-新教材高中数学午间半小时二十一练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE4午间半小时(二十一)(30分钟50分)一、单选题1．若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，那么△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解析】选B.由题设可得b2＋c2－a2＝bc⇒cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)⇒A＝eq\f(π,3)，由题设可得a＝2bcosC⇒a＝2beq\f(a2＋b2－c2,2ab)⇒b2－c2＝0⇒b＝c，即该三角形是等边三角形．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(3),4)B．eq\f(3,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(3,4)【解析】选D.由a2＋b2－c2＝ab得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，即cosC＝eq\f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝60°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absin60°＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4).3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosC＝2a＋c，若b＝3，则△ABC的外接圆面积为()A．eq\f(π,48)B．eq\f(π,12)C．12πD．3π【解析】选D.由题得2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝2a＋c，所以a2＋b2－c2＝2a2＋ac，所以a2－b2＋c2＝－ac，所以2accosB＝－ac，所以cosB＝－eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(2π,3).由正弦定理得eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2R，所以R＝eq\r(3)，所以△ABC的外接圆面积为π·(eq\r(3))2＝3π.4．已知△ABC的周长等于20，面积等于10eq\r(3)，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，∠A＝60°，则a为()A．5B．6C．7D．8【解析】选C.由题意可得a＋b＋c＝20，即b＋c＝20－a，因为S＝eq\f(1,2)bcsin60°＝10eq\r(3)，得bc＝40，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120，解得a＝7.5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，3c2＝16S＋3(b2－a2)，则tanB＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,4)【解析】选D.由3c2＝16S＋3(b2－a2)，则3c2＋3a2－3b2＝16S，即3×2accosB＝16×eq\f(1,2)acsinB，所以3cosB＝4sinB，且cosB≠0，所以tanB＝eq\f(3,4).6．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，9a2＋9b2＝19c2，则eq\f(tanAtanB,tanC（tanA＋tanB）)＝()A．eq\f(4,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(7,9)【解析】选B.因为9a2＋9b2＝19c2，可得a2＋b2＝eq\f(19,9)c2，又由余弦定理可得a2＋b2－2abcosC＝c2，所以eq\f(19,9)c2＝c2＋2abcosC，可得eq\f(c2,ab)＝eq\f(9cosC,5)所以eq\f(tanAtanB,tanC（tanA＋tanB）)＝eq\f(sinAsinB,tanC（sinAcosB＋cosAsinB）)＝eq\f(sinAsinB,tanCsin（A＋B）)＝eq\f(sinAsinB,tanCsinC)＝eq\f(sinAsinBcosC,sin2C)＝eq\f(abcosC,c2)＝eq\f(cosC,\f(c2,ab))＝eq\f(cosC,\f(9cosC,5))＝eq\f(5,9).二、多选题7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，eq\r(3)a＝2csinA，且0<C<eq\f(π,2)，b＝4，则以下说法正确的是()A．C＝eq\f(π,3)B．若c＝eq\f(7,2)，则cosB＝eq\f(1,7)C．若sinA＝2cosBsinC，则△ABC是等边三角形D．若△ABC的面积是2eq\r(3)，则该三角形外接圆半径为4【解析】选AC.由正弦定理可将条件eq\r(3)a＝2csinA转化为eq\r(3)sinA＝2sinCsinA，因为sinA≠0，故sinC＝eq\f(\r(3),2)，因为C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则C＝eq\f(π,3)，故A正确；若c＝eq\f(7,2)，则由正弦定理可知eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(b,c)sinC＝eq\f(4,\f(7,2))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),7)，因为B∈(0，π)，则cosB＝±eq\r(1－sin2B)＝±eq\r(1－\f(48,49))＝±eq\f(1,7)，故B错误；若sinA＝2cosBsinC，根据正弦定理可得a＝2ccosB，又因为eq\r(3)a＝2csinA，即a＝eq\f(2\r(3),3)csinA，即有eq\f(2\r(3),3)csinA＝2ccosB，所以sinA＝eq\r(3)cosB，因为A＋B＝π－C＝eq\f(2π,3)，则A＝eq\f(2π,3)－B，故sin(eq\f(2π,3)－B)＝eq\r(3)cosB，整理得eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝eq\r(3)cosB，即eq\f(1,2)sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB，解得tanB＝eq\r(3)，故B＝eq\f(π,3)，则A＝eq\f(π,3)，即A＝B＝C＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等边三角形，故C正确；若△ABC的面积是2eq\r(3)，即eq\f(1,2)absinC＝2eq\r(3)，解得a＝2，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4×eq\f(1,2)＝12，即c＝2eq\r(3)，设三角形的外接圆半径是R，由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，则该三角形外接圆半径为2，故D错误．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有()A．若A>B，则sinA>sinBB．若sin2A＝sin2B，则△ABC可能为等腰三角形或直角三角形C．若acosB－bcosA＝c，则△ABC定为直角三角形D．若B＝eq\f(π,3)，a＝2且该三角形有两解，则b的取值范围是(eq\r(3)，2)【解析】选ABCD.对于A选项，由正弦定理得A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A选项正确．对于B选项，由于sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，由于A，B是三角形的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确．对于C选项，由acosB－bcosA＝c以及正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinBcosA＝0，由于sinB>0，所以cosA＝0，所以A＝eq\f(π,2)，故△ABC定为直角三角形．故C选项正确．对于D选项，B＝eq\f(π,3)，a＝2，且该三角形有两解，所以asinB<b<a，即2sineq\f(π,3)<b<2，也即eq\r(3)<b<2，故D选项正确．三、填空题9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为________.【解析】由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，可得：2bccosA＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－1，又因为S＝eq\f(1,2)bcsinA，可得4S＝2bcsinA，由4S＝b2＋c2－1，可得2bccosA＝2bcsinA，可得tanA＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4)，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝2R，因为a＝1，A＝eq\f(π,4)，可得R＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)10．在锐角三角形ABC中，A＝B，则eq\f(AB,AC)的取值范围是________.【解析】锐角△ABC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<B<\f(π,2),0<C<\f(π,2)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<B<\f(π,2),0<π－2B<\f(π,2))))，所以eq\f(π,4)<B<eq\f(π,2).在△ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，可得eq\f(AB,AC)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a