江苏省无锡市2022年中考数学试卷

江苏省无锡市2022年中考数学试卷

阅卷人

单选题（共10题；共20分）

得分

1.（2分）-2的倒数是（）

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】B

【解析】【解答】解：.的倒数是-5.

故答案为：B.

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.

2.（2分）函数y=V4-x中，自变量x的取值范围（）

A.x>4B.x<4C.x>4D.x<4

【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意得，4-x>0,

解得x*.

故选D.

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

3.（2分）已知一组数据：111,113,115,115,116,这组数据的平均数和众数分别是（）

A.114,115B.114,114C.115,114D.115,115

【答案】A

【解析】【解答】解:这组数据的平均数为：（1+3+5+5+6）-5+110=114,

115出现了2次，出现次数最多，则众数为：115.

故答案为：A.

【分析】首先以110为基准，求出各个数据与基准数的差之和，然后除以数据的个数，再加上基准

数可得这组数据的平均数；找出出现次数最多的数据可得众数.

4.（2分）方程二？=工的解是（）.

X—oX

A.x=-3B.%=-1C.%=3D.x=1

【答案】A

【解析】【解答】解：方程两边都乘%（x-3）,得

2x=x—3

解这个方程，得

x=-3

检验：将％=—3代入原方程，得

左边=-1,右边=-1,左边=右边.

所以，X=-3是原方程的根.

故答案为：A.

【分析】方程两边都乘x（x-3）约去分母，将分式方程转化为整式方程，求解得出x的值，然后进行检

验即可.

5.（2分）在RSABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得

到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）

A.12nB.15nC.20KD.24兀

【答案】C

【解析】【解答】解：：/C=90°,AC=3,BC=4,

AB=732+42=5，

以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=1X2KX4X5=20K.

故答案为：C.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据S1511锥的侧面花鸟X27T-BCAB进行计算.

6.（2分）雪花、风车…•展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考

在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）

A.扇形B.平行四边形C.等边三角形D.矩形

【答案】B

【解析】【解答】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意.

故答案为：B.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.

7.（2分）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分NBAC,过点D的切线交AC于点E,ZEAD=

25°,则下列结论错误的是（）

A.AE±DEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=50°

【答案】C

【解析】【解答】解：：DE是。O的切线,

.\OD1DE,

VOA=OD,

.*.ZOAD=ZODA,

：AD平分NBAC,

，/OAD=/EAD,

/.ZEAD=ZODA,

，OD〃AE,

AAEIDE,故选项A、B都正确；

ZOAD=ZEAD=ZODA=25°,

二ZBOD=2ZOAD=50°,故选项D正确；

如图：

C

E,

过点D作DF1AB于点F

：AD平分NBAC,AE±DE,DF±AB,

.,.DE=DF<OD,故选项C不正确；

故答案为：C.

【分析】根据切线的性质可得ODLDE,根据等腰三角形的性质得NOAD=NODA,根据角平分线

的概念得NOAD=/EAD,则NEAD=NODA,推出OD〃AE,据此判断A、B；根据等腰三角形的

性质以及角平分线概念得NOAD=/EAD=NODA=25。，由圆周角定理得/BOD=2/OAD=50。，据此

判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF,据此判断C.

8.（2分）下列命题中，是真命题的有（）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边

形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B

【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；

②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定

理可判断③.

9.（2分）一次函数丫=1^+11的图象与反比例函数y=手的图象交于点A、B,其中点A、B的坐标

为A（-工，-2m）、B（m,1）,则^OAB的面积（）

A.3B.苧C.JD.

【答案】D

【解析】【解答】解：如图：

VA(-1,-2m)在反比例函数y=与的图象上，

m=(-—),(-2m)=2,

...反比例函数的解析式为y=I,

AB(2,1),A(-1,-4),

把B(2,1)代入y=2x+n得l=2x2+n,

；・n=-3,

・•・直线AB的解析式为y=2x-3,

直线AB与y轴的交点D(0,-3),

：.OD=3f

SAAOB=SABOD+SAAOD

=1x3x2+1x3x1

_15

-T-

故答案为：D.

.【分析】将A(-1--2m)代入y=9中可得m的值，求出反比例函数的解析式，据此可得点A、B

fit4

的坐标，将点B的坐标代入y=2x+n中得n的值，求出直线AB的解析式，则得D(0,-3),

OD=3,然后根据SAAOB=SABOD+SAAOD进行计算.

