】（1）点（1，1）和（4,1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称,即可求解；（2）①用待定系数法即可求解：②当以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似时，则tanZD0E=2或丄，即tanZDOE22=匹="+m吃.=2或丄即町求解.OEm2【解答】解：（1）V点（1,1）和（4,1）的纵坐标相同，

故上述两点关于抛物线对称轴对称，故抛物线的对称轴为直线（1+4）=5；22⑵①由题意得：,解得I-16+4b+c⑵①由题意得：,解得I-16+4b+c=0故原抛物线的表达式为y=・"+5x・3；由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y=-（x+2）2+5（x+2）-3-1=-a2+x+2：②存在，理由：令"+¥+2=0,解得x=-1或2,令x=0,则y=2,故点3、A的坐标分别为（-1,0）、（2,0）,点C（0,2）；CO2同理叫得：tanZCBO=2,当以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似时，则tanZDOE=2或丄，2设点D的坐标为（加，-m2+m+2）,2则tanZDOE=^=・m枷吃=?或丄.0Ein2解得：皿=・2（舍去）或1或旦13（舍去）或丄匕區，22故m=1或丄垃亟.25.（2021・岳阳市）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过4（一1,0）,6（4,0）两点，与丁轴交于点C,连接BC.ffi2S3ffi2S3求该抛物线的函数表达式：如图2,直线/：y=kx+3经过点4,点P为直线/上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQUy轴时，作0M丄PQ,交抛物线于点M(点M在点0的右侧)，以PQ、0M为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值；如图3,设抛物线的顶点为D，在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点尸，使得ZCBF=ADQM?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=—討+(+2；(2)普；⑶存在，F(—1,0)或帝晋.6.(2021•株洲市)已知二次函数y=ax若b=c=—2,求方程若b=c=—2,求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；2如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点4(还,0)、3仁,0),且，与『轴的负半轴交于点C,点D在线段OC上，连接AC.BD，满足ZACO=ZABD,b一一+c=X].求证：△AOC三△DOB；连接BC,过点D作£疔丄3<?于点E,点尸(0,无一吃)在$轴的负半轴上，连接4F,且ZACO=ZCAF+ZCBD,求一的值.

【答案⑵①证明见解析；②「27.(2021•江苏省连云港)如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,己知B(3,0)・(1)(1)求m的值和直线3C对应的函数表达式;(2)(2)P为抛物线上一点，若S△咖=S△加，请直接写出点P的坐标;；⑶124丿【解析】【分析】(1)求出A,3的坐标，用待定系数法计算即可:(2)做点A关于BC的平行线APl9联立直线人片与抛物线的表达式可求出片的坐标，设出直线人£与y轴的交点为G,将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线叭联立方程组即可求出P；(3)取点0,连接CQ,过点A作AD丄C0于点过点。作"丄x轴于点尸，过点C作CE丄DF于点E，得直线CD对应的表达式为y=即可求出结果：

【详解】（1）将3（3,0）代入y=mx2+（AW2+3）x-（6m+9）,化简得m2+/??=0,则ni=O（舍）或m=-L,/•m=—1,得：y=-x2+4x-3f则C（0,-3）.设直线BC对应的函数表达式为y=k.x+b,将3（3,0）、C（0,—3）代入可得｛：：："，解得k=l,则直线BC对应的函数表达式为y=x-3.⑵如图，过点4作AP\〃BC、设直线A片与y轴的交点为G,将直线BC向卞平移GC个单位，得到直线叭联立:.直线AG的表达式为y=x-l,y=x-l联立y=-x2+4x-3解得:x=2（舍人或彳.l）,=l・・・片（2,1）,由直线AG的表达式可得G(—1,0),解得:x=2（舍人或彳.l）,=l・・・片（2,1）,由直线AG的表达式可得G(—1,0),・・.GC=2,CH=2,•••直线A比的表达式为y=x-5,联立y=x-5

y=-x2+4x-3+奶x^=^~~解得：_-7+VT7>?i=3+717-7+717'22<3->/n-7->/r7223+V17-7+y/ll}(3)如图，取点0,连接CQ9过点A作4D丄C0于点q,过点D作”丄x轴于点尸，过点C作CE丄M于点E,•••ZACQ=45°,:.AD二CD,又IZADC=90°,・•・ZADF+^CDE=90°.•・•ZCDE+ZDCE=90。,・•・ZDCE=ZADF,又IZE=ZAFD=90°,:.ACDE4ADAF,则AT=DE，CE=DF.设DE=AF=ci,•・PA=1,OF=CE,:、CE=DF=a+l.由OC=3,则DF=3—a,即a+1=3—af解之得，“=1.所以D（2,—2）,又C（0-3）,TOC\o"1-5"\h\z可得直线CD对应的表达式为y=-3,（1、设0,代Ay=-x2+4x-3,/>r17得一m-3=-nr+4m-3,—in=-nr+4in,m2-—/w=0,227（75、又m0,则m=-.所以0・L\/4丿8.（2021*江苏省苏州市）如图，二次函数y=?-（〃汁1）x+加（w是实数，且-1</?/<0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点3的左侧），且在对称轴上，OD丄BD,OC=EC,连接ED并延长交y轴于点F（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含川的式子表示）；（2）已知点0在抛物线的对称轴上，当△AF0的周长的最小值等于蔓时，求也的值.备用图【分析】（1）令（〃汁1）兀+川=0,解得x=l或加，故点A、B的坐标分别为（川,9T0）、（to）,则点C的横坐标为丄（〃汁1）,即可求解；22（2）由tanZDBC=tanZODC,即CD2=CO^BC=^（〃汁1）•丄（1■加）224在RtAAOF中，AF2=AO2^OF2=nr+l-/h2=1：点B是点A关于函数对称轴的对称点,连接FB交对称轴于点0,则点0为所求点，进而求解.【解答】解：⑴令y=x^-（m+1）x+m=3,解得x=l或加,故点A、B的坐标分别为（加、（1,则点C的横坐标为昼（〃汁1）起,0）；22（2）由点C的坐标知，（70=皑，2故BC=OB・CO=1（〃什1）=也£22VZBDC+ZDBC=9Q'',ZBDC+ZODC=90°,・•・ZDBC=ZODC,Q••.tanZDBC=tanZODC,即CD2=CO-BC=^-（m+l）•'卜皿224•・•点C是OB的中点，则CD为ABOF的中位线，则F，=（7CD）2=40）7=1-〃,，在RtAAOF中，AF5=AO2+OF2=m6+l-/h2=2,•••点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点0

