江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

阅卷人

、单选题（共8题；共16分）

得分

1.（2分）二项式（4+2）底的展开式中的常数项是（）

A.第7项B.第8项C.第9项D.第1()项

【答案】C

【解析】【解答】二项式Q+急驾的展开式通项为77+1=式2-X12T•弓）'=/-2r.x124.

412-1r=0.解得r=8.

因此，二项式（％+称的展开式中的常数项是第9项.

故答案为：C.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于0,求出r的值，可得答案.

2.（2分）在四面体OABC中，OA=a，OB=b＞瓦=B点”在04上，且OM=2M4N是8C的中

点，则而=（）

A.1a-|h+|cB'|«+|^-|c

n2f

C.^a+^b—^cD--3a+2b+2C

【答案】D

【解析】【解答】由已知而=赤+丽=赤+；配=赤+/（沆一而）=：石+

所以，MN—ON—OM—(fe+c)—，五=—++

故答案为：D.

【分析】利用空间向量的线性运算可得而V=+再利用加=力_晶可求得结果.

3.（2分）设4n,%分别为等比数列｛*,｛.｝的前71项和.若含=耙（匹b为常数），则符=

（）

【答案】C

【解析】【解答】由题意，供=3

Bn3+b

设4n=(2"+a)m,Bn=(3"+b)zn

76

则。7=A7—A6=[(2+d)—(2+d)]m=64m

-B3=[(34+b)—(33+b)]m—54m

a7_64m_32

"b4~54m—27

故答案为：c

n

【分析】设4=(2“+a)m,Bn=(3+b')m,则a7=87-人6=64m,h4=B4-B3=54m,求解

即可.

4.(2分)《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒

种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺

和4.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这

2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为()

A34「135

A-7BR，7C，21nD，7

【答案】D

【解析】【解答】设这十二节气中第71(71CN*)个节气的日影长为斯尺，

可知数列｛a“｝为等差数列，设其公差为d,

由题后得=10.5,a1。=4.5,6d=—CL^=—6,•1-d=-1.,

an=(14+(n-4)d=10.5—(n—4)=14.5—n.

令即=14.5-n<9,解得n>5.5；令即=14.5-n<5,解得n>9.5.

从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气，所有的基本事件有：(。6,。7)、(。6,。8)、®6,

。9)、(。6，。10)、(。6，all)'(。6，a12)'(。7，。8)'(。7，。9)、(a7>a10)'(a7>all)'(。7，。12)、

(a8,a9)'(a8>a10)'(a8'all)'(a8'a12)'(a9'a10)'99，all)'(a9'a12)'(a10'all)'

(a10,a12)'(all1a12),共21个，

其中，事件”所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺”所包含的基本事件有：(。6,

。10）、（06，。11）、（%'@12）、（07，。10）、（口7，@11）、（口7，。12）、（a8f。10）、（a8f。11）、（a89

。12）、（。9，。10）、（a9f。11）、（a9r@12）、（口10，Qll）、（a10f%2）、（allfa12）f共15个，

因此，所求事件的概率为II=擀.

故答案为：D.

【分析】设这十二节气中第n（nCN*）个节气的日影长为与尺，可知数列｛a“｝为等差数列，根据题意

求得该数列的公差，确定数列｛0J中小于9尺和小于5尺的项，列举出所有的基本事件，利用古典

概型的概率公式可求得所求事件的概率.

5.（2分）“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱

洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲

侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直

于底面，高为5,且底面任意两顶点之间的距离为4,则其表面积为（）

A.32兀-168B.367r-168C.42兀-16百D.48兀-16百

【答案】B

【解析】【解答】由题意形=界4=筝

则三个侧面的面积之和为3x等x5=20兀

如图阴影部分的面积为S短形一SgBC=4x竽'4-46=等一4百

所以底面积为（粤-4V3）x3+4V3=8兀一8V3

所以上下两个底面面积之和为167-16V3

故表面积为167r-16V3+207r=367r-16V3

故答案为：B

【分析】先求出底面的每一段圆弧的长，从而可求出侧面积，再求出底面面积，从而得出答案.

