山东省青岛第二中学2022-2023学年高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2023请考生注意：请用2B案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知等△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆上一点，则PA(PBPC)的最大值是（ ）A．2 B．1

C．3 D．2已知复数A．-1 B．1

为纯虚(为虚数单)，则实数 （ ）D．2

68i z i z11z，2 ，则2 （ ）1zA．86i B．86i C．86i D．86ifxcos0,0已知函数

2 的最小正周期为2

，且满足

fxfx

，则要得到函fx gxsinx数 的图像，可将函数 的图像（ ）A．向左平移12个单位长度5C12个单位长度

B．向右平移12个单位长度5D12个单位长度

A

,0

OABC

中的曲线分别是

ysinx，

ycosx

的一部分，

C， ，在矩形 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P，取自非阴影部分的概率为P，则（ ）1 2P

P P2 B．

P P2 C．

P2 D．大小关系不能确定 ytan x函数

24 24

OAOBAB（ ）A．6 B．5 C．4 D．3

sinC4 Sab2c2 4在中分别为角A的对边若的面为S且 则 （ ）A．1

22 C．

6 24

6 2D． 4的内角B,C的对边分别为a,b,c，已知acosA，则角B的大小为（ ）

A．3 B．3 C．6 D．6

A，

B xx1x2

，则集合

A B的真子集的个数是（ ）A．8

B．7f(x)

C．4

D．3x0,2

f(x)2x1

f2f0已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）A．已知函数

C．3 D．R fx gx gxfx1 fR 是上的偶函数， 是的奇函数，且 ，则 的值为（ ）A．2 B．0 C．D．C:x2已知椭圆 a2

y2b2

1 2的短轴长为2，焦距为

分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一1PF点，则

1 2 1PF2的取值范围为（ ）

2, 3

2,4

1,4A． B．

C．

D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 1

1 a

S,an

2,Sn12

a ,n1

loga 2n bb T 数列n 的前

1项和为

n n

，则数列

nn1

的前n

项和n ．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的个.S

a

S

a

n为等比数列

n的前n项和，已知5

，3 2

1，则

1 . m,nN

a a

a“在数

n 中，若对于任意的 ，mn

m n则n 为递增数为假命题的一个等差数列是 写出数列的通项公式）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。r17（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为 （r0，直线r

cos24 .设直线l24 7线C相交于A，B两点，且AB27

，求r的值.n18（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布N(10,0.12)（单位：微米m，且相互独立．若零件的长度d满足9.7md10.3m，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．假设某一天小张抽查出不合格的零件数为XPX2)XEX；502个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一n个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 N(,， 则P(33)0.9987,0.9987500.9370,0.9987490.00130.0012．{a19（12分）已知数列

}满足：对任意u,vN，都有a

a a2u v .uvauv若

aaa3 6

2 a，求18，求

的值；} }若n 是等比数列，求n 的通项公式；k设kNk3k

,ak2

,ak

,成等差数列，则aa

,,ak

也成等差数列.1220（12分）在ABC中，内角C的对边分别是c，已知(a b)sinAbsinBcsinC.12求角C的值；1+ 31+ 3

sinAsinB

4 ，c

2

ABC

的面积．21（12分）100在今年3.3,53,59,11111,13213,15215,1717,19319,21402020102（单位：万件）频数现规定，月订单不低于13”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%与“”.业绩突出城市 业绩不突出城市 总计外卖甲外卖乙总计由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z（单位：万件）近似地服从正态分布，其中 x N(,) 近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表，的值已求出，约为3.64，其中 x ①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8) 的城市个数，求X的学期望；②外卖甲决定在今年3月订单数低于7”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活97万件的城市中采用分层抽样100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？n(adbc)2K2附：①参考公式：参考数据：

(ad)(ad，其中nabcd.P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001k 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 10.8280②若ZN(,2)，则P(Z)0.6826，P(2Z2)0.9544.22（10分）已知函数f(x) 3x6，g(x) 14x，若存在实数x使f(x)g(x)a成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】如图所示建立直角坐标系，设【详解】

Pcosθ,sinθ，则

PA(PBPC)1cos

，计算得到答案. 1 3 1 3B , C , A1,0如图所示建立直角坐标系，则

2 2

2

cosθ,sinθ，PAPBPC)(1cossin12cos2sin)(1cos)(12cos)2sin22cos2cos12sin21cos2.当 ，即 时等号成.D.【点睛】2、B【解析】化简得到【详解】

