浙教版九年级数学下册期末考前专题复习含答案

浙教版九年级数学下册期末

专题复习含答案

目录

专题1二次函数.................................................................1

专题2简单事件的概率.........................................................16

专题3圆的基本性质...........................................................26

专题4相似三角形.............................................................38

专题5解直角三角形...........................................................51

专题6直线与圆的位置关系.....................................................63

专题7三视图与表面展开图.....................................................76

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专题1二次函数

题型一二次函数的图象和性质

■例1对于抛物线尸一步+2x+3,有下列四个结论：①它的对称轴为x=l；

②它的顶点坐标为(1,4)；

③它与y轴的交点坐标为(0，3),与入轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0)；

④当x>0时，y随x的增大而减小.

其中正确的个数为(C)

A.1B.2C.3D.4

【解析】①对称轴为x=_*=—°乂，2］、=1,...①正确；②y=-f+2x+3=—(x—

l)?+4,.•.它的顶点坐标为(1,4),.•.②正确；③y=—f+2x+3,当x=0时，y=3,当y

=0时，一V+2x+3=0,——及=3,x?+2x+3与y轴的交点坐标为(0,3),

与入轴的交点坐标为(T,0)和(3,0),...③正确；④•.匕=一1<0,...当x>l时，y随x

的增大而减小，，④错误.故正确的选项有①②③三个.

【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分

析.

图一变式跟进

1.小张同学说出了二次函数的两个条件：

(1)当1时，y随x的增大而增大；

(2)函数图象经过点(一2,4).

则符合条件的二次函数表达式可以是(D)

A.y=~(x—I)2—5B.y=2(x—1)'—14

C.尸一(X+1¥+5D.y=-(x-2)2+20

2.求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标.

(l)y=4x+24x+35；

(2)y=—3x+6x+2；

⑶尸三一x+3；

(4)尸2f+12x+18.

解：(1)：y=4x2+24x+35,

对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,-1),

1

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57

解方程4f+24x+35=0,得汨=一A2=—

故它与x轴交点坐标是「薮，0),「彳，0)；

(2)・・・y=-3/+6x+2,

，对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,5),

解方程一3丁+6才+2=0,

/日,J15J15

得Xl=l+^-,X2=l——~

OO9

故它与x轴的交点坐标是(1+^0),(1—0)；

(3)y=x—x+3,

,对称轴是直线T，顶点坐标是由丹

解方程/一才+3=0,无解，故它与x轴没有交点；

(4)•.,=2/+12*+18,

.,.对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,0),

当y=0时，2*+12入+18=0,'.X\=X2=—'i,

，它与x轴的交点坐标是(一3,0).

题型二二次函数的平移

■例2将抛物线y=-2/+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的

抛物线表达式为(C)

A.尸一2(X+1)2B.y=-2(x+l)2+2

C.y=-2(x-l)2+2D.y=-2(x-l)2+l

【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，

就可以确定抛物线的平移规律.

国--------变式跟进

3.将抛物线y=2f+4x—5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线

表达式是(C)

A.尸2(X+1)2-7B.尸2(x+l)Z-6

C.y=2(x+3)2-6D.y=2(A—1)2-6

题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系

■例3[2016•宁夏]若二次函数y=f—2x+w的图象与x轴有两个交点，则加的取值

2

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范围是—勿vL.

【解析】,・•二次函数2才+勿的图象与才轴有两个交点，・・・/>0,・・・4-40>0,・•.加

<1.

【点悟】抛物线y=a/+bx+c(aN0)与x轴的交点的横坐标汨，生，就是方程力汗+

c=0QW0)的两个根，判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断^一4女与0的大小即可.

国--------变式跟进

4.已知二次函数尸产-2了+卬(〃为常数)的图象与入轴的一个交点为(-1,0),则关于“

的一元二次方程/-2%+0=0的两个实数根是(D)

A.小=1,X2=2>B.小=1,X2=3

C.Xi=1,Xz~~2D.X\~~1,x2==3

【解析】二次函数y=V—2X+R(勿为常数)的对称轴是x=l,(―1,0)关于x=l的对称点

是(3,0).则一元二次方程9-2%+0=0的两个实数根是为=-1,我=3.

5.[2017•高邮二模]如图1,二次函数yi=ax'+6x+c与一次函数乃=履的图象交于点/

和原点”点1的横坐标为一4,点1和点6关于抛物线的对称轴对称，点6的横坐标为1,

则满足0V/1V度的X的取值范围是一4Vx<—3.