10.(2分)如图，在图ABCD中，AD=BD,乙4DC=105。，点E在AD上，^EBA=

【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点B作BFJ_AD于F,

,・,四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB,CD//AB,

.'.ZADC+ZBAD=180°,

9：Z-ADC=105°

AZA=75°,

VZABE=60°,

JZAEB=180°-ZA-ZABE=45°,

VBF±AD,

AZBFD=90°,

AZEBF=ZAEB=45O,

・・・BF二FE,

VAD=BD,

AZABD=ZA=75°,

.\ZADB=30°,

设BF=EF=x,贝ljBD=2x,由勾股定理，得DF=V3x,

.\DE=DF-EF=(V3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-V3)x,

由勾股定理，得AB』AF2+BF2=(2-V3)2x2+x2=(8-4V3)x2,

-DE2=(西-1*=i

AB2(8-4后)久22

•DE42

••而=2'

：AB=CD,

••而一二,

故答案为：D.

【分析】过点B作BFLAD于F,根据平行四边形的性质可得CD=AB,CD//AB,由平行线的性质

可得NADC+NBAD=180。，结合NADC的度数可得NA的度数，利用内角和定理可得NAEB=45。，

进而推出BF=FE,由等腰三角形的性质可得/ABD=/A=75。，贝lJNADB=30°,设BF=EF=x,则

BD=2x,由勾股定理，得DF=bx,DE=DF-EF=（遮-l）x,AF=（2-次）x,由勾股定理可得AB?,据

此可得骑的值，然后结合AB=CD进行求解.

/\D

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-----------------二、填空题（共8题；共9分）

得分

11.（1分）分解因式：2a2—4a+2=.

【答案】2（a-1产

【解析】【解答】解：2a2-4a+2=2（a2-2a+1）=2（a-l）2.

【分析】先提取公因式a,再利用完全平方公式进行因式分解.

12.（1分）高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活，交通运输部的数据显示，截止去

年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一.161000这个数据用科学记数法可表示

为.

【答案】1.61x105

【解析】【解答】解：161000=1.61x105.

故答案为：1.61x105.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成ax1。11的形式，其中岸IaI<10,n等于

原数的整数位数减去1,据此即可得出答案.

13.（1分）二元一次方程组善［2匕=；2的解为

【答案】｛;二;

【解析】【解答】解：+2y=12@

（2x-y=1@

①+②x2得：7x=14,

解得：x=2,

把x=2代入②得：2x2-y=I

解得：y=3,

所以，方程组的解为｛Jz|,

故答案为：gz|.

【分析1利用第一个方程加上第二个方程的2倍可得X的值，将X的值代入第二个方程中可得y的

值，据此可得方程组的解.

14.（1分）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相

交：.

【答案】y=x+5

【解析】【解答】解：函数y=%+5的图象如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点

A,

当％=0时，y=5,即4（0,5）

当y=0时，x=-5,即8（—5,0）

函数图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交

故答案为：y=x+5.

【分析】根据一次函数y=kx+b（k、b为常数，且kWO）,中当k>0,b>0时，图象经过第一、二、

三象限，即图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，据此即可得出答案.

15.（1分）请写出命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题：.

【答案】如果b-a<0,那么a>b

【解析】【解答】解：命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题是“如果b-a<0,那么a>

b”,

故答案为：如果b-a<0,那么a>b.

【分析】命题"如果a>b,那么b-a<0"的条件为:a>b,结论为b-a<0,将条件与结论互换可得原命题

的逆命题，据此解答.

16.(1分)如图，正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、

BC于点H、G,则BG=.

【解析】【解答】解：连接AG,EG,如图,

：HG垂直平分AE,

，AG=EG,

;正方形ABCD的边长为8,

.,.ZB=ZC=90°,AB=BC=CD=8,

:点E是CD的中点，

，CE=4,

设BG=x,则CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+X2,

二(8-x)2+42=82+X2,

解得：x=l.

故答案为：1.

【分析】连接AG,EG,根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG,根据正方形

的性质可得NB=NC=90。，AB=BC=CD=8,由中点的概念可得CE=4,设BG=x,则CG=8-x,然后

在RtACEG、RtAABG中，利用勾股定理计算即可.

17.(1分)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果

平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：.

