贵州省贵阳市息烽县2022年中考二模数学试题（含答案与解析）

2022届初中毕业生学业水平模拟考试（二）

数学

注意事项：

1.本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.

2.答题前，务必将自己的姓名、报名号、座位号等清楚地填写在答题卡规定的位置上.

3.答题时，认真阅读，选择题部分必须使用23铅笔，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色

签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚.

4.所有题目必须在答题卡规定的位置作答，否则无效.

5.不能使用科学计算器.

一、选择题：以下每小题均有A、B、C、。四个选项，其中只有一个选项正确，请用25铅

笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.

I.若。与-2互为相反数，则。的值是（）

1]

A.-2B.——C.gD.2

22

2.如图，a//b,Nl=30",N2=50",则/3的大小为（）

A.50°B.30°C.20°D.15°

3.2021年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月10日晚，“天间一号”探测器在距离地球约

192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记数法将192000000表示为ax10'的形

式，则”的值是（）

A.0.192B.1.92C.19.2D.192

4.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）

A越长B,越短C.一样长D.随时间变化而变化

5.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录

下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球,经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定

在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（)

A.20个B.30个C.40个D.50个

6.解方程N-3x=0较为合适的方法是（)

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.分解因式法

7.如图，用尺规作图作/400/4。8的第一步是以点。为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交。4、

OB于点、E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是（）

A.以点F圆心,OE长为半径画弧

B.以点尸为圆心,E尸长为半径画弧

C.以点E为圆心,OE长为半径画弧

D.以点E为圆心,EF长为半径画弧

8.将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是

)

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

9.如图，在△ABD中，ZD=90\CD=3,AD=4,ZACD=2ZB,则8。的长是()

A

A.5B.6C.7D.8

10.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕

轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重

量为y斤，则可列方程组为()

5x+6y=l6x+5y=l[5x+6y-1[6x+5y=1

5x-y=6y-x[5x+y=6y+x[4x+y=5y+x=

11.如图，AB、AC分别为。。的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于

()

A.8B.10C.12D.16

12.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的

坐标为(2,0),若抛物线y=Y+〃(n为常数)与扇形OAB的边界总有两个公共点则n的取值范围是

A.n>-4B.n<—C.-4<n<—D,-4<n<—

444

二、填空题：每小题4分，共16分.

13.已知方程2%—4=0,则％=.

14.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名初中学生进行调查.整理样本数据,

得到下表：

视力4.7以下4.74.84.95.05.0以上

人数989686958243

根据抽样调查结果，估计该地区15000名初中学生视力不低于4.9的人数为.

15.如图，将RSABC放置在平面直角坐标系中，C与原点重合，CB在x轴上，若AB=2,点B坐标为

(4,0),则点A的坐标为.

16.在一次综合实践活动课上，小明探究“有一个角为45。的三角形的面积”问题.如图，在AABC中，

NBAC=45°，小明过点A作垂足为Q,若BA3,8=2,则△ABC的面积为.

三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.解答下列问题：

(1)已知34*4与-5〃〃“是同类项，求，加+〃的值；

2

(2)己知。=一；，求代数式/+6a—2(l+3a-的值.

18.贵州省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，

“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化

学、地理、生物四科中任选两科参加选考.

(1)“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出3种可能的选法：(选法与顺序无关，例如：“物、政、化”

与“物、化、政''属于同一种选法)

(2)高一学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理.他们还需要

从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出

他们恰好都选中生物的概率.

19.如图，菱形A8CO的对角线AC、8。交于点0,过点B作BE〃AC,S.BE=-AC,连接EC、ED.

2

（1）求证：四边形8EC0矩形；

（2）若AC=2,ZABC=60°,求。E的长.

20.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表:

成套售价（元/

名称进价（元/张）售价（元/张）

套）

餐桌a380

a-140940

餐椅160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.

（1）求表中a的值；

（2）该商场计划购进餐椅数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若

将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，则怎样进

货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

21.图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕。点旋转一定角度，研究表明：如图2,当眼睛E

与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP

与水平线E4的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线C0垂直

时，观看屏幕最舒适，此时测得NBCD=30°,NAPE=90°,液晶显示屏的宽AB为34cm.