【解析】如答图所示，•••点力的横坐标为一4,点4和点6关于抛物线的对称轴对称，点6

3

的横坐标为1,•♦.抛物线的对称轴为x=-,二次函数yi=af+6x+c与一次函数於=4x

的图象交于点力和原点点坐标为(-3,0),则满足0<%<%的x的取值范围是一4

Vx<—3.

题型四二次函数的图象与系数之间的关系

■例4如图2,已知二次函数y=ax2+8x+c(aW0)的图象与x轴交于点4(—1,0),

与y轴的交点5在(0,-2)和(0,—1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=\.下列结论:

①a6c>0；②4a+26+c>0；

3

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③4do—B<8a；@|-<aV,；⑤c.

其中含所有正确结论的选项是(D)

图2

A.①③B.①③④

C.②④⑤D.①③④⑤

【解析】①：函数开口方向向上，・・•对称轴在原点右侧，，助异号，・・,抛物线与

y轴交点在y轴负半轴，，己儿〉。，故①正确；

②・・•图象与x轴交于点/(—1,0),对称轴为直线x=l,・・・图象与x轴的另一个交点为(3,

0),

,当不=2时,y<0,A4a+2Z?+c<0,故②错误；

③.・•图象与x轴交于点力(-1,0),工当x=-1时,y=(-l)2a+Z?X(―1)+c=0,：.a—b

+c=0,B|Ja=b~c,c=b—a,丁对称轴为直线x=l,/.—^-=1,即6=—2a,Ac=b~

2a

a—(-2a)—a——3a,.•・4ac-Z/=4d(-3a)—(—2a)2——166?2<0.V8a>0,—1)<8a,

故③正确；

④・・•图象与y轴的交点夕在(0,-2)和(0,—1)之间，，一2VcV—1,・・・一2V—3aV—1,

21

.\->a>­,故④正确；

OO

⑤YaX),.•.6-c>0,即6>c,故⑤正确.

【点悟】二次函数y=ax+bx+c(a^0),①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小.当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，

lai越大开口就越小.②一次项系数6和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与。同

号时(即瑟>0),对称轴在y轴左侧；当a与6异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧(简称：

左同右异).③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与p轴交于(0,c).

国--------变式跟进

6.[2016•孝感]如图3是抛物线/=@/+-+。心¥0)的部分图象，其顶点坐标为(1,ri),

且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论：

4

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①次一6+。〉0；②3a+6=0；③Z?2=4a(c—〃)；

④一元二次方程ax2+bx+c=n~l有两个不相等的实数根.

其中正确结论的个数是(C)

-2-10123\453

A.1B.2C.3D.4

【解析】:抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线

x=l,・••抛物线与x轴的另一个交点在点(一2,0)和(一1,0)之间...•当户一1时，y>0,

即a—b+c>0,，①正确；

•抛物线的对称轴为直线*=一上=1,即6=-2&；.3a+6=3a—2a=a,.•.②错误；

2a

4刀「

•抛物线的顶点坐标为(1,ri),---=〃，.'.62=4ac—4a〃=4a(c—〃)，.•.③正确；

4a

•.•抛物线与直线尸〃有一个公共点，.•.抛物线与直线有2个公共点，.•.一元二次

方程ax+bx+c=n-\有两个不相等的实数根，.•.④正确.

题型五二次函数的实际应用

■例5[2016•潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆

观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数，发现每天的运营规

律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每

增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1100元.

(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为

多少元？(注：净收入=租车收入一管理费)

(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？

解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则OWxWlOO,由50x-1100>0,解得x>22,

是5的倍数，.•.每辆车的日租金至少为25元；

(2)设每天的净收入为y元，当OWxWlOO时，y.=50x-l100,随x的增大而增大，

.•.当x=100时，%的最大值为50X100-1100=3900.

5

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x—1100=—¥+70XT100=T（L175）：'+5025.

当x>100时,於=

当x=175时，及的最大值是5025,V5025>3900,

当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5025元.

【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最

小值).解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y=a(x—

N+k,再根据二次函数的性质确定最大值或最小值.

国--------变式跟进

7.[2016•杭州]把•个足球垂直水平地面向上踢，时间t(s)与该足球距离地面的高度方(m)

适用公式A=20r-5d(0Wf<4).