【答案】m>3

【解析】【解答］解：*/y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4,

此时抛物线的顶点坐标为(-2,m-4),

函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(-2+3,m-4+l),即

(1,m-3),

•••平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，

.'.m-3>0,

解得:m>3.

故答案为：m>3.

【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为(-2,m-4),将其向上平移1个单位长度，再向右

平移3个单位长度，可得(1,m-3),根据平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点可得m-

3>0,求解即可.

18.(2分)△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线

AE交于点F.如图，若点D在小ABC内，ZDBC=20°,贝U/BAF=°；现将△DCE绕点C

旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

【答案】80；4-V3

【解析】【解答】解：:•△ABC和ADCE都是等边三角形,

:.AC=BC,DC=EC,NBAC=NACB=NDCE=60°,

/.ZDCB+ZACD=ZECA+ZACD=60°,

即NDCB=NECA,

(CD=CE

在^BCD和aACE中，｛/.BCD=/.ACE,

(BC=AC

AAACE^ABCD(SAS),

.,.ZEAC=ZDBC,

VZDBC=20°,

.\ZEAC=20°,

NBAF=NBAC+NEAC=80。；

设BF与AC相交于点H,如图：

VAACE^ABCD

，AE=BD,ZEAC=ZDBC,且/AHF=/BHC,

.•.ZAFB=ZACB=60°,

；.A、B、C、F四个点在同一个圆上，

•.,点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD_LBF时，NFBC最大,

则/FBA最小，

...此时线段AF长度有最小值，

在RSBCD中，BC=5,CD=3,

Z.BD=,52_32=4,即AE=4,

，ZFDE=180o-90°-60o=30°,

：/AFB=60°,

.,.ZFDE=ZFED=30°,

.,.FD=FE,

过点F作FGLDE于点G,

，DG=GE=|,

••・FE=DF=熹=遍,

故答案为：80；4-V3.

【分析】根据等边三角形的性质得AC=BC,DC=EC,ZBAC=ZACB=ZDCE=60°,由角的和差关

系可得/DCB=/ECA,证明ZkACE且ABCD,得至lJ/EAC=/DBC=20。，则/BAF=80。；设BF与

AC相交于点H,根据全等三角形的性质可得AE=BD,ZEAC=ZDBC,ZAHF=ZBHC,贝ij

ZAFB=ZACB=60°,推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，故当CDLBF时，NFBC最大，则

NFBA最小，此时线段AF长度有最小值，利用勾股定理可得BD,易得FD=FE,过点F作FGLDE

于点G,根据等腰三角形的性质可得DG=GE=|,利用三角函数的概念可得EF,然后根据AF=AE-

FE进行计算.

阅卷入

—三、解答题（共10题；共98分）

得分

19.（10分）计算：

（1）（5分）|-1|X（-V3）*2-COS60°;

（2）（5分）a（a+2）-（a+b）（a-b）-b（b-3）.

【答案】（1）解：原式=1x3-1

=3_1

一2~2

=1

（2）解：原式=a2+2a-a?+b2-b2+3b

=2a+3b

【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后

根据有理数的乘法法则以及减法法则进行计算；

（2）根据单项式与多项式的乘法法则、平方差公式分别去括号，然后合并同类项化简即可.

20.（10分）（1）（5分）解方程%2-2%-5=0；

（2）（5分）解不等式组：黑

【答案】（1）解:方程移项得：x12-2x=5,

配方得:x2-2x+l=6,即（x-1）2=6,

开方得：x-l=±V6，

解得：xi=l+V6,X2=l-V6

⑵解：f2（x+1）>4©

I3%<%+5②

由①得：X>1,

由②得：X<|,

则不等式组的解集为1<XW|

【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方"1”,再对

左边的式子利用完全平方公式，最后根据直接开平方法计算即可；

（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小

小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.

21.（10分）如图，在。ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点

E、F,连接DE、BF.

（1）（5分）△DOF0Z\BOE；

（2）（5分）DE=BF.

【答案】（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点,

，AB〃DC,OB=OD,

.,.ZOBE=ZODF.

20BE=Z.0DF

在4BOE和^DOF中，OB=OD

Z-BOE=Z.DOF

・•・△BOE^ADOF(ASA)

(2)证明：・・・△BOE^ADOF,

・・・EO=FO,

VOB=OD,

四边形BEDF是平行四边形.

DE=BF.