(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离4E；(结果精确到1cm)

(2)求显示屏项端A与底座C的距离AC.(结果精确到1cm)(参考数据:

sin18O»0.3,cos18°a0.95,夜a1.4,百a1.7)

4

22.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=丘+左与双曲线y=-(x>0)交于点A(l,a).

X

(2)已知直线/过点。(2,0)且平行于直线y=H+3点「(，〃,〃)(〃?>3)是直线/上一动点，过点尸分别

_4

作x轴、y轴的平行线，交双曲线y=—(X〉0)于点M,N,双曲线在点M,N之间的部分与线段PM,

x

PN所围成的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若区域W内的整点个数不超

过8,结合图象，求〃?的取值范围.

23.如图，已知A8是。。的直径，点C,。在。O上，/。=60。且AB=6,过。点作OELAC,垂足为E

A：

(1)填空：ZCAB=.度;

(2)求0E的长:

(3)若0E的延长线交。。于点尸，求弦4凡AC和尸C围成的图形（阴影部分）的面积S.

24.某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为45〃，宽度OP为6米，现以地面（。尸所在的

直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图I所示）

（1）求这条抛物线的函数表达式;

（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为

多少米？

（3）修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架"ABC。（由四根木杆48-8。-。-。4组成），使8,

C两点在抛物线上.A,。两点在地面0P上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米

如图1,AACB和△£＞口均为等边三角形，当△OCE旋转至点A,D,E在同一直线上，连接跖，易证

△BCE%ACD.则ZBEC=。；

（2）拓展研究：

如图2,Z\ACB和ACCE均为等腰三角形，且NACB=ZDCE=90°,点A,D,E在同一直线上，若

AE=\5,DEK,求AB的长度;

（3）探究发现：

如图3,P为等边△ABC内一点，且NAPC=150°,且NAPD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求

8。的长.

参考答案

一、选择题：以下每小题均有A、5、C、。四个选项，其中只有一个选项正确，请用25铅

笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.

1.若。与-2互为相反数，则。的值是（）

11

A.-2B.------C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的性质求解即可得.

【详解】解：与-2互为相反数，

.,.-2+a=0.

解得a=2,

故选：D.

【点睛】本题考查了相反数定义，掌握相反数的定义是解题关键.

2.如图，a//b,Z1=3O\Z2=5O°,则N3的大小为（）

D.15°

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得出N4=50。，再由三角形外角的性质可得出结论.

【详解】解：如图，

Va//b,Z2=50°,

N4=N2=50。，

；N4=N3+4且Nl=30°,

•••Z3=Z4-N1=50°-30°=20°,

故选：c

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键.

3.2021年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约

192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记数法将192000000表示为ax108的形

式，则。的值是（）

A.0.192B.1.92C.19.2D.192

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数.

【详解】解:用科学记数法将192000000表示为1.92x108,

故选：B.

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

4.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）

C.一样长D.随时间变化而变化

【答案】B

【解析】

【详解】由图易得ABVCD,那么离路灯越近，它的影子越短,

故选B.

AcRn

【点睛】本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的

长度.

5.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录

下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定

在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（）

A.20个B.30个C.40个D.50个

【答案】A

【解析】

【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近，黑，白两种球共50个，即可确定出黑球个数.

【详解】解：•••黑球的频率稳定在0.4附近，黑，白两种球共50个，

黑球的个数约为：0.4x50=20.

故选：A.

【点睛】根据概率求法，找准两点：①全部情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发

生的概率.

6.解方程9-3x=0较为合适的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.分解因式法

【答案】D

【解析】

【分析】利用因式分解法求解可得.

【详解】解：；/-3x=0,

'.x（x-3）=0,

则x=0或x-3=0,

解得汨=0,Q=3,

解方程/-3x=0较为合适的方法是分解因式法，

故选：D.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

7.如图，用尺规作图作/4。0/4。8的第一步是以点0为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交04、

OB于点、E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是（）

A.以点尸为圆心，OE长为半径画弧

B.以点F为圆心，EF长为半径画弧

C.以点E为圆心，0E长为半径画弧

D.以点E为圆心，EF长为半径画弧

【答案】D

【解析】

【详解】解:用尺规作图作/AOC=/AO2的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①,分别交OA、0B

于点E、F,第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧.故选D.

8.将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是

()

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改

变，即可得出答案.