(1)当1=3时，求足球距离地面的高度；

(2)当足球距离地面的高度为10m时，求t的值；

(3)若存在实数乙，友(GWG),当或G时，足球距离地面的高度都为卬(m),求/"的取

值范围.

解:(1)当力=3时，A=20t-5t2=15(m),

此时足球离地面的高度为15m；

(2)VA=10,/.20t-5t2=10,

即——4t+2=0,解得t=2+也或t—2—\[2,

经过2+4或2s时，足球距离地面的高度为10m；

(3)•."20,由题意得右和为是方程20f-5t2=必的两个不相等的实数根，

.•"2-4ac=202-20w>0,解得Z20,

...如的取值范围是0WZ20.

题型六二次函数的综合题

■例6[2017•浙江月考]如图4,抛物线G：的顶点为4与x轴的

正半轴交于点B.

(1)将抛物线G上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表

达式；

⑵将抛物线G上的点(心力变为(履，切)(|川>1),变换后得到的抛物线记作G,抛物线

C的顶点为G求抛物线C的表达式(用力表示)；

(3)在(2)条件下，点。在抛物线C上，满足8次且.当4>1时，求4

6

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的值.

解：⑴•；y=—/V+z/xn—/(X—1”+/，

抛物线G经过原点。，点4(1,4)和点庾2,0)三点，

•••将抛物线G上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,

•••变换后的抛物线经过原点。，(2,24)和(4,0)三点.

设变换后抛物线的表达式为尸af+6x,将(2,24)和(4,0)代入,

[=_理

‘4a+26=2#,

得V解得"2,

16d+4，=0,[6=2曲

•••变换后抛物线的表达式为尸一半f+24x；

(2)..•抛物线G经过原点0,点4(1,/)和点5(2,0)三点,

将抛物线G上的点(x,力变为Gtx,Ay)(|A|>l),变换后得到的抛物线记作G,则抛物线

C过原点。，(k,木期,(2左，0)三点，

；・抛物线G的表达式为尸一半丁+2m上

K

(3)*.*y=­+2y[ix=(x—A)2+yfik,

KK

：.o,A,C三点共线，且顶点C为(小小Q.

如答图，'：SweS/,k>\,J.BP//AC,

过点一作如J_x轴于〃，过点8作施工4。于笈

由题意知是边长为2的正三角形，四边形Q)郎是矩形,

：.OE=1,CE=BP=2k—3,:NPBA60°,

1B、

：.BD=k--,PD=±&k-。,

.•.(什5'乎(2A—1),

7

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8.[2017•诸城校级月考]如图5,在矩形以8。中，OA=5,4?=4,点〃为边4?上一点,

将△腼沿直线CD折叠，使点B恰好落在如边上的点E处，分别以OC,OA所在的直线

为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

(1)求利的长;

(2)求经过。，D,。三点的抛物线的表达式;

(3)一动点户从点C出发，沿力以每秒2个单位长的速度向点6运动，同时动点0从£点

出发，沿比1以每秒1个单位长的速度向点。运动，当点户到达点6时，两点同时停止运动.设

运动时间为ts,当力为何值时，DP^DQ.

解：⑴•.,四=龙=5,CO=AB=\,

...在RtZ\C(火中，

OE=、C"CG二"一43；

⑵设AD=m,则DE=BD=A-m,

,：OE=3,."£=5—3=2,

3

在中，由勾股定理可得9+胫=〃必，即勿2+2，=(4-解得m=j,

一去一5)，，"(一4，0),0(0,0),

设过。，D,C三点的抛物线为y=ax(x+4),

3,3、4

-5=一万+4>解得

4416

抛物线表达式为y=^x(x+4)=-x+—x；

Jo0

a

(3)：CP=2tf：.BP=5~2t,

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5

由折叠的性质，得BD=DE=,

\DP=DQ,

在Rt△叱和Rt△〃如中，\

\BD=ED,

:.Rt/\DBBRSDEQ(HD,:.BP=EQ,

5

.•.5—21=t,t=-z.过关训练

0

/A息础达标

1.已知，二次函数y=af+bx+c(aKO)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是(C)

A.根据图象可得该函数y有最小值

B.当x=-2时，函数y的值小于0

C.根据图象可得a>0,b<0

D.当x<-l时，函数值y随着x的增大而减小

【解析】由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项正确；B.当入=-2

时，图象在x轴的下方，函数值小于0,此选项正确；C.对称轴为x=-1,a>0,则6>0,

此选项错误；D.当xV—1时，y随x的增大而减小，此选项正确.

