九年级数学同步培优竞赛详附答案 03第三讲 充满活力的韦达定理

22B．或2C．D．明师讲义22B．或2C．D．一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世法国最杰出的数学家韦达发现．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活，它与代数几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】

已知、是方程的两个实数根，则代数式

的值为．思点所代数式为、的对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化(例【例2】如果a、b都质数，且a

a

b，么

baab

的值为)A．

1231251252222

或2思点可将两个等式相减

b

的关系两等式结构相同a

为方程x0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x

、x

的对称式，这类问题可通过变形用x

+x、x21

表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：第1页（共6页）

22122(1)恰当组合；22122(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】已知于

的方程：x

(1)求证：无论m取么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根

、x2

满足，m的及相应的x2

、2

．思点于2)，先判定、x的符号特征，并从分类讨论入手．2【例4】设

、

是方程xm的两个实数根，当m为值时，12

有最小?并求出这个最小值．思路拨利用根与系数关系把待求式用m的数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下eq\o\ac(△,()0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定解题时，须满足判eq\o\ac(△,式)≥0这条件，转化是一种重要的学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】已知：四边形ABCD中AB∥CD且ABCD的长是关于x

的方程m)0的个2根．(1)当m＝和m>2时四边形ABCD分是哪种四边?并说明理由．第2页（共6页）

222B．(2)若M分是AD的点MN分交AC于点P1AB<CDAB的．(2003年哈尔滨市中考)222B．思点

对于(2)，易建立含AC、BD及m的系式，要求出m值，需运用与中点相关知识找寻CD、AB的一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题“形”向“数”方)转化，既要注意通根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学训1(1)已知x

和

为一元二次方程2xm0的个根，并x

和x

满足不等式

x2

，则实数

取值范围是．已知关是．

的一元二次方程有两个负数根，那么实数

的取值范围2．已知、是程的两个实数根，则代数式

3

2

2

2

的值为．3．CD是eq\o\ac(△,Rt)ABC斜边上的高线，AD、BD是方xx的根，的面积是．4．设

、

是关于

的方程x的两根，

+1、x

+1是于

的方程p的两根，则、q的分别等()A．，B．，C．，-3．-1，5．在Rt△ABC中，∠C＝°、、c分是∠、∠、∠的边，a、是关的方程x

的根，那么AB边上中长是)A．

3522

C．D．第3页（共6页）

D．222C．D．3D．222C．D．36．方程

有两个正整数根x

、x

，则

(x2

的值是)11A．B．C．27．若关于x的元二次程的两个实数根满足关系式：()是正确?8．已知关于的程x(2kx．是为何值时，此方程有实数根；(1)当

x(x(x222

，判断(2)若此方程的两个实数根

、

满足：x，21

的值．9．已知方程两根均为正整数，且p

，那么个方程两根为．10．已知、是程0两个根，则值．11．△ABC的一长为5，另两长恰为方程2x2x的根，则的取范围是．12．两个质数a、恰是整系数方程的个根，则

的值是)A．9413．

94139413999713．设方程有一个正根，个负根x，以、x为根的一元二次方程为()22A．x

0

B．x

C．x

D．114．如方程xxx)的根可以作为个三角形的三边之长，那么实数m的值范围是()A．≤≤B．≥

C．4

D．

≤≤15．如图，在矩形ABCD中对线AC的为10且ABBC(AB>BC)的是关于的程的两个根．(1)求rn的；（若E是上的点CF⊥DE于，求BE为值时eq\o\ac(△,，)的积eq\o\ac(△,是)CED的积的，说明理由．第4页（共6页）

2212221216m是小于

的实数得关于的程工

x

有个不相等的实数根

、x

．(1)若x1

，求m的值．mxmx(2)求1

22

的最大值．17．如图，已知在ABC中∠ACB=90°过CCDAB于D且AD＝，BD=n，AC：＝：；又关于x的程

xn