合情推理巧妙转化-“圆的面积”教学设计

合情推理，巧妙转化——“圆的面积”教学设计东莞市东城区第五小学于芳教学内容：人教版义务教育实验教科书六年级上册P67-68。教材分析：“圆的面积”计算属于“图形与几何”领域中的“测量”问题。由于圆是曲边图形，因此教材将其编排在长方形、正方形、平行四边形等多边形的面积计算之后，这一内容的学习，对于圆柱、圆锥等立体图形的后续学习有着非常重要的影响。教材在编排时采取了不同于以往多边形面积学习的程序，舍弃了数方格、提出猜想的过程，而是直接提出问题：能不能把圆转化成已学过的图形来计算面积？接着提示学生利用学具动手操作。这样的编排，探究的成分不够，学生被动接受的成分较多。学情分析：学生在学习“圆的面积”之前，已经积累了相当多的面积计算探究经验。他们通过摆小正方形、数方格、切拼等方法猜想并验证了长方形、正方形、平行四边形等多边形的面积计算公式。其思维水平也正由具体形象思维向抽象思维过渡，大部分学生已经具备较强的抽象思维能力。他们完全有能力在教师的引导下运用转化思想猜想并验证圆的面积计算公式。但是由于圆是一个曲边图形，他们在面对圆的面积计算探究任务时，会不知如何下手，需要教师提供适当的帮助。设计理念：《课程标准（2022年版）》指出，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。对学生推理能力的培养应贯穿在整个数学学习过程中。本课的教学在兼顾运用转化思想、感悟极限思想的同时，侧重于对学生合情推理能力的培养，通过创设一定的数学情境，帮助学生对圆的面积提出猜想，然后再验证猜想。在“发现——猜想——验证——应用”的过程中，发展学生的数学思维能力。教学目标：理解和掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。在探究过程中运用转化的思想方法，感悟极限思想，经历合情推理的过程。在动手操作，验证猜想的过程中，体验成功的喜悦，感受数学的魅力。教学重点：理解和掌握圆的面积计算公式。教学难点：动手操作，推导出圆的面积计算公式。教具学具：白纸剪成的圆、课件教学过程：一、复习旧知，引出课题1．复习旧知出示长方形、正方形、平行四边形、三角形各一个，请学生说一说这些图形的面积是如何计算的。2．引出课题师：今天这节课我们要研究“圆的面积”。（板书课题）（设计意图：通过复习，一方面唤醒学生对面积概念的记忆，另一方面为接下来圆的面积计算公式推导打下知识基础。）二、自主探索，学习新知（一）发现问题，提出猜想1．观察图形，找关系(1)出示一个圆及其外切正方形图rr(2)观察图形，你想到了什么？大正方形的边长等于圆的直径、小正方形的边长等于圆的半径、圆的面积小于大正方形的面积……（设计意图：一个圆及其外切正方形图能让学生充分联想与这两者相关的各种问题，为下一步的猜想奠定基础，同时也发展了学生的几何直观水平。）2．发现问题，引猜想（1）圆的面积和小正方形的面积有什么关系？你怎么知道的？圆的面积应该是小正方形面积的3倍多一些。因为从图上可以看出来，圆的面积不到小正方形面积的4倍，但是又好像不止3倍。（2）我们用数方格的方法来算一算正方形的面积=4×4＝16平方厘米四分之一圆的面积≈平方厘米圆的面积=50平方厘米圆的面积大约是正方形面积的倍。（设计意图：数方格的适时引入，为学生的初步猜想提供了数据支撑，也为学生理解圆的面积与其半径的平方的关系奠定了基础。）（3）你觉得圆的面积和它的半径有什么关系？圆的面积大约是半径平方的3倍。如果学生一下子不明白，可以提示学生：正方形的面积就是半径乘半径。（二）动手操作，验证猜想1．动手操作，寻途径（1）我们的猜想到底对不对呢？还需要验证。（2）怎样验证呢？想一想我们以前研究平行四边形的面积是怎么做的？把平行四边形转化成长方形，通过计算长方形的面积得出平行四边形的面积。（设计意图：通过引导学生回忆平行四边形面积公式的推导过程，帮助学生唤起对转化思想的记忆。）（3）圆的面积怎么转化呢？