勾股定理典型例题归类总结

在中，勾股定理型例题归类结在中，题一直考勾定例１在，C90⑴已知．求的⑵知AB，AC，的跟踪练习：ABC

（1）若则;（2）若则.（3）若∠°，则AB=，.在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠C=90°，∠A∠，∠C分别对的边为a，c，则下列结论正确的()A

B

C、

、一直三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别()A2、4B、6、、6、、10D、3、、等直三角形的直角边为2则斜边的长为（）A

B

C、D、2已等三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（）A

B

C、、已直三角形的两边为和，第三边的长_如，∠ABD=90°，AC=2BC=1，，BD=___________.已△ABC中，BD是AC边上的高线CD=2那么BD等（）A4B、6C、8D、已eq\o\ac(△,Rt)ABC的长为

，其中斜边

，求这个三角形的面积。10.如把股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推(1)如图，以ABC的边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、、之有1何关系？并说明理由。（2）如图，以eq\o\ac(△,Rt)ABC的边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积

S

1

、

S

2

、

S

之间有何关系？（3如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折0°请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙

题二利勾定测长例如果梯子的底端离建筑物9米那么15米的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：如（8池离岸边D点米C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰落到D点并求水池的深度AC.一建物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米消车的云最大升长为13米则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）AB、C、米D15米如，两颗树，一颗高10米另一颗高，两树相距米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A8米、10C、题三勾定和定并—

D、米例如3正方形ABCD中，是BC边上中点F是AB上一点，且

FB

那eq\o\ac(△,么)是角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：

如，正方形中，E为BC边中F点CD上一点，且DF=3CF求证：∠AEF=90°题四利勾定求段度例如图4知长方形ABCD中在边上取一E将△折使点D好落在BC边上的点，求CE的跟踪练习：如，一个有角的三角板顶点C放一张宽为3cm的带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，求三角板的最大边AB的长.如，ABC中AB=BC，ABC=90°，D为AC的点，DEDF交AB于，BC于F）求证：BE=CF;2）若，CF=1求EF的如，CA=CB,CD=CE,ACB=为AB边的一点若，，CD的长

2222题五利勾定逆理断直—例有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米学生，要走到离门多的地方灯刚好打开？跟踪练习：如，个小正方形的边长都是1ABC的个顶点分别在正方形网格的格点上，试判ABC的状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;2）

的值下各数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A9，12、7,24,25、在△ABC中列法①∠C-A

D、，，③∠∠∠C=3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△为直角三角形的条件有（）A2个B个、D、个在△ABC中，A、B的对边分别是ab判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26，（2）a=5b=7，c=9;（）a=2，

，A2个、、个D、个已△ABC的边长为、b、c，且满足，此时三角形一定是（）A等腰三角形B直角三形C等腰直角三角形

D、角角形在△ABC中，若n，b=2nc=n，△是）

A锐角三角形B钝角三角形

C、腰三角形

D、直角三角形如，方形网格中的ABC是）A直角三角形B锐角三角形C、钝角三形D锐角三角形或钝角三角形已在ABC，AB∠的边分别是a、，列说法中，误的是（）A如果C-∠∠A,那∠C=90°B如果∠C=90°那么C、果a+b）=，么A=90°D、果A=30°，那么AC=2BC已△ABC的边分别为ab，且ab=1，并说明理由

，求

的值，试判ABC形状，10.观下列各式：，

，，

……，根据其中规律，写出下一个式子_11.已知，m＞n、n正整数，以，2mn为的三角形是__角形12.一直角三角形的三分别为n-1其n+1是最大边为多少时三角形为直角三角形？题六旋问：例题如图是边三角形ABC内一点PA=2,PB=3,PC=4,求△ABC的长.跟踪练习如图，△ABC为腰直角三角形，∠°E、是上点，且∠°，试探究BE

、CF

2、

2

间的关系，并说明理.题七关翻问例题如，矩形纸片的AB=10cm，E为BC上点，将矩形纸片沿AE折，点B

恰好落在CD上的点G处求BE的.跟踪练习如，是△ABC的线，∠°把ADC沿线AD翻折，点C落点BC=4,求’的长(一)折直角三角形如ABC中A90°为上点折ABC点A恰好落在上的

A

'

处，，，求BD的长。如，eq\o\ac(△,Rt)ABC中．ABC叠使C与A重合，折痕为DE，求BE的．（二）折叠长方形如，方形ABCD中BC=5F为CD上点，将长方形沿折痕AF折，点D恰落在BC

上的点E，求长。如，长方形中，，EF折，使点D与点B合，点与C'重合（）求DE长;（）求折痕EF的长（常）如图，将长方形纸片折叠，使边CD落对角线AC上折痕为，且D点在对角线D处．若AB=3，AD=4，则长为（）如长方形ABCDAD=8沿BD折使A到A处交BC于点.（求（2）求证：CA∥（3）求△的积如，正方形中点E在CD，将ADE沿AE对至AFE延长边BC于点G,G

