-新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语4充分条件与必要条件学案新人教A版必修第一册

PAGEPAGE6充要条件[课程目标]1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系；2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；3.能对充分条件进行证明．知识点充分、必要条件与充要条件1．充分条件、必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p__⇒__qp__⇒/__q条件关系p是q的__充分条件__，q是p的__必要条件__p不是q的__充分条件__，q不是p的__必要条件__定理关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件；一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件2．充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作__p⇔q__．此时，我们说p是q的__充分必要条件__，简称为__充要条件__．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q__互为充要条件__．[研读](1)“p是q的充分条件”的等价说法有：①“若p，则q”为真；②p⇒q；③q是p的必要条件．(2)“p是q的必要条件”的等价说法：①“若q，则p”为真；②q⇒p；③q是p的充分条件．eq\a\vs4\al(【思辨】)判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(√)(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(√)(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件．(×)(4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件.(×)(5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.则p是q的既不充分又不必要条件．(√)(6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.则p是q的充要条件．(√)【解析】(1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件．(4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件．(5)因为x>0，y>0⇒/xy<0，xy<0⇒/x>0，y>0，所以p是q的既不充分也不必要条件．(6)因为x＝0，y＝0⇒x2＋y2＝0，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2＋y2＝0⇒x＝0，y＝0，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(充分条件、必要条件、充要条件的判断))eq\a\vs4\al(例1)下列各题中，分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A;(4)p：a是自然数；q：a是正数.解：(1)因为两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件.(2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件.(3)因为p⇒q，且q⇒p，所以p是q的充要条件.(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇒/q；又eq\f(1,2)是正数，但eq\f(1,2)不是自然数，故q⇒/p．故p是q的既不充分也不必要条件．[规律方法]充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，然后得结论．(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/小范围．(3)传递法：已知p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn.活学活用下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a>－1；(2)p：1－x<2x－8，q：x－3>2；(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(4)p：x>2，y>2，q：x＋y>4.解：(1)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p⇒/q；反之，取a＝0，则方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．(4)p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．eq\o(\s\up7(),\s\do5(充要条件的证明))eq\a\vs4\al(例2)已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．证明：充分性：因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－ab＋b2))＝0.必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－ab＋b2))＝0，所以a＋b＝1或a2－ab＋b2＝0.又因为a2－ab＋b2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋（a－b）2＋b2))>0，所以a＋b＝1.综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．[规律方法]证明充要条件一般分为两个步骤，即证明充分性和必要性这两个方面．其中充分性就是要证明条件⇒结论，必要性就是证明结论⇒条件．所以在证明之前，一定要先分清楚哪个是条件，那个是结论．活学活用求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0；证明：充分性：ac<0⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0，,x1x2＝\f(c,a)<0))⇒x1x2<0；必要性：ax2＋bx＋c＝0有一正一负根，则x1x2＝eq\f(c,a)<0⇒ac<0.综上可得，ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0.eq\o(\s\up7(),\s\do5(充分与必要条件的应用))eq\a\vs4\al(例3)已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是(C)A．{a|a>4}B．{a|a≤0}C．{a|a≥4}D．{a|a<0}【解析】因为q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q⇒/p，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－3，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a<－3，,1＋a≥1，))解得a≥4.故选C.[规律方法]利用充分、必要条件求参数的思路：根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【迁移探究1】若将本例中“q是p的必要不充分条件”改为“q是p的充分不必要条件”，其他条件不变，则a的取值范围是__a≤0__．【解析】因为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p⇒/q，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≥－3，,1＋a<1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a>－3，,1＋a≤1，))解得a≤0.【迁移探究2】本例中，是否存在实数a，使q是p的充要条件？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．解：若q是p的充要条件，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝－3，,1＋a＝1，))方程组无解，所以，不存在实数a，使q是p的充要条件．活学活用1．已知P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈Q是x∈P的充分条件，求实数a的取值范围．解：∵P＝{x|x<－1，或x>3}，Q＝{x|(x＋1)·(x＋a)>0}，由x∈Q是x∈P的充分条件⇔Q⊆P⇔－a≥3⇔a≤－3.2．已知P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．解：P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>3))⇒∁RP＝{x|－1≤x≤3}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|（x＋1）（x＋a）>0))⇒∁RQ＝{x|(x＋1)(x＋a)≤0}．由x∈P是x∈Q的充分条件⇔P⊆Q⇔∁RQ⊆∁RP⇔－3≤a≤1.1．下列四个命题中，真命题是(C)A．两个无理数的和还是无理数B．若a2＝b2，则a＝bC．正方形的四边相等D．菱形的对角线相等【解析】两个无理数的和不一定是无理数，如(1－eq\r(2))＋eq\r(2)＝1；若a2＝b2，则a＝±b；正方形的四边相等；菱形的对角线互相垂直．2．若a，b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由a＞b＞0可推出a2＞b2；但由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．3．p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形．故选D.4．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(A)A．x>1B．x<1C．x>3D．x<3【解析】x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.故选A.5．A，B是两个非空集合，由A⊆B可以推得的结论是__②⑤__．(填序号)①A＝B；②A∩B＝A；③A∩B＝B；④A∪B＝A；⑤(A∪B)⊇(A∩B).【解析】由Venn图知②⑤正确．6．求证：方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条件是c＝