6.（2分）（1）将k个小球随机地投入编号为1,2...,卜+1的卜+1个盒子中（每个盒子容纳的小球

个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为。；（2）将k+1个小球随机地投入编号为1,2…，k+

2的2+2个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记k+2号盒子中小球的个数为％，则

（）

A.E(&)<E(f2)D&)<0«2)

B.E(&)<E<2)>D0)

C.%)>%)D8)<D⑤)

D.E(fi)>E(3)。61)>D&)

【答案】A

【解析】【解答】问题转化为将一个小球投入到k+1个盒子中，投k次，投入1号盒子中小球的次数

为故。〜B(k,AJ)

1k11k2

同理可得：0〜B（k+1，与）

乙rtIZ

1k+111(/c+1)

=+=m,姐=(k+l)W。-

k/c+1

k2/c+17

V0<FFI<FP2,-w<(F+2)2

即E(f])<E&)，D&)〈D0)

故答案为：A

【分析】问题转化为将一个小球投入到k+1个盒子中，投k次，投入1号盒子中小球的次数为。，

符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.

7.（2分）已知球O的半径为2,A,B,C为球面上的三个点，力8=2,点P在AB上运动，若OP

与平面ABC所成角的最大值为生则0到平面ABC的距离为()

R「

A.23t5.V—3j—J21

【答案】A

【解析】【解答】记AABC外接圆圆心为O',贝lj。。'，平面ABC,

故ZOP。，为OP与平面ABC所成的角，

如图，当P移动到AB中点K时，OP的长度最小,

对应正切值最大，OP与平面ABC所成的角最大，

则NOK。'为OP与平面ABC所成的最大角，

根据题意：sin/OK。，=苧，

设。‘K=t，贝I。。'=V3t-OK=2t,

在RtaAOO,与RtzMO'K中，有。4=O'O2+O'A2=O'O2+O'K2+AK2,

即22=(®)?+/+i，求得：…亨，

故O到平面ABC的距离为0。，=Kt=|

故答案为：A.

【分析】作出辅助线，找到NOPO'为OP与平面ABC所成的角，且P移动到AB中点K时，0P的长

度最小，N0K。，为OP与平面ABC所成的最大角，设出边长，列出方程，求出O到平面ABC的距离

8.(2分)已知直线y=kx々＞0)既是函数/(x)=%2+l的图象的切线，同时也是函数g(%)=

缁+lnx(pCR)的图象的切线，则函数g(x)零点个数为()

A.0B.1C.0或1D.1或2

【答案】B

【解析】【解答】设4(/,*+1)是函数/(%)=/+1图象的切点，

则吊=/(尤1)=2/，.♦.天=2(1)

又蜉+1=kx1(2),

将(1)代入(2)消去与整理得：k2=4,：.k=2,

设B(%2，彘等+In久2)是函数g(x)=彩"+Inx的切点，

，丁人2XiJ.

据题意g'3)=G餐+*=2,又居+岫=2*2

故2以—x2+lnx2—1=0,

令九(x)=2x2—x+Inx—1,(x>0),

h(x)=4%—1+>2]4x—1=3>0>

故h(x)=2x2-x+lnx-1,(x>0)在定义域上为增函数，

又九(1)=0,故无2=1'

故g'(i)=1+号=2,

'.p=4,g(x)=+Inx=Inx-[y+4在(0,+8)上是增函数

当％=—时，g0)<0；当x=l时，g⑴=2>0；

由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个与6(宏，1)

函数零点个数是1,

故答案为：B.

