第6章空间解析几何6.2向量代数

01三月20231§6.2

向量代数

第六章五、两个向量的数量积和方向余弦一、向量的概念二、向量的运算三、向量的坐标四、向量在轴上的投影六、两个向量的向量积七、两个向量的混合积*01三月20232一、向量的概念(ConceptofVector)表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量.零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,注意：零向量的方向可以是任意的。或a.01三月20233若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;规定:零向量与任何向量平行

;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;记作01三月20234设有两非零向量任取空间一点O,称φ=∠AOB(0≤

φ

≤)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.记作向量的夹角01三月20235二、向量的运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.（Vector’sOperation）01三月2023601三月20237三角不等式向量的减法01三月20238λ是一个数,规定:可见

λ与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律2.向量与数量的乘积因此01三月20239设

a

为非零向量,则(λ

为唯一实数)证:“”.,取λ＝±且再证数λ

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与λ

a

同向,设又有b＝

a,定理101三月202310“”则例1

设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝λ

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b（自学课本例2）01三月2023111.起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)r=OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.简记为r=(x,y,z),此称为向量r=OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN以分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.三、向量的坐标01三月2023122.起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2-OM1即a=(x2

-x1

,y2

-y1,z2

-z1)为向量a的坐标表示式记ax=x2

-x1

,ay=y2

-y1,az=z2

-z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2ao（2）01三月2023133.运算性质设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且λ为常数(1)a+b=(ax+

bx,ay+

by,az+bz)(2)λa=(λax,λay,λaz)证明:(1)a+b=(axi

+

ayj+

azk)+(bxi

+

byj+

bzk)=(axi

+bxi

)+(ayj+byj)+(azk+

bzk)=(ax+bx)

i

+(ay+by)j+(az+

bz)

k01三月2023144.两向量平行的充要条件.设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且λ为常数

b

//a

b

=λ

a

即bx

=λax,by

=λay,bz

=λaz,于是

b//a注:

在(3)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.已知(3)01三月202315求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例2.01三月202316例3:

设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)为已知两点,点M位于AB直线上,且分有向线段AB为两个有向线段AM和MB,使它们的值的比等于数λ(λ不等于-1).求分点M的坐标.zxyoABM而AM=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)MB=(x2-x

,y2-y

,z2-z)故有解之得M的坐标为:解:

设M点的坐标为(x,y,z)

由AM=λ

MB01三月202317定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:说明:01三月202318四、向量在轴上的投影(Projection).空间一点在轴上的投影:设，则数称为向量在轴上的投影，记作或

.则设或记作过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影.01三月202319性质1（即）,其中为向量与轴的夹角;.(投影定理)01三月202320性质2（即）;BBAAuCC性质3（即）.

推论:(为某一实数)01三月202321例4

设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且,求OA在OM方向上的投影Prj

。解记有于是Prj

01三月202322五、两向量的数量积和方向余弦沿与力夹角为的直线移动,1.两个向量的数量积的定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(内积).引例设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为01三月202323记作故2.数量积的性质为两个非零向量,则有01三月2023243.数量积的坐标表示式和运算规律设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则由向量的减法和三角形的余弦定理可知因此即数量积的坐标表示式01三月202325(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;由数量积的坐标表示式可以推出下面的运算规律01三月202326当为非零向量时,由于两向量夹角的余弦的坐标表示

,得向量关系01三月202327解01三月202328(1)方向角:向量a与x,y,z轴正向夹角,,,称为a的方向角.(2)方向余弦:方向角的余弦

cos,cos,cos,称为方向余弦.(3)向量的模与方向余弦的坐标表达式故有

ax=|a|cos

ay=|a|cosaz=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az)4.向量的方向余弦01三月202329得：(4)(5)01三月202330由(5)式可得cos2

+cos2

+cos2

=1(6)=(cos

,cos

,cos

)(7)设

是与同向的单位向量01三月202331和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例6.已知两点01三月202332解:

已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹例7.设点A

位于第一卦限,01三月202333六、两向量的向量积引例设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则力矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的01三月202334定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积

,称引例中的力矩1.向量积的定义01三月202335为非零向量,则∥∥3.向量积的运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:2.向量积的性质(1)反交换律01三月202336设则4.向量积的坐标表示01三月202337主对角线副对角线补充:二阶行列式的定义行标列标主对角线元素之积减去副对角线元素之积01三月202338根据定义算一算主对角线元素之积减去副对角线元素之积01三月202339三阶行列式的计算对角线法则以上方法只适用于二阶与三阶行列式.互换行列式的两行（列），行列式只改变符号。性质01三月20234001三月202341向量积的行列式计算法01三月202342解:记01三月202343补充01三月202344证明:由三角形面积公式因（注意与课本证法不一样）01三月202345角形ABC

的面积。

解:

如图所示,求三例10.已知三点01三月202346已知三向量称数量混合积

.记作七、向量的混合积*1.向量的混合积的定义设2.混合积的坐标表示式01三月20234701三月202348(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)混合积性质：01三月2023493、向量的混合积的几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其01三月202350当时，，即符合当时，，即符合右手系时，左手系时，

注：混合积表示以为棱的平行六面体的有向体积.01三月202351例14.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.(略)解:

已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故01三月202352例15.证明四点共面.解:

因故A,B,