2.抛物线尸5+2)2—1可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是(B)

A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

【解析】•••函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，得y=(x+2)*然后y轴向

下平移1个单位长度，得y=(x+2)z—1,故选B.

3.一次函数y=ax+6(a#0)与二次函数尸。/+质+〃。/0)在同一平面直角坐标系中的

图象可能是(C)

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ABCD

4.如图2,二次函数了=2/+以+。^/0)的图象与x轴交于点力(-1,0),其对称轴为直

线*=1,下列结论中正确的是(D)

图2

A.abc>0B.2a—b=0

C.4a+26+cV0D.9a+36+c=0

【解析】•••抛物线的开口向下，则aVO,对称轴在y轴的右侧，.•">(),图象与y轴交于

正半轴上，：.c>0,：.abc<Oi♦.•对称轴为x=l,：.-=1,：.­b=2a,：.2a+b=0；

乙a

当时，4a+2/?+c>0；当x=3时，9a+36+c=0.

息-力程开

5.已知二次函数y=3f+36x+8L

(1)写出它的顶点坐标；

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；

(3)求出图象与x轴的交点坐标；

(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；

(5)当x取何值时，y<0.

解：(1)..•y=3f+36x+81=3(x+6)2—27,

，顶点坐标为(-6,—27)；

(2)•.•抛物线的对称轴为x=-6,且抛物线的开口向上，

.•.当*>一6时，y随x的增大而增大；

(3)当3f+36x+81=0时，得汨=一3,生=一9,

,该函数图象与x轴的交点为(-9,0),(-3,0)；

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(4),•抛物线的顶点坐标为(一6,—27),

.•.当x=-6时，y有最小值,最小值为一27；

(5):•该函数图象与x轴的交点为(-9,0),(—3,0),且抛物线的开口向上,

当一9cx<—3时，y<0.

6.已知二次函数的图象以4(-1,4)为顶点，且过点庾2,-5).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标.

解：(1)由顶点履一1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+l)2+4(ar。).

•••二次函数的图象过点8(2,-5),

一5—a(2+l)2+4,解得a=-1.

.♦.二次函数的关系式是尸一(»+1)2+4；

(2)令x=0,则尸一(0+11+4=3,

图象与y轴的交点坐标为(0,3).

7.如图3,已知抛物线y=f+6x+c经过/(—1,0),6(3,0)两点.

(2)当0<x<3时，求y的取值范围；

(3)点尸为抛物线上一点，若&用B=10,求出此时点尸的坐标.

解：(1)把4(—1,0),6(3,0)分别代入中，

9l+~3b—+c=0,,解得|b——2,

得

••・抛物线表达式为y=/—2x—3.

y=x—2x—3=(x—1)"—4,

，顶点坐标为(1,-4)；

(2)由图可得当0Vx<3时，-4WyV0；

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⑶（一1,0）,庾3,0）,.•"6=4.

设尸(x,y),则8用《=/48,|y|=2|y|=10,

\y\=5,.'.y—±5.

①当尸5时，x—2x—3—5,解得为=—2,必=4,

此时尸点坐标为(-2,5)或(4,5)；

②当y=-5时，X—2^—3=-5,方程无解.

综上所述，。点坐标为(-2,5)或(4,5).

8.如图4,在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃.设

花圃的宽47为xm,面积为Sm；

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)已知墙的最大可用长度为8m,

①求所围成花圃的最大面积；

②若所围花圃的面积不小于20m2,请直接写出x的取值范围.

图4

解：(1)S=x(24—4x)=-4/+24才(0cx<6)；

(2)①S=—4f+24x=-4(X—3)2+36,

由24—4启8,24—4*>0,解得4Wx<6,

当x=4时，花圃有最大面积为32；

②令一4父+24入=20时，解得为=1,吊=5,

•墙的最大可用长度为8,即24—4xW8,

；.4WxW5.

9.[2017•三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按

每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1

元，其销量可增加10件.

(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润—元；

(2)若设后来该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元.

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①若该经营者经营该商品一天要获利润2090元，求每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并求出当x取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利

润为多少元？

解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100X(100—80)=2000(元)；

(2)①设该商品每件降价x元，依题意，得

(100-80-X)(100+10x)=2090,

即10x+9=0,解得“i=l,至=9.

答：每件商品应降价1元或9元；

②根据题意得y=(100—80—%)(100+10x)

=-10/+100x+2000,

当x=—擀=5时，ya*=2250元，

答：该经营者所获最大利润为2250元.

