我的哈工大考研固体物理06章

第六章能带理论I

自由电子模型-----没考虑电子与晶格周期场的作用-------不能体现晶体的基本特性虽然--------说明金属的导电和导热现象但-------不能说明----晶体为什么可以分成导体、半导体、绝缘体等晶格周期场的作用------能带理论推动了现代固体理论的发展，取得了令人瞩目的成就。本章介绍能带的普遍性质、近自由电子近似和紧束缚近似，以及有关的基本概念绝热近似与单电子近似绝热近似:电子运动时，可以认为离子静止在晶格格点位置上，电子是在晶格离子的势场中运动。多电子问题-----每个电子除了受晶格离子的势场作用外，还受其它所有电子的作用。

多电子问题电子有效势

单电子问题（称单电子近似）单电子满足的薛定谔方程为：(6.1)电子有效势=晶格离子势+电子间平均作用势++++a晶格周期场示意图即不同原胞的相应点上电子受到的势场是相同的正格子的晶格平移矢量同时具有晶体点群对称性(6.2)1.绝热近似：假定离子实静止在晶格平衡位置上。晶格具有严格的周期性，晶格振动对电子运动的影响可以当作微扰。2.单电子近似：多电子问题近似地归结为单电子问题，电子仍是相互独立的.

单电子近似中，将电子间的相互作用（平均相互作用势）含在单电子有效场内，与完全忽略电子间相互作用的独立电子近似不同。

建立能带理论的两个近似能带理论=绝热近似下的单电子近似6.1布洛赫定理1928年布洛赫（1952年在核磁共振方面的研究获得诺贝尔奖）提出解释金属导电性的能带理论。

具有晶格平移对称性的单电子哈密顿(6.3)的本征函数可以写成

:(6.4)：实数矢量

(6.5)一、布洛赫定理的证明

引入平移算符，作用在任意函数上时，使

(6.6)哈密顿具有晶格平移对称性

(6.7)(6.8)即H与T是对易的(6.9)

同时平移算符之间也是相互对易的(6.10)

因为都是晶格平移矢量，平移的先后次序不影响最后的结果。

对易，电子波函数可以取为的共同本征函数，即：(6.11)同时

(6.12)

波函数

都是的本征函数，应有：

即：电子密度分布（波函数的绝对值平方）应与晶体的势场具有同样的周期性。（6.13）

同时满足（6-12）和（6-13）的的一般形式为:

倒格子基矢

将（6-14）式代入（6-11）可得:

(6.15)(6.14)

电子波函数平移任一晶格平移矢量R后，只相差一个相位因子，由此可以定义一个新的函数:具有晶格周期性

(6.16)由（6-16）可得一个具有普遍性的结论布洛赫函数布洛赫电子被晶格周期函数调幅的平面波。标志电子状态的量子数在自由电子的波函数中，波矢有明确的物理意义，是自由电子动量的本征值。但Bloch函数不是动量算符的本征函数，不是Bloch电子的动量本征值，起着动量的作用-----电子的准动量。二、波矢的意义

波矢的取值由边界条件决定，取周期性边界条件，要求满足

三、波矢的取值(6-22)将Bloch函数代入上式得：

为棱边的平行六面体的顶角上，所以每个状态代表点在K空间所占的体积为：(6-23)(6-24)(密度，为一个布里渊区的体积）6.2能带及其对称性将代入单电子薛定谔方程(6-25)

波失由(6.23)决定，相邻取值之间相差很小，每个由许多靠得很近的能级组成，称为能带。

能量本征值与有关，对于一个给定的由上式得出无穷多个能量本征值和相应的本征函数

因此晶体中的单电子能谱分为许多能带，每个能带都是的准连续函数。指标n为能带编号，按能量高低顺序排列，相邻