2022年九年级数学下期单元测试带习题与讲解与解析

2022年九年级数学下期单元测试带参考答案与解析选择题在Rt△ABC中，，，，的半径为，则与的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定【答案】C【解析】试题解析：作CD⊥AB于D.由勾股定理由面积公式得AC⋅BC=AB⋅CD，∴圆与AB的位置关系是相离，故选C.选择题已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，1垂足为M，则AC的长为（）A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.2cm或4cm【答案】C【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=故选C.cm.选择题如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的2不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】连接AC、BD,先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD=,再根据90度的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径,由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD=,然后根据勾股定理得出,,从而求出结果.解:如图，连接AC,BD.ABCD是正方形,∠ADC=∠BCD=,AC与BD是直径,∠APC=∠BPD=,,,又正方形ABCD的边长为1,AC=BD=,3.所以B选项是正确的.选择题⊙O半径为3cm，O到直线L的距离为2cm，则直线L与⊙O位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定【答案】A【解析】到直线L的距离小于⊙半径，所以直线L与⊙位置关系为相交，故选A选择题已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（）A.πB.C.D.【答案】C【解析】试题解析：弧长l=C．．故选选择题如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（）4A.30°B.35C.40°D.50°【答案】C【解析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．解答：解：∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠C+∠A；∵∠A=30°，∠APD=70°，∴∠C=∠APD-∠A=40°；∴∠B=∠C=40°；故选C．选择题如图，Rt△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的圆交AC于D，则图中阴影部分的面积为（）A.2B.+1C.+2D.4+5【答案】C【解析】试题解析：半径OB=2，圆的面积为，半圆面积为连接AD，OD，根据直径对的圆周角是直角，∴AD⊥BC,∵点O是圆心，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴OD⊥AB,∴扇形ODB的面积等于四分之一圆面积为△DOB的面积∴弓形DB的面积∴阴影部分的面积故选C.选择题已知：⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，E是AB的中点，连OE，OE=，BC=8，则⊙O的半径为（）6A.3B.C.D.5【答案】C【解析】分析:如图,作辅助线;首先求出;根据勾股定理求出DE的长度;运用射影定理即可求出AD的长度,即可解决问题:如图,作直径AD,连接BD;.详解∵AB=AC,∴,∴AD⊥BC,BE=CE=4;∵OE⊥AB,∴AE=BE,而OA=OB,∴OE为△ABD的中位线,∴BD=2OE=5;由勾股定理得:,∴DE=3;∵AD为⊙∴∠ABD=90°,由射影定理得,而BD=5,DE=3,O的直径,:∴AD=,⊙O半径=.故选C.点睛:本题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题;解题的关键是作辅助线等几何知识点来分析、判断、推,灵活运用勾股定理理或解答.7选择题如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（）A.π﹣2B.π+2C.2﹣πD.+π【答案】A【解析】连接OE.可得=BOE-BCD-S△OCE.根据已知条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=,CE=,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.解：连接OE，可得=BOE-BCD-S△OCE，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，∠BOE=，可得CE=，由已知条件可得，BOE=，，BCDS△OCE=，=BOE-BCD-S△OCE=故选A.=，选择题8如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A.10B.8C.4D.4【答案】D【解析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE=∴AE=AO+OE=8，=3，9则AC=，故选D．填空题一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是_____．【答案】60°或120°【解析】意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D,通过垂径定理,首先根据题即可推出∠AOD的度数,求得∠AOB的度数,然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.解：如图：连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,OA=2,AB=,AD=BD=,AD:OA=:2,∠AOD=,∠AOB=∠AMB=,∠ANB=.,故答案为:或.填空题点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为_____．10【答案】4【解析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点.解：如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，∠DIC=∠ICDID=CD,ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,可得IF=FC(垂经定理)，在RT△IFD中，,11又在△AIC中，AE=EC,IF=FC,EF为△AIC的中位线，EF∥AD,即EF∥ID,且EF==5=ID,四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,故答案：4.填空题如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为_____cm．【答案】1或5【解析】试题分析：首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可O′P求得的长，继而求得答案．解：有两种情况：（1）如图1,当O平移到O′位O与PA相切时，且置时，切点为C，连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°，12∵∠APB=30°,O′C=1cm，∴O′P=2O′C=2cm，∵OP=3cm，∴OO′=OP−O′P=1(cm).