10.[2016•泰安]如图6,在平面直角坐标系中，抛物线y=a*+6x+c的顶点坐标为(2,

9),与y轴交于点/(0,5),与x轴交于点£,B.

(1)求二次函数y=a/+6x+c的表达式；

(2)过点/作4C平行于x轴，交抛物线于点C,点夕为抛物线上的一点(点P在/C上方)，

作如平行于y轴交46于点〃，问当点。在何位置时，四边形4/W的面积最大？并求出最

大面积.

解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+9,

把4(0,5)代入得4a+9=5,解得a=-l,

y——(x-2)2+9=一9+4x+5；

(2)当y=0时，―/+4犬+5=0,

解得汨=-1,弱=5,，£(一1,0),8(5,0),

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设直线的表达式为y=mx+n,

把力(0,5),3(5,0)代入，得力=-1,/7=5,

—x+5,

设P(x,—x?+4x+5),则。(x,—x+5),/Y?=—V+4x+5+x—5=—f+5x,\*AC=4：,

，四边形力Aa的面积=，。・89=；X4X(-x+5x)=-2x+10x,

in595

当x=一…i，)「二5时，四边形加W的面积最大，最大面积为3.

11.[2017•双台子区校级一模]如图7,在平面直角坐标系中，二次函数。的图

象与x轴交于48(3,0)两点，与y轴交于c(0,—3),点P是直线6C下方抛物线上的动

点.

(1)求出二次函数的表达式；

图7

(2)连结户〃，PC,并将沿了轴对折，得到四边形如"C,那么是否存在点只使得四

边形POPC为菱形？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶当点。运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出止匕时户的坐标和四边形ACPB

的最大面积.

解：(1)把8(3,0),C(0,—3)代入尸f+Ox+c,

]9+3®+c=0,[b=~2,

得.解得＜_Q

匕=-3,

这个二次函数的表达式为2x—3；

(2)存在.理由如下：

如答图①，作"的垂直平分线交直线％下方的抛物线于点只垂足为点“则m=/r,

•.•△w沿co翻折，得到四边形也火’c,

.•.仍=OP,CP'=CP,：.OP'=04CP'=CP,

四边形尸仍。为菱形，点坐标为(0,-3),

点坐标为(0，一3，.•.点尸的纵坐标为一看

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浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

把y=-5代入y=/-2%—3,得

六一2x—3=—去解得x=省叵,

•.•点。在直线■下方的抛物线上，

.2+yio

第11题答图②

(3)如答图②，作轴于点区交回于点笈8c的表达式为y=x-3,设£(如卬-3),

P1m,m—2m-3).

'3、

则（加2—3）=+3/=一

PE=m—3-2R——mni~2

S»RCP=&幽+S/\CEP

=^PE•FB+；EP•OF=^EP•OB

13'

=］义3-//7-2

3327

V—X<0,，当加=彳时，S/tt大=三",

ZZo

此时《I，一吊；

0),庾3,0),<7(0,-3),

又S四边形ACPB—8,4附+S/\PBC,心械•=]X4X3=6=定值，

9775

・••当△次的面积最大时，四边形力0叨的面积最大，最大面积为6+三=台.

OO

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浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

专题2简单事件的概率

题型一事件的分类

■例1下列事件为必然事件的是（1））

A.打开电视机，它正在播广告

B.某彩票的中奖机会是1%,买1张一定不会中奖

C.抛掷一枚硬币，一定正面朝上

D.投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7

【解析】打开电视机，它正在播广告是随机事件，A错误；某彩票的中奖机会是1%,买1

张一定不会中奖是随机事件，B错误；抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件，C错误；

投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7是必然事件，D正确.

国--------变式跟进

1.下列说法不正确的是（C）

A.“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件

B.“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件

C.“在标准大气压下，当温度降到一5℃时:水结成冰”属于随机事件

D.“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件

题型二概率的意义及计算

■例2将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3的差不大

于2的概率是（D）

1125

A-B.-C.-D.-

乙000

【点悟】利用户（力）=&求事件力的概率时，要注意正确计算所有可能的结果数〃和事件/

n

包含的可能的结果数/，对于几何型的概率问题，要注意各部分面积的关系，抓住”概率等

于相应的面积与总面积比”，这是解决几何类型概率问题的关键.