【分析】设AQi，/+1)是函数/(%)=/+1图象的切点，则由导数的几何意义可求得k=2,设

B(%2，器+ln%2)是函数g(x)=彩+lnx的切点，同样利用导数的几何意义可求出p=4,然后

,T人2Xi1

根据零点存在性定理可求出答案。

阅卷人

二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.(2分)下列说法中，正确的有()

A.数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的70%分位数是7

B.若事件A,B满足0<P(4),P(F)<=P(A)•[1-P(B)],贝必与8独立

C.若随机变量X〜B(6,1),则。⑶奇

D.已知6个正整数，它们的平均数是5,中位数是4,唯一的众数是3,则这6个数的极差最大

时，方差的值是当

【答案】B,D

【解析】【解答】对于A,数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的70%分位数为学=7.5,所以A

不符合题意，

对于B,若事件A,B满足0<P(4),2(8)<1且「(2月)=「(4)・口一「(8)],则4与否相互独立，所

以2与B独立，所以B符合题意，

对于C,因为随机变量X〜B(6,所以。(X)=6x/x(1所以C不符合题意，

对于D,因为6个正整数极差最大，所以最小的数为I,因为唯一的众数为3,所以3只能出现2

次，若超过2次，则中位数为3,与中位数是4相矛盾，所以前4个数为1,3,3,5,设另两个数

为b,c(5<b<c)，因为平均数为5,所以b+c=18,而要使极差c—l最大，当且仅当c最大，此

时。=6,c=12,所以这6个数为1,3,3,5,6,12,所以这6个数的方差为焉[(1一+2x

(3-5)2+(5-5)2+(6-5)24-(12-5)2]=等所以D符合题意,

故答案为：BD

【分析】对于A,由百分位数的定义求解判断，对于B,由独立事件的根绝率公式判断，对于C,由

二项分布的方差公式求解判断，对于D,根据题意可求出这6个数，然后再求其方差即可.

10.(2分)已知等差数列｛。工的公差不为0,即=1且。2,«4>成等比数列，则()

C.黯普DV

【答案】A,B,D

【解析】【解答】设等差数列｛&J的公差为d(d^O).

因为的=1且a2,a4,ci8成等比数列，所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d>

解得：d=1,所以即=%+(n一l)d=14-(n—1)x1=n.

对于A：贫=貂=2人符合题意；

对于B：因畸企4.=上〉0,所喝喧.B符合题意；

对于C：*=也揣乎=竽。粤C不符合题意；

对于D：因为Sn—斯=吗5一71=吗大，所以当时，Sn—an=吗220,即配2

即.D符合题意.

故答案为：ABD

【分析】先求出通项公式斯=n,再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.

11.(2分)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n

比较大时，可视为X服从正态分布N(〃，a2),其密度函数。(出=1清¥，%©(-8,+

〜八)一42na

8).任意正态分布X〜N(〃，。2),可通过变换Z=号3转化为标准正态分布(〃=0且。=1).当

Z〜N(0,1)时，对任意实数x,记t(x)=P(ZV%),则()

A.t(—x)=1—t(x)

B.当％>0时，P(|Z|V%)=1—2tQ)

c.随机变量X〜N(〃，a2),当〃减小，。增大时，概率P(|X-〃|<a)保持不变

D.随机变量X〜N(〃，a2),当〃，c都增大时，概率P(|X—/<。)单调增大

【答案】A,C

【解析】【解答】对于A,根据正态曲线的对称性可得：t(—x)=P(Z<-x)=P(Z>x)=1-

P(Z<x)=1—t(x),A符合题意；

对于B,当％>0时，P(|Z|<x)=P(-x<Z<x)=1-P(Z<-x)-P(Z>x)=1-2P(Z>x)

=1-2[1-P(Z<x)]=2P(Z<%)-1=2t(x)-1,B不符合题意；

对于C,D,根据正态分布的3。准则，在正态分布中。代表标准差，〃代表均值，

%=〃即为图象的对称轴，根据3。原则可知X数值分布在(〃-o,〃+(r)中的概率为0.6826,是常

数，

故由P(|X-〃|<c)=P(〃一<T<X<〃+c)可知，C符合题意，D不符合题意,

故答案为：AC

【分析】根据=P(Z<-x)=P(Z2x)=1-P(Z<x)=1-t(x),可判断A；

由P(|Z|<x)=P(-x<Z<%)=1-2P(Z>x)=2t(x)-1,判断B；

根据正态分布的3。准则可判断C,D.

12.(2分)甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球

放入乙罐，以A表示事件”由甲罐取出的球是红球“，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙

罐取出的球是红球“，则()

1174

A.P(A)=方B.P(B\A)=^C.P(B)=6D.P(A|B)=?

