-新教材高中数学午间半小时九练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE3午间半小时(九)(30分钟50分)一、单选题1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量的模为()A．eq\r(5)B．－eq\r(5)C．1D．－1【解析】选C.向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量的模为eq\f(|a·b|,|b|)＝1.2．a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·bA．23B．57C．63D．83【解析】选D.因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sinθ等于()A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3\r(10),10)D．eq\f(4,5)【解析】选A.设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x，1＋3y)＝(5，4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3x＝5，,1＋3y＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即b＝(1，1)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(10))，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(10),10).4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2，1)B．(1，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))D．(0，－1)【解析】选A.设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，因为(c－a)∥b，所以eq\f(x－1,1)＝eq\f(y＋1,2)，即2x－y－3＝0.由解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以c＝(2，1).5．如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))【解析】选A.根据题意可设B(cosθ，sinθ)(0＜θ＜π)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ).由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0得sinθ＋cosθ＝0，tanθ＝－1，所以θ＝eq\f(3π,4)，coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)).6．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为()A．3 B．5 C．7 D．8【解析】选B.如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5，3a－4x)，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(25＋（3a－4x）2)≥5.二、多选题7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值不能是()A．－1B．－6C．－12D．1【解析】选AD.由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即eq\f(1,λ)≠eq\f(－1,1)，所以λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.三、填空题8．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上存在一点P使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，则点P的坐标是________.【解析】设点P的坐标是(x，0)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，－2)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－4，－1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值，故点P的坐标为(3，0).答案：(3，0)9．已知四边形ABCD为矩形，且A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).则点C的坐标为________；矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值为________．【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).设C点坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))所以C点坐标为(0，5).因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16＞0，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).设eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))夹角为θ，则cosθ