2022年全国高中数学联赛安徽省预赛-1

#2022年全国高中数学联赛安徽省预赛填空题设三个复数1、i、z在复平面上对应的三点共线，且二=5,则z=.【答案】4-3i或-3+4i【解析】设*】+山，由题设得〕•+「二-且+■■-=二5.故（〕.；）=（4，-3）或（-3,4）.所以z=4-3i或-3+4i.故答案为：4-3i或-3+4i填空题设n是正整数，且满足438427732293，则n=.【答案】213【解析】由涉屯44X10^，得200<n<300.设说二200（1+刃._44由（1-F%]5=1+5%+10.Y2+10^3+S.Y4+討童=1.375，得工0.075，215.再由沁-n:O，得n=213.（注：“”表示“小于约等于”.）故答案为：213填空题函数尸力二1血％+sin3x+sin4x|的最小正周期二.【答案】【解析】「丄〜f2cos.\--siLj3.\,其中:+2co's.v的最小正周期是，71血心的最小正周期是.故答案为：填空题设点P、Q分别在函数>和：*心时的图象上，则氏的最小值二.1—la（ln2）何【答案】匚【解析】设P（用）,Q（皿存）使氏最小•由W与厂二心互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1,直线PQ的斜率都是-1•故,・故答案为：填空题从1,2,•…10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差“乞丄的概率二.【答案】-【解析】F=£y3_712<i'■-::丄「行的样本方差，当且仅当丄一、二、匕是连续的正整数.

故答案为：故答案为：填空题在边长为1的长方体丄肮门-月内部有一小球，该小球与正方体的对角线段舟6相切，则小球半径的最大值二.4-箱【答案】丁【解析】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点门一的三个面相切•以为原点，分别为X、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系•设A（0，1，1），C1（1，0，0），小球■1-苗得丁4-丽5圆心P（r,r,r）,■1-苗得丁4-丽5故答案为:填空题再由r故答案为:填空题设H是厶ABC的垂心，且，贝怦m能=【答案】匸【解析】月tanBtmC由题设得•再由tan.4+tanB+tanC=tantan5tanC，得人=石，.故cos/lAHC=-cosC=-酉故答案为：-填空题把1,2,…，；'广按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格*■:,123第一行是1，2,…，n.例如：卩詢.设2018在厂血的第i行第j列，贝H（i，j）=.【答案】（34,95）【解析】设上二旳,则「川的第k行第k列元素是1+-=4（101一切应一1）因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.故答案为：（34，95）解答题如图所示，设四边形ABCD是矩形，点E、F分别是线段AD、BC的中点，点G在线段EF上，点D、H关于线段AG的垂直平分线I对称.求证：ZHAB=3ZGAB.答案】见解析解析】

由E、F分别是AD、BC的中点，得EF//AB丄AD.如图，设P是E关于I的对称点，贝I」EP//AG丄I,故四边形AEPG是等腰梯形•进而二F.-l；=LEGA=^G.^B，二WLGEA，从而AP丄HG.再由HP二DE二EA二PG，得圧丹二二F£G=.因此ZHAB=3ZGAB.解答题/y2设0是坐标原点，双曲线C：：A一「上动点M处的切线，交C的两条渐近线于A、B两点.⑴求证：AAOB的面积S是定值；⑵求厶AOB的外心P的轨迹方程.【答案】（1【答案】（1）见解析（2）解析】⑴双曲线在M（・"）处的切线方程为，与渐近线方程联立，「frr-V得A（一，一）二，B（二，二）二.从而是定值.a方（2）由⑴可设A（加必），b（厂Q,P（x，y），入为非零常数.

由肿二貯=貯,得诙-加卩十（y—zip=咒2+y上式20恒成立，当且仅当'一丁「°且化简得「盲且匚二•故存在屮满足要求上式20恒成立，当且仅当'一丁「°且化简得「盲且匚二•故存在屮满足要求.解答题在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.从而有煮+上厂=7订'+汀：，煮一2=三心+心.上述两式相乘，得p的轨迹方程为「m—+心.解答题⑴求证：对于任意实数x、y、z都有H+2y2-F3z2>屈（巧+尹忑+zx）.⑵是否存在实数「貂,使得对于任意实数x、y、z有■-+二二+:++-:恒成立？试证明你的结论.【答案】（1）见解析（2）见解析.解析】x23,,.2x2372（1）由均值不等式，可知，"+壬+〒三品戸故有戏++g异M屈(巧+yz-Fzx).x2+2y2+3z2-k衣y+yz+zx]员+—员+—z2【答案】卞二衣.ijiir【解析】设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，「是以第i个顶点为端点的红色