【详解】一组数据X”X2,…X"的每一个数都加上同一数1,则新数据》+1,X2+1,…X,,+l的平均数改变，

但是方差不变.

故选A.

【点睛】本题考查了方差和平均数，一般地设〃个数据，X2,…X”的平均数为亍，则方差£=,

n

[(X1-I)2+(X2-X)2+…+(X„-1)2],掌握平均数和方差的特点是本题的关键.

9.如图，在AAB。中，Z£>=90°,CD=3,=4,ZACD=2ZB,则8。的长是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理求出AC,根据三角形的外角的性质得到/8=/C4B,根据等腰三角形的性质求出

BC,计算即可.

【详解】解：：/。=90°,CD=3,AD=4,

；•AC=y]CD2+AD2="+42=5,

VZACD=2ZB,NACD=NB+NCAB,

：.ZB=ZCAB,

：.BC=AC=5,

:.BD=BC+CD=8,

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形的外角的性质，直角三角形的两条直角边长分别是mb,斜边长

为C,那么“2+〃=〃.

10.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕

轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为X斤，一只燕的重

量为y斤，则可列方程组为（）

5x+6y=16x+5y=15x+6y=16x+5y=1

A.C.<D.

5%—y=6y—x5x+y=6y+x4x+y=5y+x4x—y=5y—x

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.

【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤,列出方程:5x+6y=l

（2）互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y=

5y+x,

故选C.

【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组

11.如图，AB、AC分别为。。的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于

()

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【解析】

3600360°

【分析】连接OA、OB、0C,根据正方形及正三角形的性质得出NAOB=「一=90。，ZAOC=--=120°,

43

进而得出NBOC=30。，即可得出n的值.

【详解】如图，连接OA、OB、0C,

「AB、AC分别为。。的内接正方形、内接正三角形的边,

3600360°

/.ZAOB=-------=90°,ZAOC=-------=120°,

43

ZBOC=ZAOC-ZAOB=30°,

故选c.

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出NBOC=30。是解题关键.

12.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径0B所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的

坐标为（2,0）,若抛物线y=/+〃（n为常数）与扇形OAB的边界总有两个公共点则n的取值范围是

【答案】D

【解析】

【分析】根据NAOB=45。求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的n值，

即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的n的值，即为一个交点时的最小值，然后写出n的

取值范围即可.

【详解】解：由图可知，ZAOB=45°,

直线OA的解析式为y=x,

y=x2.

联立｛得：x2-x+n=0r

y=x

A=炉—4〃c=l—4〃=0,得〃=1时，抛物线与OA有一个交点,

4

此交点的横坐标为g,

•.•点B的坐标为（2,0）,

OA—2,

...点A的横坐标与纵坐标均为：2xsin45°=正，

.•.点A的坐标为（亚应）,

，交点在线段AO上:

当抛物线经过点B(2,0)时，4+〃=0,解得n=-4,

.••要使抛物线y=V+〃与扇形OAB的边界总有两个公共点，

则实数n的取值范围是WWnV,，

4

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出

有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键.

二、填空题：每小题4分，共16分.

13.己知方程2%—4=0,则尢=.

【答案】2

【解析】

【分析】直接移项求解一元一次方程的解.

【详解】解：；2x—4=0,

/.2x=4,

解得：x=2,

故答案是：2.

【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤.

14.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名初中学生进行调查.整理样本数据，

得到下表：

视力4.7以下4.74.84.95.05.0以上

人数989686958243

根据抽样调查结果，估计该地区15000名初中学生视力不低于4.9的人数为.

【答案】6600

【解析】

【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.9人数占被调查人数的比例即可得.

【详解】解：根据题意得：

15(X)0xv95+82+43=6600(人)，

500

...该区15000名初中学生视力不低于4.9的人数是6600人，

故答案为：6600

【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征(主要数据有众数、中位

数、平均数、标准差与方差).一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对

总体的估计也就越精确.

15.如图，将RSABC放置在平面直角坐标系中，C与原点重合，CB在x轴上，若AB=2,点B的坐标为

（4,0）,则点A的坐标为

【答案】（3,百）

【解析】

0A.AB

【分析】作A。J_08于。，由勾股定理求出。4=26,由△048的面积求出A£>=-----------=百，再由勾

0B

股定理求出0。即可.