，根据纯虚数概念计算得到答案.为纯虚数，故 且 ，即 .故选：.【点睛】3、B【解析】

z186iz分析：利用i2

1的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得z21z 68i281详解：

z i i22

，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意i24、C【解析】

1符号的正、负问题.依题意可得依题意可得2 x f且 是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；【详解】解：由已知得2，x 是f(x)的一条对称轴，且使f(x)取得最值，则kπ，

π3， π π π π f(x)cos2x cos2 x

g(x)sin2xcos2xπ 3 12 2

2【点睛】

，

，本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.5、B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：

cosxsinxdx404

21，21 4

2

41.41P2 1于是此点取自阴影部分的概率为1

2 3.2 2．P1P又2 1

112．2，故PP12．故选B．【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．6、A【解析】根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】 ytan x x24由图象令 24k=0时解得x=2，

=0,4

2=k，kZytan4x

2 x 令 =1,即4

2 4，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，OAOBAB∴ ，AB516∴ .【点睛】.7、D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【详解】4 Sab2c21解：由 ，14 3 absinCa2b2c22ab得 2 ，∵a2b2c22abcosC，∴2 3absinC2abcosC2ab即3sinCcosC12sinC1 6即 ，6sinC1 6则 2，6∵0C，C5∴ 6 6 6，C∴ 6

C3226 26，即 3226 2sinCsin

sincos

cos sin

1 4 3 4

3 4 3 4则 故选D．【点睛】

2 2 2 2 4 ，本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．8、A【解析】先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.【详解】由正弦定理可得sinA2sinC2sinBcosA，即sinA2sin(AB)2sinBcosA，即有sinA(12cosB)0，cosB1 B 因为sinA0，则故选：A【点睛】

2，而B(0,)，所以 3 .9D【解析】转化条件得【详解】

A B2n1，利用元素个数为n的集合真子集个数为 个即可得2n1由题意得

Bxx1x20x1x2，A B A B

2213【点睛】

，集合

的真子集的个数为 个.本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.10、A【解析】由奇函数定义求出f(0)和f(2)．【详解】因为 f(x)

是定义在

上的奇函数，

f(0)

.

x0,2时，f(x)2x1f2f2223 f2f03， .故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．11、B【解析】根据函数的奇偶性及题设中关于

gx与

fx

关系，转换成关于

fx

的关系式，通过变形求解出

fx

的周期，

f2019.ggx为

g0f10,gxgx上的奇函数，f10,fx1fx1 fxfx2，fx R

fxfx fxfx2而函数 是上的偶函数， ，fx2fx4 fxfx4，fx故 为周期函数，且周期为4f2019f10故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.12、D【解析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到

PFPF 1 2

，利用二次函数的性质可求

1PF PF1 2

4，从而可得PF1PF21 PF1PF2

的取值范围.

b1,c

3，故a23

C:，故椭圆

x y2124 ，2因为点P为C上的任意一点，故PF

PF 412 .1PF1PF2PFPF1 2PF PFPF1PF2PFPF1 2PF PF1 2又

4 = 4PF PF1 2PF 4PFPF PF1 21 1 ，32 PF3因为 1

2

1PF3，故 13

4PF1

4，PF1PF21 1 1 PF1PF2所以 .【点睛】C:本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆

x2a2

y21ab0b2

的左、右焦点分别是F、F

，点P为C上的1 2PFPF 2a任意一点，则有 1 2

，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。n13、n1【解析】S 1

1a ,n时，S 1

1 a,

an1

2,2n 2n

n1

n1

2n1 n a

a解：

两式作差，得n ，经过检验得出数列n 的通nn项公式，进而求得bcnn

的通项公式，裂项相消求和即可．【详解】S

11a ,n时，S 1 1 a, 解： n 2n

n1

n1

2n1 na 1

1a 1

1 a,2n两式作差，得

2n

n1

2n1 n化简得

an12,n2an ，1 aS1检验：当n=1时，

a a1 2

2,a2

4, 22 1aa 1a

a2

2n，b logan 2

log2

2nn，1 1 1 1c n bb

n1

,n n1令 nn1T 1111111 1 1 1 n .n 2 2 3 3 4 n n1 n1 n1n故填：n1．【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n考查运算能力．14、60【解析】对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，33此时，符号条件的6位自然数个数为A3A333

