九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数

CD11明师讲义CD11【题解【例1】已在△ABC中，∠、B锐角，且sinA＝则=．eq\o\ac(△,S)

，tanB=2，AB=29cm，思点

过C作CD⊥AB于D，这样由三函数定义得到线段的比sinA=

CDAC

，tanB=2，BDCD=5m，AC＝13m，CD＝2n，＝，解题的关键是求出m、的．注：设△中，、、为A∠、∠的对边R为△外接的半径，不难证明：与锐三角函数相关的几个重要结论：(1)

eq\o\ac(△,S)

=

sinAacsinC；22（）

RsinBsin

．【例2】如图，在△ABC中．∠ACB90°，ABC15，C=1，AC=()A．

B．3

C．0.3D．3思点由15构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．第1页（共6页）

12明师讲义12注）求已)非特角三角函值的关是构造出含特殊角直角三角形．（）求(已知)锐角角函数值常据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如，已知ABC是腰直角三角形，ACB90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连，求∠的．思点作线把∠变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线的比．【例4】如图，在△ABC中，AD是边上高tanB=cos∠DAC，(1)求证：＝；(2)若sinC=，BC=12，AD的．13思点(1)三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2)sinC=

AD

，引入参数可设AD=12

，C＝13

．【例5】已：在eq\o\ac(△,Rt)中∠C=90，sinAsinB是方程px的个根．(1)求实数p、应足条件；(2)若p、满(1)条件，方程x的个根是否等于eq\o\ac(△,Rt)ABC中两锐角A、的正弦思点由韦达定理、三角函数关系建立p式，注意判别式、三角函数值的界性，建立严密约第2页（共6页）

22B．D．22B．D．束条件的不等式，才能准确求出实数

、

明师讲义应满足的条件．学训1．已知为锐角，下列结论sin+cosα=l②如α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα>

，那么α<60；④α

sin

．确有．2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥于，BC=1cosB

，则这个菱形的面积为．3．如图，∠°∠°，ABBD，利用此图可求得°．4．化简(1)

tan

tan63

=．(2)sinl°+sin2°+…+sin88°+sin89°．5．身高相等的三名同学甲、乙丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下假风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝(A．甲的最高B．丙的最高．乙的最低．丙的最低6．已知sinαcos=，且0°<α<45则coα-sinα的值(A．

322

C．

33447．如图，在△ABC中，∠＝°，ABC30，的中，则∠DBC的值是()第3页（共6页）

3D．明师讲义3D．A．3B．23．D．28．如图，在等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC中C90°ACD是AC上点若∠DBA=，AD的(A．2

B．C．1．29．已知关于的程x

的两根恰是某直角三角两锐角正弦，求m的．10．如图，D是ABC的边AC上一点CD=2AD，AEBC于E若BD＝，sin∠CBD=

34

，求AE的长11．若0°α<45，且αconα

7

，则sinα=．12．知关于x的方程x2

2(1

有两个不相等的实数根，α为角，那么的值范围是．13．已知是△ABC的三，、、c足等式)4()

，且有5ac，则sinA+sinB+sinC的值为．14．设为锐角，且满足sinα=3cosα，则αcos等于A．

16

B．

C．

2915．如图，若两条宽度为1的子相交成30的角，则重叠部分图阴影部分)的面积是()A．2B．

32

C．D．

1216．如图，在中∠＝°tanB=

32

，23，AB的是)A．3

B．23

C．D．

9217．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5，若关于x的方程(5)(5)

有两个相等的实根，又方程2x)sin的实根的平方和为6，求△ABC的面．18．如图，已知，ABC＝90，∠CBD°=30，求AC的．第4页（共6页）

n明师讲义n19．设abc是直三角形的三边c为边n为正数，试判断与c论．

的关系，并证明你结20．如图，已知边长为2的正角形ABC直线l

滚动．(1)当△ABC滚动周到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC位置此时点所动的路程为约为(精确到π=3.14)(2)设△ABC滚动°