【详解】解：作AOLOB于£>,如图所示：

•.•点B的坐标为(4,0),.•.08=4.

'：ZOAB=90°,AB=2,：.OA=yj42-22=273.

△048的面积=-OB>AD=-OA*AB,：.AD==2G"'=百，/.0D=_AT)2

22OB4y

=3,(3,£).

故答案为(3,73).

【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，熟练掌握勾股定

理是解答此题的关键.

16.在一次综合实践活动课上，小明探究“有一个角为45。的三角形的面积”问题.如图，在△ABC中，

NB4C=45°,小明过点4作垂足为。，若BD=3,CD=2,则△ABC的面积为.

【答案】15

【解析】

【分析】如图，将△ABO绕A逆时针旋转90°得△AFQ,延长尸Q、BC交于点E,连接CQ，由旋

转的性质可知，^ABD^AQF,证明四边形AOE”是正方形，ZCAQ=45°,证明

^ABC^AQC(SAS),则BC=CQ=5,设AD=x,则QE=x-3,CE=x—2,在.RtKQE

222

中，由勾股定理得CF+QE2=CQ2,Bp(x_2)+(x-3)=5,求出满足要求的x的值，根据

SABC=，BCXA。计算求解即可.

【详解】解：如图，将△回£)绕A逆时针旋转90°得△AEQ,延长尸Q、BC交于点E，连接CQ，

由旋转的性质可知，^ABD^AQF,

：.AB=AQ,AD=AF,/BAD=/QAF,BD=QF=3,NF=ZADC=ZZMF=90°=NE,

四边形ADE厂是正方形，

,ZZR4C=45。，

:./BAD+ZDAC=ZQAF+ADAC=45°,

：.NC4Q=45。，

在AABC和AAQC中，

AB^AQ

；＜ABAC=ZQAC,

AC^AC

：.^ABC^AQC(SAS),

:.BC=CQ—5,

设AD=x,则QE=x-3,CE=x—2,

在R/ACQE中，由勾股定理得C£2+Q£2=CQ2,即(x—2)2+(x—3)2=52,

解得x=6或x=-l(不合题意，舍去)

AD=6,

•l,^^ABC=—BCxAD=-x5x6=i5,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解

题的关键在于通过旋转构造正方形求边长.

三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.解答下列问题：

(1)已知3d""与是同类项，求+〃的值：

2

(2)已知a=—求代数式/+6a—2(I+3a—4)的值.

【答案】(1)7

⑵-3

3

【解析】

【分析】(1)由题意可求出用，〃的值，再将加，〃的值代入原式即可得出答案.

(2)利用去括号，合并同类项整理多项式，再代入4=即可求得答案.

【小问1详解】

解：由3am护与一504b"T是同类项可得,

/w=4,"-1=4,解得〃=5,

把机=4,〃=5代入Lm+〃='x4+5=7.

22

【小问2详解】

u~+6a—2(1+3a-)

-a2+6a-2-6a+2a2

=3。2—2,

当a=_［时，3a2—2=3x(一■-)2—2———.

333

【点睛】本题考查了根据字母的值求多项式的值，解题关键是根据题意整理或求出字母的值.

18.贵州省于2021年全面启动高考综合改革，从2021级高一新生开始，实行“3+1+2”的高考选考方案，

“3”是指语文、数学、外语三科必考；"1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化

学、地理、生物四科中任选两科参加选考.

(1)“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出3种可能的选法：(选法与顺序无关，例如：“物、政、化”

与“物、化、政''属于同一种选法)

(2)高一学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理.他们还需要

从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出

他们恰好都选中生物的概率.

【答案】（1）12种；写出3种可能的选法如下：物理、政治、化学；物理、化学生物；物理、政治、生物；

1

（2）

9

【解析】

【分析】（1）从物理和历史中任选一科，共有两种可能出现的结果，从政治、化学、地理、生物四科中任

选两科，共有六种可能出现的结果，再计算即可，再直接写出3种可能的选法；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果数，从中找出都选“生物”的结果数，进而求出相应的概率.