请你拿出准备好的圆形纸片，折一折、想一想。引导学生将圆形纸片不断对折、对折、再对折，然后打开纸片。师：你发现了什么？学生会发现圆内出现了8个相等的近似等腰三角形。师：仔细观察，你觉得这些三角形有什么问题吗？学生指出这些三角形的底边是弯的。师：要是再对折一次呢？学生动手操作后，打开观察：好像底边没那么弯了。（设计意图：圆是一个曲边图形，直接将其转化成其他多边形是非常困难的，此处教师看似不经意的将圆形纸片对折、对折、再对折，就帮助学生发现了原来圆可以细分成相等的近似三角形。仔细观察后的再次对折，则帮助学生初步理解了圆平均分成的份数越多，曲边就越接近直线。）（4）课件演示圆不断细分成三角形，引导学生发现:随着均分的份数增加，近似三角形的底边由曲线越来越近似于线段。（设计意图：课件的演示，帮助学生初步领悟了极限思想。）（5）你觉得我们可以通过计算什么图形的面积来计算圆的面积呢？可以通过计算三角形的面积来计算圆的面积2．动笔计算，证猜想（1）明确计算方法教师出示圆均分成16个三角形的图片，提问：三角形的底和高在哪呢？引导学生明确：圆周长的十六分之一就是三角形的底，圆的半径就是三角形的高（2）用字母表示数师：没有数据，只有字母，该如何计算呢？生：就用字母表示数来计算。用2πr表示周长，用r表示半径和高。师：为什么用2πr表示周长而不用πd呢？生：因为我们要研究圆的面积和半径的关系。（设计意图：简单的问答，一方面帮助学生明确用字母表示数是可以进行计算的，渗透符号意识；另一方面，也帮助学生明确我们在选择字母表达式时要讲究方法。）（3）学生独立动笔计算（4）小组交流计算过程（5）全班汇报交流×r××16=πr2（6）小结探究结论圆的面积果然是半径平方的三倍多一些，而且这个三倍多一些就是圆周率的三倍多一些。3．阅读课本，明结论（1）数学课本上验证圆的面积计算公式跟同学们思考的方法既有相同之处，又有不少区别，大家想去看看吗？学生阅读课本。（2）谁来说一说，相同的地方是什么？不同的地方又是什么？课本也是把圆细分成三角形，但不同的是，课本上是把这些三角形剪拼成了近似的长方形，通过计算长方形的面积得出圆的面积计算公式。（3）在课本中，拼成的长方形的长与宽和圆有什么关系呢？长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。（4）看来，圆的面积既可以转化成三角形来计算，也可以转化成长方形或平行四边形计算。但不管怎么转化，最后得出的结论都是：S=πr2。（设计意图：通过阅读课本，探讨课本方法与学生所用方法之间的联系，既能帮助学生加深对圆的面积计算公式的理解，又能使学生感悟到数学研究方法的多样性。）（三）运用结论，解决问题1．出示问题圆的面积计算公式有什么用呢？我们一起来看看现实生活中的一个问题。出示例题：圆形花坛的直径是20米，它的面积是多少平方米？2．解决问题学生尝试计算，全班交流算法。在交流算法的过程中说一说计算的时候要注意什么。（设计意图：得出结论之后马上运用结论解决现实生活中的问题，既巩固了圆的面积计算公式，也让学生体验到了数学知识的应用价值。）三、发展练习，巩固新知1．填表半径直径面积4厘米20米2．公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10米，它能喷灌的面积是多少平方米？3．已知正方形的面积是10平方米，圆的面积是多少平方米？（设计意图：三道练习，三个层次。第1道练习是基础练习，帮助学生熟练运用公式正确计算圆的面积；第2道练习是应用练习，帮助学生理解如何在现实情境中运用圆的面积公式解决问题；第3道练习是提升练习，帮助学生运用本节课的发现“圆的面积是半径平方（小正方形）的π倍”直接求圆的面积，不必再知道圆的半径，带给学生一个小小的惊喜。）四、全课总结，升华认识说一说，今天的学习过程你觉得最开心的事情是什么？最惊奇的事情又是什么？你还有哪些感想？（设计意图：数学学习是一个不断发现，不断惊喜的过程，本环节的意图是帮助学生体验发现的快乐，放大学习的快乐，培养学生