理由：AAFQ的周长=AF+FQ-rAQ=l+QF+BQ=1+BF为最小,即8+BF=夏，5则BF2=OF^+OB1=1-m6+l=(丄纟-2)2,解得m=土丄，54I-1</?7<0,故m=-—•轴交于点C.连接AGBC,点P在抛物线上运动・求抛物线的表达式：如图①，若点P在第四彖限，点0在刊的延长线上，当ZCAQ=ZCBA+45°时，求点P的坐标；如图②，若点P在第一彖限，直线AP交BC于点F,过点P作X轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.2；(2)(6,-7)；(3)PH=3巧-5或1.5或瓦【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ZACB=90。,继而可得ZACO=ZCBAt在x轴上取点E（2,0）,连接CE,易得AOCE是等腰直角三角形，可得上OCE=45。,进一步可推出ZACE=ZCAQ,可得CE//PQ,然后利用待定系数法分别求出直线CE与P0的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即町：（3）设直线AP交y轴于点G,如图，由题意可得若为等腰三角形，则也为等腰三角形，设G（0,加），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出加的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解.【详解】解：(1)把A(-l,0),B(4,0)代入y=-*x'+bx+c,得---b+c=O-8+4b+c=0解得:---b+c=O-8+4b+c=0解得:c=213・•・抛物线的解析式是y=㊁x+2；令A-0,则y=2,即C(0,2),•••Acm,BC2=2,+4,=20,倍=25,•••AC2+BC2=AB\:.ZACB=90°9•••ZACO+ZCAO-ZCBA+ZCAO=9Q°,・•・ZACO=ZCBA,在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图，则CE=OE=2,:.ZOCE=45q9:.ZACE=ZACO^45q=ZCBA+45°=ZCAQ9:.CE//PQ,VC(0,2),E(2,0),•••直线CE的解析式为v=y+2,9r设直线P0的解析式为.v=y+小把点A0)代入，可得〃=亠•••直线P0的解析式为尸壬1，解方程组＜y=-x-l尸冷宀討+2•••解方程组＜y=-x-l尸冷宀討+2•••点P的坐标是(6—7)；(3)设直线(3)设直线AP交y轴于点G,如图，•:PH//y轴，AZPHC=ZOCB,ZFPH=ZCGF,・•.若为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形,VC(0,2),B(4,0),・•・直线BC的解析式为y=-|x+2,设G(0,m),VA(-1,0),•••直线AF的解析式为尸加+/小y解方程组^y=mx+mx=得<y=y解方程组^y=mx+mx=得<y=4-2/w2加+15ni2m+1•••点尸的坐标是•••点尸的坐标是4-2/??5/n、2m+r2/n+1>CG2=(2-m)\CF2=4一CG2=(2-m)\CF2=4一2〃「、2m+1)2/w+1、FG'=4一2〃「、2m+1)5加丫m,2/w+1当CG=CF时，（2_町="4—2加、<2/77+1当CG=CF时，（2_町="4—2加、<2/77+1)玉_2\2m+1,解得：占（舍去负值）,此时直线胶的解析式为y2x/5-lv_V5-l解方程组?1230y=——x+—x+2•22>/5-1^5-1y=x+•22x=-ly=0x=5-书7^5-11'y=2),•••点P的坐标是＜5-75,字），此时点H的坐标是（5“，卑),:・PH=7腭_11_右-1=3荷_5;当FG=FC时,+32/w当FG=FC时,+32/w+1m12m+1'解得吩或〃一扌（舍）或叶2（舍）,此时直线AF的解析式为冷呜,解方程组彳y=-—x2+—x+2解方程组彳y=-—x2+—x+222扫,得<11y=-X+—22ly=ox=3y=2‘・・•点P的坐标是（3,2）,此时点H的坐标是（3,1）,:,PH=2--=1.5；2当GF=GC时，(2—加当GF=GC时，(2—加)■=4-2/772加+1>5/77mI2/77+1'解得〃Y或旷2（舍去）,3此时直线肢的解析式为解方程组彳y=-—x2+—x+222解方程组彳y=-—x2+—x+222扫,得<33y=-X+—•44x=-lly=o或＜3X=—221

y=一•8521・••点P的坐标是近，-)，此时点H的坐标是综上，PH=3疋一、或1・5或一.8(2021-江苏省扬州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=xb=，c=:若点D在该二次函数的图像上，且S,bq=2S异眈，求点D的坐标；若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且5b=，c=:若点D在该二次函数的图像上，且S,bq=2S异眈，求点D的坐标；若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且54PC=S^APB,直接写出点P的坐标.【答案】(1)-2,-3；(2)(1+V10,6)或(1-710，6)；(3)(4,5)【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可;（2）先求出ZVIBC的面积，设点D（g—再根据S^d=2S⑷一得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点人右侧，结合平行线之间的距离，分别求解.【详解】解：（1）V点A和点B在二次函数y=x2+bx+c图像上，解得:b=-2\=-3jO=l—b+c则解得:b=-2\=-30=9+3b+c故答案为:-2,・3；（2）连接BG由题意可得:A(-1,0),3(3,0),C(0,-3),y=x2-2x-3,/•Smbcu—x4x3=6,2*.*Sa4bq=2S,ubc，设点D(/??,tn2-一3),.°・-ixABx|yD|=2x6,即ix4xnr-2m-3=2x6,解得：a-=1+710^cl-VlO»代入y=亍-2/-3,可得：y值都为6,AD(1+V10，6)或(1-V10，6)；I点P在抛物线位于x轴上方的部分,/或n>3,当点P在点A左侧时，即//<-!,