（2）如图2，同理可得：O′P=2cm，∴O′O=5cm.故答案为：1或5.解答题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r=2，则Rt△ABC的周长为_____．13【答案】30【解析】设AD=x,由切线长定理得AF=x,根据题意可得四边形OECF为正方形,则CE=CF=2,BD=BE=3,在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出x,然后求其周长.解：如图，连接OE、OF,设AD=x,由切线长定理得AF=x,⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,OE⊥BC,OF⊥AC,四边形OECF为正方形,r=2,BC=5,CE=CF=2,BD=BE=3,由勾股定理得,,解得,x=10,ABC的周长为12+5+13=30,故答案为30.14填空题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为_____．【答案】﹣6【解析】取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE.如图，取AC的中点O,连接0E、OB,由CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O、E、B三点在同一直线上时，BE最短，可得此时OE=OC=OA=6,在RT△OCB中，故BE的最短值为：OB-OE=-6,,故答案：-6.填空题15如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】【解析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是故答案为：，填空题等腰△ABC中，AB=AC，它的1，如果线段OB外接圆⊙O半径为绕点O旋转90°后可与线段OC重合，那么∠ABC的余切值是_________．【答案】．【解析】分两种情况，（1）当△ABC为锐角三角形，∵AB=AC，OB=OC，∴AD垂直平分BC，16∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBD=45°，∵OB=1,∴BD=OD=，在Rt△ABD中，tan∠ABC=;（2）当△ABC为钝角三角形，∵AB=AC，OB=OC，∴AD垂直平分BC，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBD=45°，∵OB=1，∴BD=OD=，在Rt△ABD中，tan∠ABC=.17故答案为：．解答题已知，四边形ABCD顶点都在4×4正方形网格的格点上，如图请用直尺和圆规画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置，这个圆所对的圆心角的度数是．所示，【答案】画图见解析，90度．【解析】易得∠A=∠BCD=90,作出一个直角三角形的外接圆即可经过四边形的四个顶点.如图，⊙M即为所求；所对的圆心角的度数为90度．解答题如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，AB=AC，连接BC，交E．⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为(1)求证：DE与⊙O相切．18(2)若∠B=30°，AB=4，则图中阴影部分的面积是（结果保留根号和π）．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)连接OD，由AB=AC，OB=OD，得到∠B=∠C=∠ODB，从而OD∥AC，得到∠ODE=90º，因而得出结论；(2)阴影部分面积由等腰△OBD和扇形OAD的面积组成.证明：（1）连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠B=∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）阴影部分的面积=S△OBD+S扇形OAD=19=．故答案为：（1）证明见解析；（2）.解答题如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①BC=9；②DF=2.【解析】(1)连结AD,根据圆周角定理,由E是BD的中点得到∠EAB=∠EAD,由于∠ACB=2∠EAB,则∠ACB=∠DAB,再利用圆周角定理得到∠ADB=,则∠DAC+∠ACB=90,所以∠DAC+∠DAB=,于是根据切线的判定定理得到AC是OO的切线;(2)①在Rt△ABC中,根据cosC===，AC=6可得AC=6;②作FH⊥AB于H,由BD=BC-CD=5,∠EAB=∠EAD,FD⊥AD,FH⊥AB,推出FD=FH,设FB=x,则DF=FH=5-x，根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题.20(1)连结AD，如图，∵E是的中点，∴==，∴∠EAB=∠EAD，∵∠ACB=2∠EAB，∴∠ACB=∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；(2)①在Rt△ACB中，∵cosC===，AC=6，∴BC=9．②作FH⊥AB于H，∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB=∠C，21在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cos∠C==，∴=，解得x=3，即BF的长为3，∴DF=2解答题如图是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角读数是从N点开始（即N点的0），现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．三角板和一个量角器拼在一起，器最外缘的读数为(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？(2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少？(3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE．【答案】(1)射线CP旋转度数是120°；(2)E处的证明见解析.【解析】读数为90；(3)22(1)连接OC.根据切线的性质,得∠OCP=,根据等腰三角形的性质,得∠ACO=∠A,从而求得射线CP旋转度数；(2)当CP过△ABC外心时,则点E处的读数是;当CP过△ABC的内心时ACB,则∠BCE=,根据圆周角定理,则点E处的读数是(3)根据已知,知旋转了,即可求得∠EBC=∠BCE=,从而(即过O点)时,∠BCE=,根据圆周角定理,即CP平分∠.证明结论.(1)连接OC．∵射线CP与△ABC的外接圆相切，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴射线CP旋转度数是120°；(2)23∵∠BCA=90°，∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆．当CP过△ABC外心时（即过O点），∠BCE=60°，∴∠BOE=120°，即E处的读数为120，当CP过△ABC的内心时，∠BCE=45°，∠EOB=90°，∴E处的读数为90．(3)在图2中，∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，∴BE=EC．解答题如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；(2)求证：DE=DB．【答案】（1）35°；（2）证明见解析.【解析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；24(2)由点E是△ABC的内心，可得E点