【答案】A,C,D

【解析】【解答】因为甲罐中有2个红球、2个黑球，所以PG4)=[=a，A符合题意；

因为P⑻=|x[+,x号=否所以C符合题意；

因为PQ4B)另x?=J，P(B)="所以P(A|B)=q^=2,D符合题意；

1

32

-_-

因为P(B|4)P7一3所以B不符合题意;

2-

故答案为：ACD

【分析】根据古典概型求概率公式得到P(A)=会由全概率公式计算P(B)=g，由条件概率计算

BD选项中的概率.

阅卷人

-----------------M、填空题(共4题；共4分)

得分

13.(1分)若函数f(x)=Inx-+ni在(1,/⑴)处的切线过点(0,2)，则实数m=.

【答案】6

【解析】【解答】由题意，函数/Q)=lnx—4+加，可得/(吟=又+飞，

仃x2

可得/(1)=2，且/(l)=m-2,所以笠铝=2,解得rn=6.

故答案为：6.

【分析】根据题意，求出函数/㈤=11^—9+m的导函数/'(%)=：+',将x=l代入求得/'(1)=

2,/(l)=m-2,再根据两点斜率公式即可求得m.

14.(1分)若(X+=劭+%％+a?/+…+42022%2022,则劭+。2+。4…+。2022被4除得的

余数为.

【答案】1

【解析】【解答】由题知，X=—1时，CZ]—。2+。3-'+…+02022=1(1)>

X=1时，即+。2+。3+…+a2022=3之°22②，由①+②得，

。0+。2+。4+--1-a2022=^(32022+1)>

故上(a0+。2++--+-02022)=§(32022+1)=g(91011+1)

11

1011

=g[(8+I)】。】】+1]=2(^0118+盘0118101°+...+Cioio81+cioii+1)

11

=g(CPou81011+/118】。】。+•••+C舐?8】)+4

所以被4除得的余数是1.

故答案为：1.

【分析】分别取％=-1,%=1两式相加可以求得劭+。2+。4+-+。2022=4(32°22+1),进而根

据二项式定理展开，判断被4除得的余数.

15.(1分)3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为.

【答案】||

【解析】【解答】解：依题意基本事件总数为四,

若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有

小混种排法,

若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体4将4个男生全排列，

再将整体4插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有点星所用川种

排法，

故每名女生旁边都有男生的概率P=但浮翅=||

故答案为：||

【分析】由排列数确定基本事件总数，再由（1）女生都不相邻；（2）有两个女生相邻；确定要求事

件包含的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解。

16.（1分）如图所示的木质正四棱锥模型P-4BCD,过点4作一个平面分别交P8,PC,PC于点

E,F,G,若器=|，嚣=｝则舒的值为

【解析】【解答】在正四棱锥尸-ABC。中，连接AC,B。交于。点，连接P0,则P01平面4BCD,

AC1BD

以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

设P(0,0,b),A(a,0,0)，8(0,a,0),£)(0,-a,0)，C(-a,0,0)(a、b>0),则丽=

(0,Q,—b),PC=(—a,0,—b),PD=(0,—Q,—b),PA=(a,0,—b),

.•.朋=|而=(0,醇一第PF=1PC=(-p0,

由题意A,E,F,G四点共面，则有而=%而+y而+z而，其中x+y+z=l,

设同=2而=(0,-aX,-M),Ae(0,1),

/.(a,0,-h)=x(0,等T）+y（T，0,-1)+z(0,-aA,一池)=(一詈，婴

_3bx_by

aXz,-bXz)

52

a

一飞y一-anry=—2

3ax]八3Y

—g--aAz=0-Az=0&

由方程组《，即《5,解得”3,

3bxby,i7善+也=1

——g----■一bAz=­b

%+y+z=1<x+y+z=1

所以舒=4

故答案为：C.