可知点c到AP的距离小于点B到AP的距离,：•Sgpc<SgpB,不成乂;当点P点B右侧时，即”>3,•••△APC和心刖都以AP为底，若要面积相等,则点B和点C到AP的距离相等，即BC//AP.设直线BC的解析式为尸kx+p.fO=3k+p则fO=3k+p则L*，则设直线AP的解析式为.V=x+q,将点A（」，0）代入，则-1+旷0,解得：q=\,则直线AP的解析式为.v=x+l,将P5,汩_2〃—3）代入,即〃'一2“一3=川+1,解得:/?=4或川=・1（舍）,用一2〃一3=5,•••点P的坐标为（4,5）.（2021•山东省聊城市）如图，抛物线v=^v2+-a-|-c与x轴交于点A,B,与y轴交于2点C,已知A,C两点坐标分别是4（1,0）,C（0,-2）,连接AC,BC.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将"BC沿BC所在直线折叠，得到、DBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3〉若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点0,连接BP,"PQ的面积记为S】，MBQ的面积记为S2,求辛■的值最人时点P的坐标.I3【答案】（1）y=-x2+-x-2；y=2x-2；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）点p坐标为（一2,-3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点B坐标,再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得4C丄BC,延长AC到点D,使DC=AC,过点D作DE丄y轴，垂足为点£,由此可得△ACO竺△DCE（AAS）,进而可求得点D的横坐标为一1,最后根据抛物线的对称轴是直3线X=--即可判断出点B不在对称轴上：2（3）先利用待定系数法求出直线EC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交的延长线于点M,则点M坐标为（1,-弓，过点P作x轴的垂线交BC于点N,垂足为点设点P坐标为w,—+—/w—2|,则点N坐标为Iin,——in—2,根据相似三角形的判定及[22）I2）S.1,“4性质可得y=--（W+2）-+-,由此可得答案.3【详解】解；（1）T抛物线y=cix2+-x+cjiA（1,0）,C（0,-2）,门a+—+c=0/J2,c=-21a=—TOC\o"1-5"\h\z解得：|2,k=-23•••抛物线的表达式为y=-x2+-x-2・2设AC所在直线表达式为y=kx+b,（k+b=Q[b=-2*\k=2解得｛—2，/.AC所在直线的表达式为y=2x-2；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：13•••抛物线的表达式是y=—十+—x—2,221"1•••令y=0,则一x~4—x—2=0,22解得兀=—4,x2=1,・••点B坐标为（一4,0）.•••04=1,OC=2,.OA_OC又ZAOC=ZCOB=90。，・•・^AOC^/XCOB.・•・ZACO=ZCBO.・••ZACO+ZBCO=Z.CBO+ZBCO=90°,・•・AC丄BC.・•.将/\ABC沿BC折叠，点A的对应点D—定在直线AC上.如下图，延长AC到点D使DC=AC,过点D作DE丄），轴，垂足为点E.•••△ACO竺△DCE（44S）,/•DE=OA=19・••点D的横坐标为一1,3•••抛物线的对称轴是直线x=--,2・•・点D不在抛物线的对称轴上；（3）设过点3,C的直线表达式为y=灯¥+人，•・•点C坐标是（0,-2）,点B坐标是（一4,0）,・•・过点B,C的直线表达式为y=-^x-2.过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M,则点M坐标为U,-jLI（13、1・・・叫一严2一（尹+尹一2卜—尹一2"

•••若分别以P0A0为底计算△BP。与△840的面积，则△BP。与△840的面积的比为PQAQ•二=竺••二=竺•5,AM1，°

——nr一2m25出一也一丄⑷+2尸+纟5555•-丄＜0,・••当m=-2时，牛的最大值为亠5]3Wtfi=-2KAy=-x2+-x-29得）‘=_3,'22•••当寸取得最大值时，点P坐标为（一2,-3）.（202P山东省泰安市）二次函数）=/+以+4（aHO）的图彖经过点A（-4,0）,B（1,0）,与），轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点0,过点P作PD丄x轴于点D.（1）求二次函数的表达式：（2）连接BC,当ZDPB=2ZBC0时，求直线的表达式；（3）请判断：匹是否有最人值，如有请求出有最人值时点P的坐标，如没有请说明理QB【分析】(1)利用待定系数法即可求出答案;设BP与y轴交于点&设则CE=4・a,BE=4-⑴运用勾股定理可求得。=普・得岀E(°，普)，再利用待定系数法即可求出答案；设PD与AC交于点N,过点B作y轴的平行线与4C相交于点M,利用待定系数法求出直线AC表达式，再利用3M〃PN,可得△PNQsHBMQ、进而得出巴《=旦1=旦1,QBBM5PC~(a(1+2)$+4aQ2-3fl0+4)(-4<«o<O),则Ng他+4),从而得到竺=QB5利用二次函数的性质即可求得答案・【解答】解：(1)T二次函数y=g2+bx+4(aHO)的图象经过点A(-4,0),B(1,0),(a■(-4)盯b〒(一4)十4二0•S9卫出+4二0解得：［a=~L,lb=-3・•.该二次函数的表达式为)，=-a2-3x+4：(2)如图，设BP与y轴交于点E,•:PD//y轴，•••ZDPB=ZOEB,IZDPB=2ZBCO9：.ZOEB=2ZBCO9:.ZECB=ZEBC,:.BE=CE,设OE=a,则CE=4・a,/•BE=4-a>在RtABOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,A(4-n)2=«2+l2,解得：a=些，88设BE所在直线表达式为)=也+心工0),kpO+e-kpl+e=O解得:•••直线BP的表达式为)=⑶暑有最大值.如图，设PD与AC交于点N,过点B作y轴的平行线与AC相交于点设直线AC表达式为丫=皿+小•*VA(-4,0),C(0,4),(mp(-4)+q=0(mp0+n=4解得:•••直线AC表达式为丫=•计4,•*点的坐标为(1,5),•:BM〃PN,•••△PN0S&M0・JTO=H4=H4**QBBM设P(oo,-no2-3ao+4)(-4<f/o<O)»则N(ao,ao+4),.PQ_利2■斑+4-(利+4)_利2.%_-(a。+2)2+4**QB555・••当6/0=-2时，巴■有最大值，QB此时，点P的坐标为(-2,6).y，+c(aH0)过点P(3,O),0(h4).(2)点A在直线PQ±且在第一象限内，过A作43丄兀轴于以A3斜边在其左侧作等腰直角4£C・若4与0重合，求C到抛物线对称轴的距离；若C落在抛物线上，求C的坐标.g【答案】(1)y=—x2+-：(2)01；②点C的坐标是2【解析】、(9a+c=0、【分析】⑴将43,0)、0(1⑷两点分别代入y=得｛,，解方程组即[a+c=4、可；(2)①根据AB=4,斜边上的高为2,0的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1;②根据直线P0的解析式，设点4伽，-2〃汁6),三角形ABC是等腰直角三角形，用含有/»的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.

