（全国通用）2023高考数学大一轮复习第三篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用习题理

PAGEPAGE10第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,5,7,12,15与面积相关的问题4,6,9判断三角形的形状与实际应用问题2,3,8综合问题10,11,13,14,16根底对点练(时间:30分钟)1.(2022·北京大兴区模拟)在△ABC中,a=2,b=3,B=π3(A)π6 (B)π4 (C)3π4解析:由正弦定理得sinA=asinBb又b>a,所以A=π4应选B.2.假设sinAa=cosBb=(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形(C)有一个角为30°的直角三角形 (D)有一个角为30°的等腰三角形解析:由正弦定理和sinAa=cosB得sinB=cosB,sinC=cosC,所以B=45°,C=45°.应选B.3.(2022·厦门一中期中)如果D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,那么A点离地面的高AB等于(D)(A)10m (B)5m(C)5(3-1)m (D)5(3+1)m解析:ABtan30°-ABtan454.(2022·黑龙江哈尔滨模拟)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=30°,△ABC的面积为32(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°解析:因为S△ABC=12AB·ACsinA=3即12×3×1×sinA=3所以sinA=1,所以A=90°,所以C=60°.应选C.5.(2022·河南郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设b3cosB(A)-12 (B)12 (C)-3解析:由正弦定理及b3cosB得sinB3cos所以tanB=3,又0<B<π,所以B=π3,cosB=1应选B.6.(2022·河南六市联考)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设sinA=223,a=2,S△ABC=(A)3 (B)322 (C)22解析:由S△ABC=12bcsinA=2,得bc=3,又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2=6.②由①②解得b=3.应选A.7.(2022·上海卷)△ABC的三边长分别为3,5,7,那么该三角形的外接圆半径等于.

解析:由不妨令a=3,b=5,c=7,所以cosC=a2+b所以sinC=32所以R=c2sinC=答案:78.如下图,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出AB的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.假设测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,那么A,B两点间的距离为.

解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得ABsin∠BCA所以AB=AC·sin∠BCAsin即A,B两点间的距离为206答案:209.△ABC的周长为20,面积为103,∠A=60°,那么边a=.

解析:据条件可得12bcsin60°=103⇒又由余弦定理可得b2+c2-bc=b2+c2-40=a2,所以b2+c2-40=(b+c)2-2bc-40=(20-a)2-120=a2,解得a=7.答案:710.导学号18702208在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-又因为0<B<π,所以B=π4(2)由(1)知A+C=3π2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4=2cosA-22cosA+2=22cosA+2=cos(A-π4)因为0<A<3π所以当A=π4时,211.(2022·山东临沂模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(A-B)=cosC.(1)假设a=32,b=10,求c;(2)求acos解:(1)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sin(π2-C)因为△ABC为锐角三角形,所以A-B+C=π2又A+B+C=π,两式相减,得B=π4由余弦定理b2=c2+a2-2accosB,得10=c2+18-2c×32×cosπ4即c2-6c+8=0,解得c=2或c=4;当c=2时,b2+c2-a2=10+4-18=-4<0,cosA<0,即A为钝角(舍去),故c=4.(2)由(1)得B=π4,所以C=3所以acosC=sin=2sin(2A-3π4因为△ABC为锐角三角形,0<C=3π4-A<所以π4<A<π所以-π4<2A-3π4所以-22<sin(2A-3π4)所以-1<acos故acos能力提升练(时间:15分钟)12.导学号18702209△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足ba+c+(A)(0,π3] (B)(0,π(C)[π3,π) (D)[π6,解析:由ba+c+得b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简,得b2+c2-a2≥bc,即b2+c即cosA≥12(0<A<π所以0<A≤π3应选A.13.导学号18702210在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设S△ABC=23,a+b=6,acos(A)27 (B)23 (C)4 (D)33解析:因为acosB=sin=1,所以2cosC=1,所以C=60°.假设S△ABC=23,那么12absinC=23所以ab=8.因为a+b=6,所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=23.应选B.14.(2022·湖北宜昌模拟)在△ABC中,A=30°,2AB→·AC→=3△ABC的最大角的余弦值为.

解析:由2cbcosA=3a2,即bc=3a2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-3bc,即33bc=b2+c2-3解得b=3c或b=33假设b=3c,那么a=c,所以B=120°,假设b=33所以C=120°,因此最大角的余弦值为-12答案:-115.导学号18702211△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=5(1)求ba(2)假设c2=a2+85b2解:(1)由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=5即sinB(sin2A+cos2A)=故sinB=53所以ba=5(2)设b=5t(t>0),那么a=3t,于是c2=a2+85b2=9t2+85·25t2=49t即c=7t.由余弦定理得cosC=a2+=-12所以C=2π16.导学号18702212在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)假设△ABC的面积S=a2(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B),又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解:由S=a24得12故有sinΒsinC=12sin2Β=sinΒcosΒ因为sinΒ≠0,所以sinC=cosΒ.又Β,C∈(0,π),所以C=π2±Β当Β+C=π2时,A=π当C-Β=π2时,A=π综上,A=π2或A=π好题天天练导学号18702213如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.假设B=π3,b=7(1)求cos∠BAC的值;(2)求AD的值.解:(1)由正弦定理得sinC=cbsinB=27×32又因为在△ABC中,b>c,所以C<B,所以cosC=1-sin2C所以cos∠BAC=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)=sinBsinC-cosBcosC=32×37-1=714(2)法一因为AD→=12(AB→所