【分析】以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐

标系，设P(0,0,b),A(a,0,0),5(0,a,0),0(0,-a,0),C(-a,0,0)(a、b>0),则

PB=(0,a,-b),PC=(-a,0,-b),PD=(0,-a,-b)，PA=(a,0,一b)，可得而=

|丽=(0,手，一等),==0,-1）.由4,E,F,G四点共面有，设且？=工匠+

yPF+zPG，PG=XPD=(0,-aA,一抽)，求％值即可得答案.

阅卷入

四、解答题（共6题；共65分）

得分

17.(10分)

17

(1)(5分)甯一］。学求C皆+7+1+晤+2+猾+3+Cg4的值（用数字作答）;

QX_QLX

（2）（5分）已知x+r―11n；1试求X，n的值.

f~<X-T1—_-13-Lf->X—.1,

4=可得m!(5-m)!m!(6-m)!_7xm!x(7-m)!

【答案】⑴解:甯10c夕J倚-5!6!——10x7!’

nrjm!(5—m)!m!x(6—m)x(5—m)!__7xm!x(7-m)(6—m)(5—m)!

75!6x5!=10x7x6x5!'

6—m_(7—m)(6—m)

可得1—,整理可得租2—23m+42=0,解得m=2或血=21,

610x6

因为0WmW5,所以m=2,

所以+Cy+CQ+C9+C$o=CQ+CQ+C9+C?。=C9+C9+C|Q=C*；o+C?o

门6八s11x10x9x8x7“c

=*=皓=04X3X2X1=462-

（2）解：由喘=。产可得％=2%（舍去）或%+2%=n,所以？1=3%,

H+1

所以c31______n!_______M______n!______

n=，即G+DUn-.-]）!=（专-1）!.（71_畀1）「

化简得11•6+1）[=3•（冬+1）专，SPll（n+3）=6（2n+3）,解得几=15,所以X=5.

【解析】【分析】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得.

18.（10分）已知｛时｝为等差数列，｛瓦｝为等比数列，的=比=1，&5=5（。4一43），b5=4（b4-

b3）.

（1）（5分）求｛an｝和｛生｝的通项公式;

（3an-2）bw>为奇数

（2）（5分）对任意的正整数n,。叫+2

步」，n为偶数

°n+l

①求Cl+c3+C5+…+C2n-1

②求C2+C4+C6+…+C2n

【答案】（1）解:设等差数列｛4｝的公差为数等比数列｛既｝的公比为q.

由劭=1,。5=5（。4一。3），即由+4d=5d,可得d=1.

从而｛an｝的通项公式为斯=n.

=

由bi=1,654（%—%），即^3q2=4（b3Q一匕3）

又回H0,可得q?—4q+4=0,解得q=2,

71

从而｛小｝的通项公式为6n=2T.

_（30九一2）力九_（3（-2）271T_2计12几-1

（2）解：①.当九为奇数时,----,

Q几%+2n（n+2）—n+2n

272n

所以Ci+C3+C5+…+c2n-l=4+4

4-+…+（二2/c+l2/c-l”磊T

②.当n为偶数时，cn=件」=*

un+l乙

n

2k-l1,352n-32n-l（..

22=1C2k=X4卜=4+不+广+产T+T-（I）

112q2n-32n-1

由（1）得4a=1C2k=系+不+/+..•+▽+产T（2）

由m7曰3（〃_1,2工工22n-l_总-切12n-l

由（1）,（2）倚£遥2k=4+於+…+?一尸-一4一产'

22112n-l156n+5

=-X-X=-

33^~4-?^4123x4n+l

从而得：£k1。2卜=|一森・

【解析】【分析】（1）设等差数列｛a4｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q.分别由等差等比数列的通

项公式求出公差和公比，即可得出答案.

（2）①当n为奇数时-，可得°=丝_2二，由裂项相消求和即可.

nn+2n

②当71为偶数时，金=#1=与3,由错位相减法求和即可.

un+l乙

19.（10分）如图，三棱锥A-BCD中，BC=BD=&,CD=2,O为CD中点，平面AOB_L平面

BCD.

（1）（5分）证明：AC=AD

（2）（5分）若三棱锥A-BCD的体积为|,二面角4-CD-B的余弦值为第，E为BC中点.求

BD与平面AED所成角的正弦值.