【详解】(1)将P(3,0)、2(1,4)两点分别代入y=衣+c,得]9a+c=^o+c=4,解得I9所以抛物线的解析式是y=--^2+-•(2)①如图2,抛物线的对称轴是y轴，当点A与点0(1、4)重合时，43=4,作CH丄于乩•：4BC等腰直角三角形，・•.^CBH和△CAH也是等腰直角三角形,・••CH=AH=BH=2,•••点C到抛物线的对称轴的距离等于1.(3R+/?=0,②如图3,设直线P0的解析式为尸也+山由P(3.0)、0(1,4),得罷[k+/?=4,[R=—2,解得｛"6,・•・直线PQ的解析式为y=一2兀+6,设4(加,一2加+6),AB——2〃?+6,所以CH=BH=AH=-m+3.所以yc=一〃7+3,xc=一(一加+3-〃7)=2m-3.I9将点C(2m-3,-加+3)代入)，=一㊁F+3，9得一,n+3=—（2/H-3）2+—・22整理，得2加2-7加+3=0.因式分解，得（2加_1）（加一3）=0.解得m=-,或加=3（与点B重合，舍去）.2当m=丄时，2m-3=1-3=—2,—m+3=-—+3=—.222所以点C的坐标是f-2,|.（2021・山西省中考〉如图，抛物线）'=|x2+2x-6与x轴交于a,B两点（点A在点B的左侧），与V轴交于点C,连接AC,BC.（1）求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC.的函数表达式；（2）点P是直线4C下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线/,交线段AC于点D.试探究：在直线/上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线/交于点M，与直线AC交于点N.当S曲=—c时，请直接写出DW的长..（1）点A的坐标为（-6,0），点B的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0-6）,直线4C的函数表达式为：y=-x-6；直线BC的函数表达式为：y=3x—6：（2）①存在，点E的坐标为（-6,-8）或（2-2石,2巧）；②3顶.【分析】（1）分别令）=0和/=0时即可求解A,B,C三点的坐标，然后再进行求解直线4C,BC的函数表达式即口J；（2）①设点D的坐标为（加,一加一6）,其中-6</n<0,由题意易得BD2=（w?-2）2+（m+6）2,BC2=22+62=40»DC2=m2+m2=2m2»当DE=BC时，以D,C,B,£■为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当BD=BC时，nBDEC是菱形，当CD二时，口C3ED是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线x=—2,由（1）可得直线AC的函数表达式为:y=-x-6-直线BC的函数表达式为：y=3x—6,点a的坐标为（一6,0）,点C的坐标为（0,-6）,进而可得5必心.=苏6><6=18,设点M（—2,加），然后可求得直线/的解析式（‘并]2]2、—竺〉，仪—，所以就有=最后根据4）面积公式及两点距离公式可进行求解.【详解】解：（1）当y=0时，—x~+2x—6=0,解得血=—6,X?二2,乙•・•点A在点B的左侧，・••点A的坐标为（-6,0），点B的坐标为（2,0）,当兀=0时，y=—6,・••点C的坐标为（0,-6）,,（~6k+b=0设直线AC的函数表达式为y=k.x+b,代入点A、C的坐标得：\tb=-6・°•直线AC的函数表达式为：y=—x—6,同理可得直线BC的函数表达式为：y=3x-6；(2)①存在.设点£)的坐标为伽，一〃?一6),其中-6<m<0,•・•点B,点C的坐标分别为(2,0),(0,-6),ABD2=(m-2)2+(m+6)2,BC2=22+62=40，DC2=nr+m2=2m2，IDE//BC,・••当DE=BC时，以D,C,B,E为顶点的四边形是平行四边形，当BD=BC时，口BDEC是菱形，如图所示：第23题图①/.(/n-2)2+(加+6)'=40,解得加］=一4,叫=0(舍去),・••点D的坐标为(-4-2),・••点E的坐标为(-6-8)；当=时，口CBED是菱形，如图所示:

・•・2m2=40，解，得=-2y/5,tn、=2书(舍去)，・•・点D的坐标为(-2^5,2^5-6),・•・点E的坐标为(2-2怎2®；综上所述，存在点E，使得以D，B,C,E为顶点的四边形为菱形，且点E的坐标为(-6,-8)或(2一2书,2同;由题意可得抛物线的对称轴为直线x=—2,由(1)4得直线AC的函数表达式为：y=-x-6,直线BC的函数表达式为：y=3x—6,点a的坐标为(一6,0),点C的坐标为(0,-6),・••点N(-2,-4),OA=OC=6,=1x6x6=182

•••1//BC,•••设直线/的解析式为y=3x+b9把点M的坐标代入得：—6+b=m,解得：b=m+6,:.直线I的解析式为y=3x+m+6,•••联立直线I与直线AC的解析式得：-x-6=3x+m+6»m+124（〃7+12\厂加一12I4）4加+12〃7—12•••点P是直线AC卜•方抛物线上的一个动点，且Sg=s^aocT8，•••点M在点N的上方才有可能,:.MN=m+4,SewN=*x（〃?+SewN=*x（〃?+4）x（c〃7+12）（〃7+4）‘—ZH=解得=&◎=—16（不符合题意，舍去）,2,8）Q（—5，—1）,・•・由两点距离公式可得DM=J（-2+5）'+（8+1）‘=3应.（2021＞湖北省随州市）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-I,o）和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为（1-4）.

直接写出抛物线的解析式；如图1,若点P在抛物线上且满足ZPCB=ZCBD,求点P的坐标;(3)如图2,M是直线BC上一个动点，过点M作A/N丄x轴交抛物线于点N,0是直线AC上一个动点，当△0MN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点0的坐标(57、(54\(54、•(1)y=x2-2x-3；(2)片(4,5),P2(3),2i一§厂亍；/13a\134Az-石三：M3(5,2),03(-5,12)；A/4(2,-l),ft(0,-3)；A/5(l,-2),ft(0,-3)：M/7,4),Q(-7,⑻.【分析】由4(—1,0)和£)(1,—4),且D为顶点列方程求出a、b、c,即可求得解析式；分两种情况讨论：①过点C作CPJiBD,交抛物线于点片，②在BCV方作ZBCF=ZBCE交BG于点、F,交抛物线于巴；(3)aOMN为等腰直角三角形，分三种情况讨论：兰QM=MN,ZQMN=90°:②当QN=MN,ZQNM=90°:③兰QM=QN,ZMQN=90°.【详解】解：(1)将4(一1,0)和£)(1,7)代入y=ax2+bx+c

(a-b+c=O得B+b+c=-4又•・•顶点D的坐标为(1,-4)•二一12ci[a=1・•・解得”-2c=—3・•・抛物线的解析式为：y=x2-lx-3.(2)V5(3,0)和£>(1,-4)•••直线的解析式为：y=2x-6抛物线与y轴交于点C,与X轴交于点4（—1,0）和点B，则C点坐标为（0,-3）,B点坐标为（3,0）.①过点C作CPJ/BD,交抛物线于点片，则直线CP,的解析式为y=2x-3,结合抛物线y=亍一2x—3可知x2-2x-3=2x-3,解得：X]=0（舍人x2=49故人（4,5）.②过点B作＞?轴平行线，过点C作X轴平行线交于点G,由03=OC可知四边形OBGC为正方形，•・•直线C片的解析式为y=2x-3・・・C片与x轴交于点耳*，0在BCV方作ZBCF=ZBCE交BG于点、F,交抛物线于£・•・ZOCE=ZFCG又TOC二CG,ZCOE=ZG=90°・•.△OEC丝^GFC(ASA),TOC\o"1-5"\h\z(3、/•FG=OE=—9F3,—,2I2)又由C(0,-3)可得直线CF的解析式为y=3,结合抛物线y=〒-2x-3nj)ux2-2x-3=-x-3,解得召=0(舍)，x,=-,-2(s7、综上所述，符合条件的p点坐标为：片(4,5),--1.(3)•・•3(3,0),C(0-3)・•・直线BC的解析式为儿°=x-3设M的坐标为(加，〃?一3),则N的坐标为(加，府一2〃7-3):.MN=〃？一3—(jir-2/w一3)|=tn2一3/w•••4(70),C(0-3)・•・直线BC的解析式为)爪=-3x-3