【小问1详解】

•.•从物理和历史中任选一科，共有两种可能出现的结果，从政治、化学、地理、生物四科中任选两科，共

有六种可能出现的结果，

“1+2”的选考方案共有：6x2=12种，

写出3种可能的选法如下：物理、政治、化学；物理、化学生物；物理、政治、生物；

【小问2详解】

小明和小军从政治、化学、生物中任选一科，所有可能出现的结果如下：

小军政治化学生物

小明

政治（政治，政治〉（政治，化学）（政治，生物）

化学（化学，政治）（化学，化学）（化学，生物）

生物（生物，政治）（生物，化学）（生物，生物）

共有9种不同的结果，其中他们恰好都选中生物的有1种,

：.P（都选生物）=1.

，他们恰好都选中生物的概率为《.

【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是正确解答的

关键.

19.如图，菱形A8CD的对角线4C、BD交于点、0,过点B作BE〃AC,B.BE=-AC,连接EC、ED.

2

（1）求证：四边形BEC。是矩形;

（2）若AC=2,ZABC=60°,求£>E的长.

【答案】（1）见解析（2）至

【解析】

【分析】（1）、由菱形的对角线互相垂直且平分，即可证明；

（2）、由菱形性质，可得及48。是等边三角形，则可得8C=AC=2,再有勾股定理求出08,进而得出

BD,在中由勾股定理即可求出.

【小问1详解】

证明：•••四边形ABCD是菱形，

：.ZBOC=90°,OC=OA=^AC,

AC,

：.BE=OC,

•：BE//AC,

四边形8EC。是平行四边形，

VZBOC=90°,

四边形8EC。是矩形；

【小问2详解】

:四边形A8CD是菱形，

：.ACLBD,OB^^BD,OC=gAC=l,AB=BC,

'：/A8C=60。，

...△ABC是等边三角形，

：.BC=AC=2,

在R/ZXBOC中，由勾股定理得：

0B=y]BC2-OC2=V22-l2=也，

：.BD=2OB=2y/j，

由（1）得：四边形BECO是矩形，

，BE=OC=1,ZDBE=90°,

在布△OBE'中，由勾股定理得：

DE=dBE?+BD?=712++（2\/3）2=V13•

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾

股定理，二次根式等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题关键.

20.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

名称进价（元/张）售价（元/张）成套售价（元/

套)

餐桌a380

940

a—140

餐椅160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.

(1)求表中a的值；

(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若

将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，则怎样进

货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】(1)a=260

(2)购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元

【解析】

【分析】(1)用含“的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用130()元购进的餐桌数量，再根据二者

数量相等即可列出关于«的方程，解方程并检验即得结果；

(2)设购进餐桌x张，销售利润为W元，根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等

式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利

润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题.

【小问1详解】

600

解：根据题意，得：

aa-140

解得：a=260,

经检验：“=260是所列方程的解,

."=260.

【小问2详解】

设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，销售利润为W元,

由题意得：x+5x+20W200,解得：xW30,

：a=260,

.••餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张，

依题意可知：

W=gxX(940-260-4X120)+1xX(380-260)+(5x+20-1xX4)X(160-120)

—280x+800，

•・Z=280>0,

随x的增大而增大,

.•.当x=30时，W取最大值，最大值为9200元，

5x+20=170（张），

答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关

键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于。的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解

析式，灵活应用一次函数的性质.

21.图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕。点旋转一定角度，研究表明：如图2,当眼睛E

与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP

与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线8垂直

时，观看屏幕最舒适，此时测得NBCr>=30°,NAPE=90°,液晶显示屏的宽A3为34cm.

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏项端A与底座C的距离AC（结果精确到1cm）（参考数据：

sin18°x0.3,cos18°a0.95,夜之1.4,石a1.7）

【答案】（1）57cm；（2）38cm

【解析】

【分析】（1）由已知得AP=BP=gAB=17cm,根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平

距离AE；

（2）如图，过点3作于点F,根据锐角三角函数求出AF和2F的长，进而求出显示屏顶端A与

底座C的距离AC.

【详解】解：（1）由已知得：ZAEP=]S°,AP=BP=-AB=\1,

2

在RsAPE中，

.’yeAP

■：sinZAEP=——，

AE

门”AP175

AE=---------=------r«——«57（cm）,

sinZAEPsin180.3

答：眼睛E与显示屏顶端4的水平距离AE约为57cm；

（2）如图，

过点B作防_LAC于点F,

NEAB+NBAF=90°,ZEAB+ZAEP=90°.