国_-——变式跟进

2.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（C）

A.每2次必有1次正面向上

B.必有5次正面向上

C.可能有7次正面向上

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浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

D.不可能有10次正面向上

3.［2017•高邮二模］平面直角坐标系初r中有四点4(—2,0),8(—1,0),<7(0,1),。(0,

2),在4B,C,2中取两点与点。为顶点作三角形，所作三角形是等腰直角三角形的概率

是

—2—,

第3题答图

【解析】如答图，在4B,C,。中取两点与点。为顶点作三角形一共可作4个三角形，其

21

中所作三角形是等腰直角三角形的有2个，二。(所作三角形是等腰直角三角形)

题型三用画树状图或列表法求概率

■例3将如图1所示的牌面数字1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面

上.

(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是一，；

(2)从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是:；

(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，

再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数

恰好是3的倍数的概率.

21

解：(1)1,2,3,4共有4张牌，随意抽取一张为奇数的概率为］=5：

(2)只有2+4=6,一种可能但组合一共有3+2+1=6(种)，故概率为《；

(3)歹lj表如下：

17

浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

111121314

221222324

331323334

441424344

5

其中恰好是3的倍数的有12,21,24,33,42五种结果..•/(3的倍数)=左.

16

【点悟】一般地，涉及两步的随机事件的概率，既可以用列表法也可以用画树形图法，涉

及三步以上的随机事件的概率，通常用画树形图法求.值得注意是，在利用列表法、画树形

图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则会产生错误.

国--------变式跟进

4.[2017•垫江校级月考]己知四张卡片上分别写有四个数一1,0,1,2,它们除数字不同

外其余全部相同，先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数字记为x,不放回再随机抽取

一张记为八则点(无力落在的图象上的概率为

1

访--

【解析】画树状图如答图，

第4题答图

共有12种等可能的结果数，其中点(x,。落在y=f—x+1的图象上的只有(0,1)一种，

故概率为七.

5.[2017•泰兴校级二模]某校“文化氧吧”有4B,C,。四本书是小明想读的，但他现阶

段只打算选读两本.

(1)若小明已选｛书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C的概率是—4_；

(2)小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中4C两本的概率.

解：(1厂.•小明已选力书，再从其余三本书中随机选一款，

•••恰好选中c的概率是:；

(2)画树状图如答图，

18

浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

开始

A1}CD

/N/T\/N/1\

13CDACDABDABC

第5题答图

共12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，

21

；/(选中4。=运=/

题型四用频率估计概率

■例4小明和小亮两位同学做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了100次

实验，实验的结果如下：

朝上的点数123456

出现的次数141523162012

(1)计算“2点朝上”的频率和“4点朝上”的频率；

(2)小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”.小亮说：“如果投掷1000

次，那么出现5点朝上的次数正好是200次.”小明和小亮的说法正确吗？为什么？

⑶小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于3的概率.

解：(1)“2点朝上”的频率为砺=0.15；

“4点朝上”的频率为瑞=0.16；

(2)小明的说法错误，因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率才会稳定在事件

发生的概率附近；

小亮的说法是错误的，因为事件发生具有随机性；

42

⑶产(点数不小于3)=-=-

63

国--------变式跟进

6.一个不透明的盒子里有〃个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球.

(1)若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事

件”，则加的最大值为3;

(2)若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜

色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%,问〃的值大

约是多少？

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浙教版九年级数学下册期末专题复习含答案

解：(D根据题意得，拿走勿个黄球后，不透明的盒子中至少还有一个黄球,

则小的最大值为6—1=5；

⑵根据题意,得仁|=。-4,解得片

题型五判断游戏公平性问题

■例5小明和小刚用如图2所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别

任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色，则可以配成紫色.若

配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜.

(1)请用列表或树状图法求出小明胜的概率;

(2)这个游戏公平吗？

解：(1)画树状图如答图,

红

4\

红蓝黄红蓝黄红蓝黄

例5答图

7

共有9种等可能的结果数，其中不能配成紫色的结果数为7,.♦.小明胜的概率=§；

(2)这个游戏不公平.理由如下:

•••能配成紫色的结果数为2,

2

小刚胜的概率

772

而小明胜的概率=dy，dy>Wy，

•••这个游戏不公平.

图--------变式跟进

7.小王和小明玩一个游戏，规则如下：把分别写有1,2,3,4的四张卡片全都放入一个暗

盒中，每次摇匀后每人摸出一张，算出这两张上的数字之“和”，当“和”为奇数时，小王

胜，当“和”为