•••\QMN为等腰直角三角形•••①当0M=MN、ZQMN=90°时，如下图所示则0点的坐标为（—彳，加一3•••QM=•••QM=nr-3m3解得：加（舍去）,13•••此时M]<5_4\(5_4\Im则Q点的坐标为却匚伫2加-33丿2m-m2:.QM=m-——-——irr+m~~3-nr+m=m2-3m解得：“=0（舍去）,=5,耳=2•••此时陆（5,2）,a（-5,12）：M4（2-l）,a（0-3）；③兰QM=QN,Z.MQN=90°时，如图所示1,1③兰QM=QN,Z.MQN=90°时，如图所示1,1•••0点的坐标为卄6）亠-丄心722j—丄於丄心打一3〕[6622丿1_>11_16Hl6-m•••0点到-m•••0点到MN的距离==-m+-nr51,51,1二-m+-m・=_・/n"・「2，-3加|（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：=0（舍去），叫=7,加3=1・・・此时皿5（1,-2）,ft（0,-3）；M/7,4）,a（-7,18）.（54、（54、f134、综上所述，点M及其对应点0的坐标为：,21一6厂亍；“2，了134、z2-§乜；M,5,2）,越（一5,12）；也（2,—1）,&（0,-3）；陆（1,一2）,&（0,-3）：M°（7,4）,Q（-7,⑻.16.（2021*湖北省宜昌市）在平面直角坐标系中，抛物线yi=-（x+4）（x-n）与x轴交于点A和点B5,0）（n>-4）,顶点坐标记为（虹,灯）.抛物线>2=-（x+2n）【分析】（1）令八=0,得到x值即为A【分析】（1）令八=0,得到x值即为A、B的横坐标，（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标.（3）讨论k「b=-/r・5与0比较人小得”的取值范围，即在不同的取值范I制内得k\、k2大小.（4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y=-x-5/r+2/?+9.①当直线MN经过抛物线儿，羽的交点时，联立抛物线儿与刃得解析式（5n-4）x=-5n2-2n+9①，联立直线y=・x-5/r+2/?+9与抛物线y2得解析式%2+（4”・1）a=0,解得n=7士‘皿，此时直线MN与抛物线vi,V2的公共点恰好为三个不同点，即（5”-4）（1---4/j）=-5/r-2/汁9,该方程判别式△<（）,②当直线MN与抛物线川或者与抛物线羽只有一个公共点时，当直线MN与抛物线Vi只有一个公共点时，联立直线y=-X-5/?2+2/?+9与2尬物线y=-?+（”-4）x+4〃口J得,-A2+5-3）x+5n2+2n-9=0,角乍得（1）写出A点坐标；（2）求灯，込的值（用含"的代数式表示）（3）当-W4时，探究h与炷的人小关系；（4）经过点M（力汁9,-5/i2）和点N（2“,9-5n2）的直线与抛物线yi=-（x+4）（x-/?）»yi=-（x+2n）2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值.>'1•••〃=・'土2"皿,由①而知直线A/N与抛物线V2公共点的横坐标为M=O,X2=1・4小21小工比，所以此时直线MN与抛物线川，〉，2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y=-x-5〃2+2"+9与#也物线yi得:・A-+(«-3)x+5n2+2n-9=0,A=21n2+2n-27,当n=丄时，A<0,此时直线MN与抛物线)「旳的公共点只有一个，详丄4【解答】解：(1)Vyi=-(x-4)(m),令)?1=0,-(x-4)(X-n)=0,/>%1=-4,X2=n,:.A(0)；yi=-(x-4)(x・-X2+(/?-4)x+4n9:・k\=2矿+2‘汁4,4Vv2=-(x+2n)2・用+2〃+9,9T:・k2=-n2+2i?+9,ki-炷=邑？-5,4当玄,・5>0时，可得n>2或〃<・2,4即当-4W"V・2或2<”W4时，ki>k2;当^r-5<0时，可得-2</?<2,4即当-2<n<2时,ki<k2；当—n2-5=0,可得n—2或”=・2,4即当n=2或”=-2时，k\=k2;(4〉设直线MN的解析式为：y=kx+b,则f(2n+9)k+b_5,①，(2nk+b=9-5n2②由①-②得，k=-1,•••/?=・5/?2+2/?+9,直线MN的解析式为：y=-x-5/?2+2/?+9.①如图：当直线MN经过抛物线八，旳的交点时，联立抛物线Vi=-X2+(/?-4)x+4n与)f2=-x2-4nx-5n2+2n+9的解析式可得:(5/?-4)x=・5/z2-2〃+9①，联立直线y=-—5n2+2//+9与抛物线)，2=-A-2-4/lv・5用+2“+9的解析式可得：X2+(471-1)x=0,则X1=O,X2=l-47l②，当“1=0时，把X1=O代入八得：y=4”，把xi=0,y=4n代入直线的解析式得：4n=-5n2+2/:+9,Z.5n2+2n-9=0,-1±V46••/<—,5此时直线MN与抛物线yi,y2的公共点恰好为三个不同点，当X2=l-4/2时，把A2=l-4"代入①得：(5/1-4)(1-4/1)=-5n2-2”+9,该方程判别式△<(),所以该方程没有实数根：②如图：

当直线MN与抛物线yi或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线yi=-“+5-4)x+4n只有一个公共点时，联立直线y=-x・5n2+2n+9与抛物线y=-x2+(/?-4)x+4n可得，-%2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,此时△=(),即5-3)2+4(5n2+2n-9)=0,：.21ir+2n-27=0,.„_~1±2^14221由①而知直线MN与抛物线yi=-x2-4nx-5n2+2iH9公共点的横坐标为xi=0,X2=l-4/n当/J=~1±2-/142时，i-4“工0,21/•XI7^X21所以此时直线MN与抛物线儿，旳的公共点恰好为三个不同点，当直线MN与抛物线y2=-.v2-4nx-5n2+2n^9只有一个公共点,

/•n=—>4联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线yi=-"+(/?-4)x+4n,-x2+(//-3)x+5n2+2n-9=0,△=(/?-3)2+4(5/?2+2/?-9)=21ir+2n・27,当n=—时，△<(),4此时直线MN与抛物线八，p的公共点只有一个，4综上所述：单=土壓，〃2=土逼，加=土也2,/?4=_2_-l-2VU25212117.（2021•山东省荷泽市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-4交x轴于A（-1,0）、B（4,0）两点，交y轴于点C.（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四彖限内抛物线上一点，连接过点C作C0〃3P交x轴于点0,连接P0,求△PBQ面积的最人值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线）=启+加-4向右平移经过点（壬，0）时，得到新抛物线），=心2+/山+纽，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F,使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考：若点PiCmyi）、P2（x2,y2）,则线段P1P2的中点Po的坐标为（心丁2,旳*2）.22【分析】（1）用待定系数法即可求解；