【答案】（1）证明：因为BC=BD,。为CD中点，

所以BOLCD,

又因为平面AOBL平面BCD,交线为BO,

所以CDJ_平面AOB,

因为40u平面AOB,

所以CDLAO,

由三线合一知：AC=AD.

（2）解：过点A作AH,BO,

因为平面AOB_L平面BCD,交线为BO,

所以AH_L平面BCD,

在RSBCO中，CO=^CD=1-BC=瓜

所以B0=V5,

由V/I-BCD=』SABCD'AH,即:=gx-BO-AH-字4H

解得：A“=等

由（1）可知：CD_LBO,且CD_LAO,

故乙40B为二面角A-CD-B的平面角，

在RtAAHO中，cosNAOB=*，AH=等，

AO=1,OH=暂，

以H为坐标原点，m）,分别为y轴，Z轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,竽），5（0,-等，0）,C（l,第，0）,。（-1,W，0）,E8,-哈，0）

所以前=（一1,遥，0），荏=&,一膂，一竽），AD=（~1，半，一等）

设平面AED的法向量为运=（%,y,z）,

'13店2店a

AE.芾=尹—--g-z—0

则不妨取诃=（—通，-3,1）

At）-it=—x+-g-y----于-z=0

设BD与平面AED所成角为仇

则sin”|cos",刑=解能=冬

【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一证明出结论;

（2）由体积求出竽，由二面角求出4。=1,OH=鸟建立空间直角坐标系，用空间向量

求解线面角.

20.（10分）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的

共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图

（引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.

P(K2

0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

ko0.460.711.322.072.713.8450.246.6357.87910.282

(1)(5分)第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行

全面的体能测试，

①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随

机变量X,求X的分布列和数学期望；

(2)(5分)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学

业成绩与体育成绩之间的2X2列联表.

学业优秀学业不优秀总计

体育成绩不优秀100200300

体育成绩优秀5050100

总计150250400

请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？

【答案】(1)解：①•••0.02：0.03：0.06=2：3.-6

236

**•««x11—2,.«x11—3,««x11—6,

111111

即从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个，

又因为单次完成11-15个引体向上的人共有0.06x5x400=120人，

记“单次完成11-15个引体向上的甲被抽中”为事件A,则PQ4）=缪=得=上.

°IZUzu

C120

②X的可能取值为0,1,2,

则P（X=0）=m=||,P（X=1）=竽=翁「侬=2）=等=春

L11L11L11

・・・x的分布列为：

X012

28243

P

555555

282436

...E(X)=0x品+1X京+2x^=1T.

22

(2)解：...2=_____n(ad_bc)______=400<5000-10000；_80_匠ano、7o.

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)300x100x150x250~~8889>7,87Q9

.••有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.

【解析】【分析】（1）①从1-5中选2个，6-10个中选3个，11-15个中选6个，单次完成11-15

个引体向上的人共有120人，利用古典概型、排列组合可求；

②X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，从而求出X的分布列和数学期望；

（2）求出K2=^>7,879,从而有的99.5%把握认为体育锻炼与学业成绩有关.

21.（15分）2022年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加,

下表为2022年1月份到7月份，销量y（单位：百件）与月份x之间的关系.

月份X1234567

销量y611213466101196

参考数据:

77

WxiVi100.54

yV

i=li=l

其中《=igyrv=^£7=1%参考公式：

v9

对于一组数据Ql，Vt）,（火，〃2），…，（%i，n）其回归直线畲=a的斜率和截距的最小

〉.-u：Vi—nuv

二乘估计公式分别为：：=、——y，a=v-pu.

V.u?-nuz

-i=lL

（1）（5分）根据散点图判断）/=（1%+8与丁=。£/，（c,d均为大于零的常数）哪一个适合作为销

量y与月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

（2）（5分）根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测2022年8月

份的销量；

（3）（5分）考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2022年1月份到12月份（x的

取值依次记作1到12）,每百件该产品的利润为P=10-。.。5/+06元，求2022年几月份该产品的利

润Q最大.