为BC的中点，连结AG、CF.（1）求证AG∥（）

的值题八关勾定在际的用例1如图，公路和路PQ在P点交汇，点A处有一所中学AP=160米点A到路MN的离为80米假使拖拉机行驶时周围米内会受到噪音影响么拖拉机在公路MN上方行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是千/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为米宽1.5米卡要通过一个直径为5米半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：某气象台测得一热带风暴中心从城正西方向处以每小时的速度向北偏东°方向移动，距风暴中心的围内为受影响区。试问A城否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。一装货物的卡,其外形高2.5米宽米要开进厂门形状如下图的某工问这辆卡车能否过该工

厂的厂门有个长为的方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）如上A两相距25km为村庄⊥AB于A⊥ABBDA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上一个土特产品收购站，使得CD两村到E的距离相等，则站应建在离A站多少km处题九关最性题例、如右图1－，壁虎在一座底半径为米高为4米油的下底边沿A处它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害（取，结果保留1位数可以用计算器计算）例跟练：如为棱长为的方体，把所有面都分为小正方形，其边长都是，设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点表面爬行至右侧面的B点最少要花几秒钟？

AA如，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm，A和B是个台阶的两个相对的端点点上有一只蚂蚁想点去吃可口的食请你想一想这蚂蚁从A点发，沿着台阶面爬到点，最短线路是多少？

3一长体盒子的长、宽、高分别为，，12cm,只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？BA如将根13.5厘长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘、3米和厘的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？

？？

题十勾定与殊（一）直接用30或°直角三角形如，ABC中，C=90°∠=30°，是ABC的平分线，若AC=23，AD的。

如，ABC中，ACB=，是ABC的平分线C⊥于，∠A=30°，，求AB的长。如，ABC中A⊥BC于DB=，∠,C=，，BD的长。（二）作垂构造30或°的直角三角形（1）将105转化为°和°如，ABC中，B=，∠A=105，AC=2求BC的。2.如，在四边形ABCD中∠∠C=，ADB=,⑴AD=2,求的；⑵若AB+CD=23+2，求AB的长A

（）75转化为°和45°如，在ABC中∠B=，∠°AB=，BC长。

题十：用股理方（一）直接用勾股定理列方程如，在ABC中∠C=90°，AD平∠交CB于D，，求的长。如，在ABC中AD⊥于D，∠CAD=2∠BAD,若BD=3，求AB的长。(二)巧用“连环勾”列方程如，在ABC中，，求S

如，在ABC中∠ACB=，D⊥AB于D，，BC=4，求AD的长。如，ABC中∠ACB=90°CD⊥于D，，BD=4求AC的

如，ABC，ACB=90°，⊥AB于D，，AD的长题十：股理分讨（）锐角钝不时分讨在ABC，，的在ABC中AB=15AC=13AD为ABC的高，且，eq\o\ac(△,求)的积。（二）腰和底不明时需分类讨论如1ABC中ACB=90°，BC=8，点D为线AC上一点，且是腰三角形，求△ABD周.

（三）直角边和斜边不明时需分类讨论已直三角形两边分别为和，则第三边的长为在△ABC中，ACB=90°，BC=2，以AB边向外作等腰直角三角形，求CD的如以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点x轴上，这的等腰三角形能画多少?写出落在x轴的顶点坐.题型十三：

或

问题的证明如1ABC中，，D为的中点，M、分为AC、BC上点，且⊥（1）求证：BD（2）如图2若M、分别在AC的长线上，探究CN、BD之的数量关系式。

已∠，∠，CB=CD.（）如图，若α=β=90°，求证

AC）图2若β=90°，证：

AC）图3若，，证：

AC）图，若α=β=120°，证

AC；题型十四：

问题的证明如AOB=∠COD=90°分为AC的中点ON.求证ON.

已△ABC中AB=AC，∠D为的中点，AE=CF连、（1如图1，若EF分别在ABAC上求证：EF=论是否仍成立？请说明理由．

）图，若、分在AC的长线上则(中的结如，中O为AB的点C为DO延线上一点，，ODB=45°探OD、AC间相等的数量关系．

如，是腰直角eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)∠BAD=90°，∥ADBC=2ABCE平分∠，交AB于，BD于H．求证：（1DC=DA）DH题型十五：勾股定理（逆定理）网格画图如，个小正方形的边长为1，A、B、是小正方形的顶点，则ABC度数为．如，个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三长分别是的三个顶点都在格点上．

，，三角形

如，个小正方形的边长都是，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．在中格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有．如，4个匀个正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这个三角形中，与众不同的是__________中的三角形，图4中长上的高_____________如，方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）画一条线段MN，

）画△ABC三边长分别为，，

。如，正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段的点在格点上．（1）图1中AB为的等腰三角形有个，画出其中的个，并直接写出其底边长．（2图中以AB为边的等腰三角形___________个画出其中的一个并直接写出其底边上的高．题型十六：利用勾股定理逆定理垂直如，ABC中，点D边上一点，且，BD=6，AD=8，，求CD的长

如，四边形ABCD中，B=90°AB=2，CD=5，AD=4求

如