求出直线PB的表达式为)=上计人而CQ//BP,则直线C0的表达式为y=("汁1)x-4»令》=(〃汁1)14=0,解得x=^-9即点0的坐标为(亠一，0),由S=2xB0Xm+1m+12(-yp)^即可求解;9r当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P,同样点F(E)向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E(F)且AE=PF(AF=PE),进而求解；当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP=EF,列出等式，即可求解.【解答】解：(1)由题意得:(a_b_4=0,解得,[16a+4b-4=0(b=-3故抛物线的表达式为y=?-3x-4；(2)由抛物线的表达式知，点C(0,・4),设点P的坐标为(m,m2-3m-4),设直线PB的表达式为)=也+/,9zm^-3m-4=km+t解得Ik=m+l0=4k+tlt=-4m-4•:CQ//BP,故设直线C0的表达式为)=(w+1)x+p,该直线故点C(0,-4),即p=・4,故直线CQ的表达式为)，=(/??+1)x-4,令)=(〃汁1)14=0,解得x=—,即点0的坐标为(一^―,0),TOC\o"1-5"\h\zm+1m+1则BQ=4-m+1m+1设△PB。面积为S,则S=—XBQX(-yP)=-Ax-i5Lx(nr-3加-4)=-2nr+Snh22m+1V-2<0,故S有最大值，当m=2时，△PB0面积为8,此时点P的坐标为(2,-6)：(3)存在，理由:将抛物线y=a^bx-4向右平移经过点（丄，0）时，即点A过改点，即抛物线向右平2移了1+1=1个单位，22则函数的对称轴也平移了3个单位，即平移后的抛物线的对称轴为3+3=3,故设点e222的坐标为（3,m）,①当AP是边时，则点4向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P,同样点F（E）向右平移3个单位向卞平移6个单位得到点E（F）RAE=PFCAF=PE）9s+3=3rs-3=3或＜t+6二Kl42+m2=(s-2)2+(t+6)2/s+l)2+t2=(3-2)2+(m+6)一11m_2rm=2寸歹0或s二6，V1Lt=-4故点F的坐标为（3,-丄丄）或（3,2）：2②当4P是对角线时，（2-l=3+s-6+0二m+1（2+1）"+（-6）'二（s~3）+2Is=-2|s=-2t-~V5_3或］t=V5~3,m=-3+Vb故点F的坐标为（3,-3+V5）或（3,-3-V5）；综上，点F的坐标为（3,-3+^5）或（3,-3-V5）或（3,-—）或（3,2）.218.2021*四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=o（x-h）M与x轴相交于O,A两点，顶点P的坐标为（2,-1）.点B为抛物线上一动点,连接AP,AB,过点3的直线与抛物线交于另一点C.（1）求抛物线的函数表达式：

若点3的横坐标与纵坐标相等，ZABC=ZOAP,且点C位于x轴上方，求点C的坐标；若点B的横坐标为/,AABC=90，请用含f的代数式表示点C的横坐标，并求出当rvo时，点C的横坐标的取值范闱・【分析】(1)由抛物线y=Q(X-/O2+匕顶点P的坐标为(2,-1),可得h=2，k=・1,又v=«(x-2)2-1的图象过(0.0),即可解得«=A从而得到抛物线表达为)=丄(只-4(2)在)=丄"-x中，令)=x得x=2"-兀可得3(0,0)或3(8,8)、分两种情况分别求C,4①当B(0,0)时，过B作BC//AP交抛物线于C,此时ZABC=ZOAP,先求出直线AP解1析式为y=^x-2,再求得直线BC解析式为)=厶1•，由i2i2得析式为y=^x-2,再求得直线BC解析式为)=厶1•，由i2i2时，过P作P0丄x轴于0,过3作丄x轴于H,作H关于的对称点M,作直线交抛物线于C，FhtanZ0AP=-^=AtaiiZAB/7=^-=A可知ZOAP=Z4BH，而H关于AQ2BH2AB的对称点M,^ZABH=ZABM.故ZABM=ZOAP.C是满足条件的点，设根据AM=AH=4,BM=BH=8.可得&-4)2+(y-0)AM=AH=4,BM=BH=8.可得(x-8)2+(y-8)2=82553y=Tx+25BM解析式为y=—x+2,再解BM解析式为y=—x+2,再解4■丈-x(3)设BC交y轴于M,过B作丄x轴于乩过M作MN丄BH于M证明△ABRs

I丄2_——=4,故2^(0,—r-I丄2_4设直线BM解析式为y=ex^t1-什4,将B^t2-/)代入得e=-土可得直线BM解析式44t为y=-—X+—I2-t+4为y=-—X+—I2-t+49由t4畤*寺十4,解得点C的横坐标为-t-丄§+4;当t<Q时*c=-t-—+4=(V^t-¥=尸+12,可知\/^=)=ttM-tM-t时，xc最小值是12,故当f<0时，点C的横坐标的取值范閑是XC^12・【解答】解:(1)V抛物线)=0(x-A)2+匕顶点P的坐标为(2,-1),・・.h=2,k=-1,即抛物线y=a(x-/?)2+k为y=a(x-2)2-1,•・•抛物线y=«(a--h)2+k经过O,即y=a(x・2)2-1的图彖过(0,0),A0=67(0-2)2-1,解得a=—,4・•・抛物线表达为-2)2-1=1?-x;(2)ffiy=Xx2-x令)=x得pZv2■兀44•••B(0,0)或B(8,8),此时ZABC=ZOAP9如图:•••B(0,0)或B(8,8),此时ZABC=ZOAP9如图:解得x=0或x=4,设直线AP解析式为y=kx+b捋A(4.0)、P(2,・1)代入得:

(0=4k+bt-l=2k+b，解得(0=4k+bt-l=2k+b，解得k4b=-2・・・直线AP解析式为尸討2,•:BCHAP、・•・设直线BC解析式为y=^x+b\将B(0,0)代入得b'=0,•••直线BC解析式为丫=丄兀2f_1y=Y龙zz胡得!x=0(此时为点°舍去)或］x=6,|y=fx2-x1尸01^3•••CG3);②当5(8,8)时，过P作PQLx轴于。过B作BH丄x轴于乩作H关于AB的对称点M,作直线BM交抛物线于C,连接4M,如图：VP(2,-1)^(4,0),/•PQ=lfAQ=29RtAAPO中，tanZOAP=^=丄，匕&275(8,8)3(4,0),.\AH=4,BH=S,RtAABH中，tanZAB/7=^=丄，BH2：.ZOAP=ZABH,•・・H关于AB的对称点M,・•・ZABH=ZABM,・•.ZABM=ZOAP,即C是满足条件的点,设Mg),•・•//关于AB的对称点M,