：.ZBAF=ZAEP=18°,

在RtAABF中，

AF=-cosZA4F=34xcos18°«34x0.95«32.3,

3尸=sinZBAF=34xsin18°之34x0.3a10.2,

-BF//CD,

:.ZCBF=ABCD=30°,

CF=BF-tanNCBF=10.2xtan30°=10.2x—«5.78.

3

/.AC=AF+CF=32.3+5.78«38(cm).

答：显示屏顶端A与底座C距离AC约为38cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.

4

22.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=丘+4与双曲线＞=一。＞0)交于点A(l,a).

(1)求a,表的值；

(2)已知直线/过点。(2,0)且平行于直线、=丘+左，点(阳＞3)是直线/上一动点，过点p分别

4

作x轴、y轴的平行线，交双曲线＞=—(x＞0)于点M,N,双曲线在点M,N之间的部分与线段PM,

PN所围成的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若区域W内的整点个数不超

过8,结合图象，求机的取值范围.

【答案】(1)a=4,k=2

(2)3<m<4.5

【解析】

【分析】(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出“的值，进而可得出点A的坐标，根据点4的坐

标，利用待定系数法可求出火值；

(2)由直线/过点£>(2,0)且平行于直线y=2x+2可得出直线/的解析式，利用一次函数图象上点的坐

标特征求出区域W内有8个整点时的临界值，结合函数图象，即可求出当区域W内的整点个数不超过8

个时的取值范围.

【小问1详解】

4

解：•.•点A(l,a)在双曲线丁=—上,

X

：.a=4

...点A的坐标为(1,4),

将A(l,4)代入得：4=%+%,

解得k=2；

【小问2详解】

解：•.•直线/过点。(2,0)且平行于直线)，=2x+2,

直线/的解析式为y=2x-4.

•点P是直线/上一点，

当加=3时，”=2,此时区域W内无整点，

当2加一4=5时，m=4.5,如图所示，此时区域W内有8个整点,

结合函数图象，若区域W内的整点个数不超过8个，则机的取值范围为3<〃区4.5.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行直线的性质以

及数形结合，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求解；(2)依照题意画出图形，利用数

形结合找出结论.

23.如图，已知AB是。。的直径，点C,力在。。上，/£>=60。且43=6,过。点作0E_L4C,垂足为E.

(1)填空：ZCAB=度；

(2)求0E的长；

(3)若0E的延长线交。。于点F,求弦AF,AC和FC围成的图形(阴影部分)的面积S.

3

【答案】(1)30(2)-

2

3

(3)-7t

2

【解析】

【分析】(1)利用圆周角定理解得NB=NO=6()°,由直径所对的圆周角是90°,得到NAC3=90。，

最后根据三角形内角和180°解答即可；

(2)证明△C05是等边三角形，得到BC=3,再证明OE是AABC的中位线，由中位线的性质解答；

(3)连接OC,证明VAMwVCOE(ASA),将阴影部分的面积转化为扇形尸OC的面积，再结合扇形面

积公式解答.

【小问1详解】

解：-0。

..ZB=60°

•••48是。。的直径，

ZACB=90°

.•.NOW=90°—60°=30°

故答案为：30；

【小问2详解】

ZZ>=60°

.-.ZB=60°

QOC=OB

.•.△CO3是等边三角形

BC=OB=-x6=3

2

〈AB是。。的直径，

ZAC3=90°

\OELAC

:.OE//BC

•••O是AB中点

；.0E是AABC的中位线

13

OE=-BC=-

22

【小问3详解】

连接0C,

QAO=OC,ZCAB=30°

.•.NECO=30°

QZ/^C=-ZFOC=-x-ZAOC=-xl20°=30°

2224

ZFAE=ZECO

QAC±OF

ZFEA=NOEC=90°,AE=CE

:NAFE^VCOE(ASA)

•,S'AFE~S'COE

.q_60T?-X32_3

••»阴影一J扇形FOC7万.

【点睛】本题考查扇形面积计算、含30°角的直角三角形、圆周角定理、垂径定理等知识，是重要考

点，掌握相关知识是解题关键.

24.某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为4.5如宽度OP为6米，现以地面（OP所在的

直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示）

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为

多少米？

（3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架"A8CQ（由