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB〃DC,由中点的概念可得OB=OD,根据平行

线的性质可得NOBE=NODF,由对顶角的性质可得NBOE=/DOF,然后根据全等三角形的判定定

理ASA进行证明；

（2）根据全等三角形的性质可得EO=FO,结合OB=OD可推出四边形BEDF是平行四边形，然后

根据平行四边形的性质可得结论.

22.（6分）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为Ai,A2,人3，

A4,女生分别记为Bi,B2,B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参

与联欢会的访谈活动.

（1）（3分）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是;

（2）（3分）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少

有1位是&或Bi的概率.（请用“画树状图”或洌表”等方法写出分析过程）

【答案】（1）|

（2）解：列出表格如下：

4出43

Bi■4B1

%4把2^3^2

B3^2^3A3B3%4口3

一共有12种情况，其中至少有1位是4或Bi的有6种，

抽得的2位学生中至少有1位是4或Bi的概率为A=|.

【解析】【解答］解：（1）任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是1.

故答案为：y；

【分析】（1）利用女生的人数除以总人数可得对应的概率；

（2）列出表格，找出总情况数以及至少有1位是Ai或Bi的情况数，然后根据概率公式进行计算.

23.（11分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳

绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如

F：

育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表

跳绳个数（X）x<5050<x<6060<x<707()<x<80x>80

频数（摸底测试）192772a17

频数（最终测试）3659bc

育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图

（1）（1分）表格中a=；

（2）（5分）请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）

（3）（5分）请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数

有多少？

【答案】（1）65

（2）解：补充扇形统计图为：

（3）解：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有：200x25%=50（名）,

答：最终测试3（）秒跳绳超过80个的人数有50名

【解析】【解答】解：（1）a=200-19-27-72-17=65,

故答案为:65；

（2）x>80的人数占的百分比为：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%.

【分析】（1）根据各组人数之和等于总人数可得a的值；

（2）根据百分比之和为1可求出x>80的人数占的百分比，据此补全扇形统计图;

（3）利用超过80个的人数所占的比例乘以200即可.

24.（6分）如图，△ABC为锐角三角形.

图1图2

（1）（3分）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D,使NDAC=

ZACB,且CDJ.4D；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）（3分）在（1）的条件下，若NB=60。，AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积

为.

...点D为所求点.

（2）

【解析】【解答］解：（2）过点A作AE垂直于BC,垂足为E,

,:（B=60°,^AEB=90°,

，乙BAE=90°-60°=30°,

9：AB=2,

：・BE==1,CE=BC—BE=2,

^AE=>]AB2-BE2=V22-l2=V3，

VZDAC=ZACB,

：.AD||BC,四边形ABCD是梯形，

AZD=乙ECD=90°,

J四边形AECD是矩形，

：.CE=AD=2,

,四边形ABCD的面积为④（4。+BC）.4E=；X（2+3）XV5=孥

故答案为：竽.

【分析】（1）首先根据作一个角等于已知角的方法作/DAC=/ACB,然后根据过直线外一点作已知

直线的垂线的作法作图即可；

（2）过点A作AE垂直于BC,垂足为E,根据余角的性质可得NABE=30。，由含30。角的直角三角

形的性质可得BE=1AB=1,则CE=BC-BE=2,利用勾股定理可得AE,易得四边形AECD是矩形，

则CE=AD=2,然后根据梯形的面积公式进行计算.

25.（10分）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于。O,点D为AC上的动点（点A、C除

外），BD的延长线交。O于点E,连接CE.

(1)(5分)求证△CED-ABAD；

(2)(5分)当DC=2AD时，求CE的长.

【答案】(1)证明：所对的圆周角是乙1,乙E,

Z.A=Z.F,

又乙BDA=乙CDE,

△CEDs&BAD

(2)解：・・・△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=BC=6

\9DC=2AD,

^AC=3AD,

^AD=2,DC=4,

•••△CED〜ABAD,

.AD_BD_AB

^DE~CD~~CE'

.2_BD

•,诟=不’

:.BD,DE=8；

连接AE,如图，

AB=BC,

：.AB=Bf：

AZBAC=^BEA,

又NABD=/,EBA,

・•・△ABD〜AEBA,

.AB_PD

''BE=AB'

：-AB2=BD-BE=BD•（BD+DE）=BD2+BD-DE,

.'-62=BD2+8,

：.BD=2V7（负值舍去）

・62万

解得，CE二号由

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得NA=NE,由对顶角的性质可得NBDA=/CDE,然后根

据相似三角形的判定定理进行证明；

（2）根据等边三角形的性质得AC=AB=BC=6,结合已知条件可得AC=3AD,贝ijAD=2,DC=4,然

后根据相似三角形的性质可得BD.DE=8,连接AE,由圆周角定理可得NBAC=NBEA,证明

△ABD^AEBA,根据相似三角形的性质可得BD、CE的值.