:.AM=AH=4,BM=BH=8,’(旷4护+(厂0)2二护[(x-8)2+(y-8)2=82.两式相减变形可得x=8・两式相减变形可得x=8・2”代入即可解得X：%此时为舍去）或y=0816•ijz816、•ijz816、•性g).设直线BM解析式为y=cr+d,将M（亘丄§）0（8,8）代入得;53C=T,.d=23r8=8c+d168，解得“|vTc+d•••直线BM解析式为y=已；+2,43y亍3y亍+2_12y亍-x=-l5或y=4x=8（此时为3,舍去）,y=8综上所述，C综上所述，C坐标为（63）或（・1,5）；4（3）设BC交y轴于M,过B作丄人•轴于乩过M作MN丄于N,如图:••••••点B的横坐标为人••叙斗-门，又也0),4:.AH=\t・4|0H=|丄*-t\.OH=\t\=MN.4VZABC=90lt,•••ZMBN=90°-ZABH=上BAH、且ZN=ZAHB=9Ql,

TOC\o"1-5"\h\zI12I•AH=BH即比-4|_7I••bnBN|t|:・BN='Si=4丄“・r+4,4.•,以0,戸-/+4),设直线酗解析式为屮g代入得丄‘-t=et+^r-/+4,44•••直线眈解析式为尸诗呼”,•••直线眈解析式为尸诗呼”,解得xi=r（B的横坐标）卫=-主二¥坐_=-1-半+4,・••点C的横坐标为丄§+4;t当/<0当/<0时,=（Vzt）2+（-74-）2+4V-tv-t—时，XC最小值是⑵此时/=-4、V-t•••当r<0时，点C的横坐标的取值范围是xc>12.（202P广东省）已知二次函数y=ax2+bx+c的图彖过点（70）,且对任意实数八都有4x-12^ax2+bx+c^2x2-8x+6・求该二次函数的解析式；若(1)中二次函数图象与兀轴的正半轴交点为A,与V轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在X轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)令4.丫一12=2疋一8.丫+6,解得兀=吃=3,当x=3时，4x-12=2x2-8x+6=0,/.y=ax2+bx+c必过(3,0),又y=ax~+bx+c过(一1,0),a-b+c=0h=-2a9a+3b+c=0c=-3a'.・.y=ax2一lax一3a,又4x-12^ax2+bx+c,/.ax2-lax-3a$4x-12,ax2-2o¥-4x+12-3d20,••・d>0且△£(),・・(2a+4)'-4d(12-3d)e•••(Ko,:.a=l9.\b=—2,c=—3,.•・y=x2-2x-3・由⑴可知:A(3,0),C(O,-3),设M(7M,nr-2m-3),N(«,0),—▲XA+xr=xu+x,r①当AC为对角线时，\AcMAI>4+yc=yM+Xv

TOC\o"1-5"\h\z+0=w+/?,/J,x,解得=0(舍),=2,[0+(—3)=〃广一2加一3+01・/.w=l,即M(LO)・②当am为对角线时，卩m、’[yA+%=>c+Xv3+加=0+〃…、/.<,解得〃7=0(舍)m.=2,0+nr一2m一3=—3+0:.n=5,即/V2(5,O).③当M为对角线时,}Xa+Xn=Xc+Xm1儿+Xv=)?c+v.w解得/Hj=1+解得/Hj=1+yfl,l)12=1-V7,0+0=—3+m2一2m一3/.n=yfl-2或”=-2-,二M(>/7—2,0),N』-2->/7,0)•综上所述：N点坐标为(1,0)或(5,0)或(^7-2,0)或(-2-77,0).（2021-湖北省荆州市）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支.设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有％支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案,写出最少费用.【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需V元，根据题意列方程组求解即可;（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可.【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，则根据题意得：(x+2y=14,l3x-2y=2解得：产°,1产5答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；(2)根据题意得：w=4x+5(11-x)=-x+55,・・•百合不少于2支，All-心2,解得：a<9,•:-1<0,・・・w随x的增大而减小，:.当x=9时，w最小,即买9支康乃馨，买11-9=2支百合费用最少,w皿=-9+55=46(元)，答：w与x之间的函数关系式：vv=-a+55,买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元.(2021・四川省达州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点4和C(1,0),交y轴于点B(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点£求抛物线的解析式；将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE,旋转角为a(0°<a<90!>),连接AF,求BE'+^AEf的最小值；3M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,请【分析】(1)根据待定系数法即可求出解析式;（2）先取0E的三等分点D,得出DE'=^AE\当B,E,D三点共线时即为最小值；3（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标.【解答】解：（1）把C（1,0）,5）代入）=-”+加+c中，得：严心6,lc=3•'•/?=-2,c=7,•'•¥=-.r2-2x+5t9r（2）在OE上取一点D使得OD=19:.E(-1,4),•••OE=OE=L,OA=3,>0Ez0D4••=.———»0A0E?3又•・•ZDOE=ZEOA,\DOEs'Eg•••DE，二寻AE，，o•••BE，号AE，二BEJ+DE，，当B,E,BE，+DE，最小为BD,BD=V0D8-H3B2=^32+(y)6二字'「•BE'十*的最小值为•:A(-3,7),3),设N5,8//+3),M(x,则AB求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点0上方），求AQ+QP+PC的=18,AN2=(i^+2n-4)2求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点0上方），求AQ+QP+PC的•••ABMN构成的四边形是矩形，：./\ABN是直角三角形，若AB是斜边，