量子力学第4讲一维问题

1量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第四讲一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理方势垒的反射与透射一维谐振子2第四讲目录一、能量本征方程回顾二、一维无限深方势阱中的能量本征态三、态叠加原理四、方势垒的反射与透射五、一维谐振子六、再论态叠加原理3一、能量本征方程回顾(1)薛定谔方程:若不显含，则有其中，满足的方程为：能量本征方程，称为能量本征函数，称为能量本征值4一、能量本征方程回顾(2)是我们后面讨论大多数问题的理论基础。通常将略去中的下标，这样能量本征方程为5二、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)1、一维无限深方势阱的势函数：在区域内，能量本征方程写为：在区域内，势能为，因此不可能在这些区域内出现，换句话说，粒子在这些区域内出现的概率为零，即，根据波函数三个标准条件中的连续性，有：边界条件和6二、一维无限深方势阱中的能量本征态(2)将边界条件带入通解得到：以及因此能量本征函数为：由和得到：这说明：一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。

称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。

7二、一维无限深方势阱中的能量本征态(3)波函数的归一化根据波函数的统计诠释,要求波函数必须归一化，即：归一化波函数为：8二、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)结果物理意义的讨论：1、最低能量(思考：为什么

不能为零？)

对于经典粒子，可以有2、坐标不确定度：根据不确定度关系即：一维无限深方势阱中的粒子动量也是不能完全确定的。9二、一维无限深方势阱中的能量本征态(5)3、波函数的节点，即波函数为零的点。在内，有个节点，在这些节点上说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。思考：若，会出现什么情况？10二、一维无限深方势阱中的能量本征态(6)4、束缚态对一维无限深方势阱：即:这说明粒子被束缚在势阱内部。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的，例11二、一维无限深方势阱中的能量本征态(7)一个问题对一维无限深方势阱：根据量子力学假设之一：波函数完全描述粒子的状态。但是在阱内有无穷多个波函数，那么粒子究竟处在哪个状态呢？态叠加原理12三、态叠加原理(1)一维无限深势阱中，粒子在中可能的态和能量为态叠加原理一般情况下，粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即13三、态叠加原理(2)一维无限深势阱中，粒子的状态为表示在中发现粒子处于态，具有能量的概率。

经典物理：粒子只能处于某一确定的态，但在量子力学中，粒子是以一定概率处于某个可能的态，概率为展开式系数的模方。为波函数统计诠释的自然结论。14三、态叠加原理(3)4、将体系的状态波函数用算符的本征函数展开，其中：则在体系态中测量力学量得到结果为的概率为，得到结果范围内的概率是。量子力学基本假设之四广义的结论：任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备态分解。15四、方势垒的反射与透射(1)经典粒子量子粒子越过势垒绝对不可能越过势垒，换句话说：越过势垒的概率为零！求解能量本征方程：16四、方势垒的反射与透射(2)能量本征方程：方程的解为：粒子流密度：反射系数，透射系数17四、方势垒的反射与透射(3)能量本征方程：方程的解为：根据波函数的标准条件之一：连续性18四、方势垒的反射与透射(4)入射波反射波透射波求解线性方程组有：有关系：粒子的势垒贯穿19四、方势垒的反射与透射(5)电子的势垒贯穿当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观。扫描隧道显微镜（STM）

观察和定位单个原子

20五、一维谐振子(1)

简谐运动：体系在平衡位置附近的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例：双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程21五、一维谐振子(2)渐进解：当时，有其解因为简谐运动是体系在平衡位置附近的微小振动，所以无穷远处波函数为零(束缚态)，即：。方程(1)的解可表示为：带入方程(1)22五、一维谐振子(3)得到关于的方程：利用常微分方程的幂级数解法，有：当时，要求，可以证明，只有当时，才有可能，此时(2)式的解为厄密多项式，即：方程(1)的解为：23五、一维谐振子(4)能量本征值：根据和有：讨论：1)能级是量子化的，且均匀分布；

2)相邻能级差相同：

3)基态能量；称为零点能；（Casimir效应）

4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。24五、一维谐振子(5)能量本征态：根据归一化条件，可得常数即：能量本征态：正交归一化：25五、一维谐振子(6)应用：固体物理中的晶格振动。26六、再论态叠加原理（1）

态叠加原理说，任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备的态来分解，即:例:一维谐振子其中27六、再论态叠加原理（2）事实上，一维无限深方势阱中的粒子的波函数也是正交归一的，即：对于任意波函数，有：完备性28六、再