26.（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的

长度为l（）m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的

总长度为24m,设较小矩形的宽为xm（如图）.

（1）（5分）若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值；

（2）（5分）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】（1）解：；BC=x,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，

，CD=2x,

，BD=3x,AB=CF=DE=|(24-BD)=8-x,

依题意得：3x(8-x)=36,

解得：xi=2,X2=6(不合题意，舍去)，

此时x的值为2m；

(2)解：设矩形养殖场的总面积为S,

由(1)得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,

V-3<0,

/.当x=4m时，S有最大值，最大值为48m2,

【解析】【分析】(1)由题意可得CD=2x,则BD=BC+CD=3x,AB=CF=DE=8-x,根据矩形的面积公

式可得关于x的方程，求解即可；

(2)设矩形养殖场的总面积为S,根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的

性质进行解答.

27.(10分)如图，已知四边形ABCD为矩形AB=2®，BC=4,点E在BC上，CE=

AE,将△ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.

(5分)求EF的长

(2)(5分)求sin/CEF的值

【答案】(1)解：设BE=%，贝!lEC=4—%,

.\AE=EC=4—x,

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,

•,«(2V2)2+x2=(4-x)2，

=1,

：.BE=1,AE=CE=3,

*：AE=EC,

Azl=Z2,

yZ-ABC=90°,

：.z.CAB=90°-Z2,

：.^CAB=90°-Z1,

由折叠可知AFAC=ABAC,

：./.FAC=乙CAB=90°-Z1,4F=AB=2V2，

：.^FAC+zl=90°,

：./.FAE=90°,

在RtAFAE中，EF=y/AF2+AE2=J(2V2)2+32=V17

(2)解：过F作FM_LBC于M,

.•.ZFME=ZFMC=90°,

设EM=a,则EC=3-a,

在RMFME中，FM2=FE2-EM2,

在RtaFMC中，FM2=FC2-MC2,

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

,,(V17)2—a2=42—(3—a)2'

=

•",FM—J(V17)2—(1)2=V2>

.FMf^/28,—

."也“融=前=历=直演

【解析】【分析】(1)设BE=x,贝I」AE=EC=4-x,在R3ABE中，根据勾股定理可得x,据此可得

BE、AE、CE的值，根据等腰三角形的性质得N1=N2,由折叠得△FAC且△BAC,得到

NFAC=NCAB,AF=AB,结合Nl+NCAB=90。可得NFAC+N1=9O。，则NFAE=90。，然后利用勾股

定理可得EF；

(2)过F作FM_LBC于M,设EM=a,则EC=3-a,在Rt/kFME、RsFMC中，由勾股定理建立方

程，求解可得a及FM的长，然后根据三角函数的概念进行计算.

28.(15分)已知二次函数y=-^x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A(1,0),图象与y轴

交于点B(0,3),C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且ACAD=90°.

(1)(5分)求该二次函数的表达式；

(2)(5分)若点C与点B重合，求tanNCDA的值；

(3)(5分)点C是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在,

请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：•••二次函数y=-^x2+bx+c与y轴交于点8(0,3)，

1

Ac=3,即y=-^x2+bx+3，

：A(1,0),即二次函数对称轴为x=l,

bb.

••2a2x(-1)，

.,1

'-b=2'