36个；②若首位数为偶数，则首位数不能为0，0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，223此时，符合条件的6位自然数个数为C1A2A3223

24个.综上所述，符合条件的6位自然数个数为362460个60.【点睛】.115、2【解析】设等比数列【详解】设等比数列

q，将已知条件等式转化为q，

a,1

关系式，求解即可.Sa,a23 2 1 3 1 ，1a aq44a 2,a 5 1 11

1 2.故答案: 2.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.16、答案不唯一，如ann1【解析】根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.【详解】由题意知，不妨设ann1，a (mn)1(mn)2a a则mn m n，a很明显n为递减数列，说明原命题是假命题.a n1所以n ，答案不唯一，符合条件即.【点睛】题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、r3【解析】先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.【详解】以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，2可得曲线Cr（r0）x2y2r2，表示以原点为圆心，半径为r.22cos2

coscossinsin 4由直线l的方程 4

，化简得

4 4 ，则直线l的直角坐标方程方程为xy20.222d 222记圆心到直线l的距离为d，则 ，AB2r2d2 2又【点睛】

，即r2279，所以r3.18（1）见解析需要，见解析【解析】由零件的长度服从正态分布N(10,0.12)且相互独立,零件的长度d满足9.7md10.3m即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987 ,X满足二项分利用补集的思想求得PX2,再根据公式求得EX；2由题可得不合格率为50,检查的成本为10n,0.【详解】（1）P(X≥2)1P(X1)P(X0)1C5010.9987490.00130.9987500.003,由于X满足二项分布,故EX0.0013500.065.2（2）由题意可知不合格率为50,若不检查,损失的期望为

E(Y)260n

22052n2050 5 ；52 2若检查,成本为

10n

,由于

E(Y)10n

n2010n5

n205 E(Y)10n2n200当n充分大, 5 ,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】n本题考查正态分布的应考查二项分布的期,考查补集思想的应,考查分析能力与数据处理能19（）3（）a 2（3）见解.n18【解析】1818a18

a a2

2 a，

aa3

2，两式相加，即可求出

a （2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式a

a auvu uv

2，列出方程，可以解出首项和公比（3）利用等差数列的定义，即可证出。【详解】（1）因为对任意

u,vN

a

a2

a a 2

2 a a，

2，两式相加，2a a18

aa3

a4249

uv，解得

u va =318 ；

18 9

18 3 6设等比数列

} a qn，公比为，因为对任意的首项为1n，公比为，因为对任意

u,vN，都有a

a

2，uvuva auvuv

2

2 a a

2=a a2所以有2 1 2

，解得1

，又6 1 6 2 3 ， aa=a a

1q5

q2q3 q21

q31=0即有1 6 2 3，化简得， ，即 ，4 2 q1或q1，因为a a a 2，化简得q32q10，所以q4 2 n故a 2。n因为对任意u,vN，都有a

a2，所以有a aa 2

uv u v k1 ka a a 22(k2 k3ka a3k3k）ak(k

a a k k

a，k1

,ak2

,ak

,

成等差数列，设公差为d，a a2

a2(k

ak

(k

aa，3

a3(k

a2(k

(k1)d，a a a a (kk kk(k1) (k1)(k1)

，由等差数列的定义知，a,a1

,,ak

也成等差数列。【点睛】能力。C【解析】

π36（2）13由已知条件和正弦定理进行边角互化得a2b2c2 3ab，再根据余弦定理可求得.由正弦定理得a4sinA，b4sinB，代入得ab4(1 3)，运用三角形的面积公式可求得其.【详解】由(a AbsinBcsinC及正弦定理得(a =c2，即a2b2c2

3abcosC

a2＋b2c2

Cπ3由余弦定理得3

2ab 2 ，

π， 6.00C2R 4

R，则由正弦定理得

sinC sinπ6 ，3a2RsinA4sinA，b2RsinB4sinB，ab16sinAsinB4(1 3)3S 1absinC14(1 3)1

1ABC【点睛】

2 2 2 ..21（1）90%“”与有关.【解析】根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13.K2.①先根据所给数据求得样本平均值x，根据所给今年3月订单数区间，并由x及4.88，15.8.P(4.88Z15.8)，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有3,5和5,7..【详解】1000.10.050.0424