【答案】（1）解：根据散点图判断，y=cd”适合作为销量y与月份x的回归方程类型。

（2）解：对丁=cd*两边同时取常用对数得：Igy=Ige+xlgd.

设Igy=u,则v=lgc+xlgd,因为兄=4,v=1.54,fx?=140,

j=]

所以Igd=0.25,

把样本中心点（4,1.54）代入v=Ige+xlgd,得：Ige=0.54,所以0=0.54+0.25%，

即1g夕=0.54+0.25x,

所以y关于x的回归方程为夕=10°-54+0-25x=IO0-54x10025x=3.47x10°-25x.

把x=8代入上式，得了=3.47x102=347，

所以预测2022年8月份的销量为347百件（34700件）.

（3）解：由题意得Q=yP=3.47X1O_OO5X2+O'85X（xGN且1<x<12）,

构造函数/（%）=一0.05%2+085x（%>0）,

所以当x=8或9时，f（x）取最大值，

即2022年8月份或9月份利润最大.

【解析】【分析】（1）根据散点图，结合所给出函数图象可得出答案；

（2）对y=cdx两边同时取常用对数得：lgy=lgc+xlgd,再由公式以及给出的数据求出方程,

然后把x=8代入回归方程；

（3）由题意利润Q=yP,然后求出其最大值即可.

22.(10分)已知函数/(久)=x-：sinx一竽lnx+1.

(1)(5分)当m=2时，试判断函数/(%)在(兀，+8)上的单调性；

(2)(5分)存在%1，%2E(0，+8),小。X2，/。1)=/(%2)，求证：2Vm2.

【答案】(1)解：(方法一)当m=2时，/(x)=x-sinx-Inx+1，f(%)=1—)cos%一

lijx6(jii+8)时，f(x)=1—icosx—1—i—=i—0,

所以，当m=2时，函数/(%)在(兀，+8)上单调递增.

(方法二)当m=2时，/(x)=x—sinx-Inx+1,/(%)=1—^cosx-1，

]12

由1-Kcosx——=0=cosx=2——，

2xx

结合函数丫=cosx与y=2—(图象可知：当》£(7T,+8)时，cosx<1,2—：>2—系>1,

所以两函数图象没有交点，且2-2>cosx.

X

所以当X£(兀，+8)时，/(%)=1—；cosx-；>0.

所以，当m=2时，函数/(%)在(江，+8)上单调递增.

(2)证明:不妨设由/(%1)=f(%2)得，

1.m-1.m「

}—sinx}nx

%i-2sinxj—2Inxj+1=x2j2-y'2+1，

777,1

・•・y(lnx2-In%])=%2一一,(sin%2.sin/).

设g(%)=%-sin%,则g'(x)=1-cos%>0，故g(%)在(0,+8)上为增函数,

・•・%2—sin%2>—sin/,从而％2->sinx2-sin%!,

・•・2(lnx2-In%])=上一-](sin%2-sin%])>,(不一*i)，

x7—Xi

•••m〉Inx^-lnxf

要证％1%2<瓶2只要证m>A/x1x2,

下面证明：痣毋>际，即证谆>照，

令±=,，贝此>1,即证明品〉缶只要证明：Int—导<0,

设/i(t)=Int—年，/(t)=—崎会-<o，则h(t)在(1,+8)单调递减，

当t>l时，h(t)<h(l)=0,从而Int—丁<0得证，即忌菊]>信利

：,m>即％i%2<n;2.

【解析】【分析】(1)求出/(%)=1cosx—J,当xem，+8)时，/'(X)的最小值大于零，函数

/(%)在(兀，+8)上单调递增；

(2)令《=孑，将X62<巾2转化为导>在，再构造函数利用导数证明最小值小于0.

入1inu

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：93分

客观题（占比）26.0(28.0%)

分值分布

主观题（占比）67.0(72.0%)

客观题（占比）14(63.6%)

题量分布

主观题（占比）8(36.4%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)4.0(4.3%)

解答题6(27.3%)65.0(69.9%)

多选题4(18.2%)8.0(8.6%)

单选题8(36.4%)16.0(17.2%)

3、试