•••二次函数的表达式为y=—//+；x+3

（2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E,连接BD,

：.^BAO+^DAE=90°,

\^ADE+Z.DAE=90°,

：.Z.ADE=L.BAO,

,・"BOA=4DEA=90°,

△ADEBAO,

，器=箓，即BODE=OA-AE,

VB(0,3),4(1,0),

:.BO=3,OA=1,

设：D(3-1t2+|t+3)，点D在第一象限，

11

/.OE=t,DE=—7/+5七+3,AE=OE-OA=t—1,

4L

11

••3x(-4t2+]t+3)=1x(t—1),

解得：〃=一学(舍)，t2=4(舍)，

2

当以=4时，y=-Ax4+^x44-3=l,

：.AE=4-1=3,DE=1f

•*AD=y/DE2+AE2=Vl2+32=V10,

AB=VOA24-OB2=JI?+32=

・・•在Rt△BAD中,

•.rn

..tanz7CDAA=-而48_=J质10_=1

（3）解：存在，

如图，（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tanZ.CDA=1,

•••点D的坐标为(4,1)，

,此时，点C的坐标为(-2,1),

如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即tan4czM=1,

,：ACAD=90°，点C、D关于对称轴对称,

C.^CAE=45",

：.^CAE为等腰直角三角形，

：.CE=AE,

设点C的坐标为(m,—^m2++3)，

.\CE=-H-3,AE=1-m,

―^m24-^m+3=l-m

解得：=3-V17，m2=34-VT7(舍),

此时，点C的坐标为(3-g,V17-2),

当点C在x轴下方时，

过点C作CF垂直于x轴，垂足为E

・・・4。4。=90。，点C、D关于对称轴对称，

C.Z.CAF=45°,

：.^CAF为等腰直角三角形，

：.CF=AF,

设点C的坐标为(zn,—^m2++3)，

•'•CF=4m2—im—3,AE=1-m,

・・・1472Tlz-1TYl—o3=q1-TTL

解得：m-1=—1+V17(舍)，m2=—1—VT7，

此时，点C的坐标为(一1一旧，-2-V17),

综上：点C的坐标为(一2,1),(3-V17,V17-2)，(-1-V17,-2-V17)

【解析】【分析】(1)将B(0,3)代入y=—Jx2+bx+c中求出c的值，根据点A的坐标及抛物线的

q

对称轴直线公式可求出b的值，据此可得二次函数的表达式；

(2)过点D作x轴的垂线，垂足为E,连接BD,根据同角的余角相等可得NADE=/BAO,证明

△ADE^ABAO,根据点A、B的坐标可得OB、OA,设D(t,一%+%+3),则OE=t,

42

DE=-1t2+|t+3,AE=t-l,根据相似三角形的性质可得t的值，进而可得AE、DE、AD、AB的值，

然后根据三角函数的概念进行计算；

(3)当RtABAD关于对称轴对称时，tan/CDA=l,结合点D的坐标可得点C的坐标；当点C、D

关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即tanNCDA=l,当点C在x轴上方时，过点C作

CE垂直于x轴，垂足为E,易得△CAE为等腰直角三角形，CE=AE,设C(m,-1m2+1m+3),表

示出CE、AE,根据CE=AE可得m的值，据此可得点C的坐标；当点C在x轴下方时，同理可得

点C的坐标.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：127分

客观题（占比）21.0(16.5%)

分值分布

主观题（占比）106.0(83.5%)

客观题（占比）11(39.3%)

题量分布

主观题（占比）17(60.7%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题8(28.6%)9.0(7.1%)

解答题10(35.7%)98.0(77.2%)

单选题10(35.7%)20.0(15.7%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(67.9%)

2容易(25.0%)

3困难(7.1%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1平均数及其计算2.0(1.6%)3

2实数的运算10.0(7.9%)19

3二次函数图象的几何变换1.0(0.8%)17

4频数（率）分布表11.0(8.7%)23

5直线与圆的位置关系2.0(1.6%)18

6列表法与树状图法6.0(47%)22

7科学记数法一表示绝对值较大的数1.0(0.8%)12

8等腰直角三角形17.0(13.4%)10,28

9解分式方程2.0(1.6%)4

10角平分线的性质2.0(1.6%)7

11概率公式6.0(47%)22

12正方形的判定2.0(1.6%)8

13切线的性质2.0(1.6%)7

14平行四边形的性质2.0(1.6%)10

15翻折变换（折叠问题）10.0(7.9%)27

16中心对称及中心对称图形2.0(1.6%)6

17矩形的判定2.0(1.6%)8

18反比例函数与一次函数的交点问题2.0(1.6%)9

19平行线的性质12.0(9.4%)10,21

20菱形的判定2.0(1.6%)8

21一次函数图象、性质与系数的关系1.0(0.8%)14

22因式分解-运用公式法1.0(0.8%)11

23有理数的倒数2.0(1.6%)1

24函数自变量的取值范围2.0(1.6%)2

一元二次方程的实际应用-几何问

2510.0(7.9%)26

题

26众数2.0(1.6%)3

27圆锥的计算2.0(1.6%)5

28三角形的面积