大物上届讲课01-3圆周运动新

圆周运动在人类社会活动里工农业生产实践中、科学研究乃至于在人们日常生活实际中，物体沿曲线运行（或圆周运动）的情况往往要比物体作直线运动来得广泛和普遍。小到分子原子绕核运动，大至宇宙天体中星球的运转，无所不及，无处不在。.·oω··曲线运动的特殊情况：圆周运动匀速圆周运动变速圆周运动匀速圆周运动（正确理解为匀速率）变速圆周运动在研究圆周运动时采用的坐标参考系是平面极坐标系。因为作圆周运动的物体其运动速度的量值可以保持不变，但是物体的运动方向时刻在变。作圆周运动的物体其运动速度的量值和运动方向时刻在变。0xyωA作圆周运动小球A的位置由矢径r和矢径r与x坐标的夹角θ确定。（极坐标）二维笛卡尔坐标和平面极坐标的转换关系：ωωx=cossintty=rrrθ§1-3

圆周运动1.

角位置、角位移（角量）：2.

角速度ω:(rad/s)平均角速度：瞬时角速度：一、圆周运动中的几个重要物理量：θ

角位置角位移θ△：：θAtrBθ△t△＋t0x.ωt△θ=ω△θ=ddtt△θ=ω△lim△t03.

速度和角速度的关系（线量和角量）：△rSθ△=t△S=v△lim△t0t△θ△lim△t0r=rω量值的关系rω=v二、匀速（匀速率）圆周运动：定义：作圆周运动的质点，其运动速度的大小不变但是它的运动速度的方向在不断的变化。3.

速度和角速度的关系（线量和角量）：△rSθ△=t△S=v△lim△t0t△θ△lim△t0r=rω量值的关系=×rv方向的关系ω=×rvωωω·0rv注意：物体转动的转向不等于角速度矢量的方向体现运动速度的方向变化的物理量：向心加速度an严格地说：匀速率圆周运动是一种变速曲线运动，描述运动速度的方向变化的物理量：向心加速度an，始终指向圆心，它只改变质点的速度方向，而不改变速度的大小。0·vωAan向心加速度an量值的推导：a=△vt=△lim△t0dvtdvA0r·AωvB△θvBvA△v局部放大图当△t0

时（即△θ0（

则△v趋于和vA垂直，在极限的情况下，点A的加速度a

垂直于vA而且指向圆心0，此加速度称向心加速度用an表示。a=dvtd所组成的三角形，又有∵△A0B

≌由

△

vA、

vB、v

vA＝

vB＝

v∴△v＝vABr两边除以△t得：根据相似三角形的比例关系：vA0r·AωvB△θvBvA△v局部放大图B△θ△v＝vABr△t△t···a=△vt△lim△t0=lim△t0vABr△t···当△t0

时（即△θ0（AB＝AB△tAB=lim△t0vr···=lim△t0vABr△t=vr2=vr2an=rω2三.

变速圆周运动：作圆周运动的物体其运动速度的量值和运动方向时刻在变。vA0r·AωvB△θBvBvA△v局部放大图△θ假设：＞vBvA在vB上截取vA的长度：△vn△vt△v＋＝△vn△vta=△vt=△lim△t0△t0lim△t＋△vn△vt=△vt+△lim△t0△t0lim△t△vtna＋=anat匀变速圆周运动总加速度的矢量式an法向加速度at切向加速度a＋=anat匀变速圆周运动总加速度的矢量式结论在变速圆周运动中，任意时刻的瞬时加速度可用法向加速度an

和切向加速度at

来表示。en和et分别表示法向基本单位矢量、切向基本单位矢量法向加速度Rvne2a=nRv2a=n表述速度方向改变快慢的物理量方向指向圆心切向加速度vda=ttedtvda=tdt表述速度大小改变快慢的物理量沿切线方向a＋=anatRvne2=vd＋tedt匀变速圆周运动总加速度的量值aanat=22+=Rv22＋vddt2匀变速圆周运动总加速度的方向=aarctgatana·0anPataωθ·0anPataωa与an的夹角=θarctganata与at的夹角即a与v的夹角。归纳由于速度v量值的变化所引起的。1.切向加速度的产生是vda=ttedt由于速度v方向的变化所引起的。2.法向加速度的产生是Rvne2a=n3.物体在匀速率圆周运动中速度大小不变，Rv2只有速度方向的改变，所以加速度为a＋=anatRvne2=vd＋tedt4.一般来说总加速度a的方向并不指向圆周运动的圆心。4.一般来说总加速度a的方向并不指向圆周运动的圆心。taθvanaaaω总加速度a与

v成钝角tdd0物体作减速运动v＜则at与v的方向相反总加速度a与

v成锐角tdd0物体作加速运动v＞则at与v的方向相同taθvnaaaω5.对于物体作任意曲线运动：vωρ05.对于物体作任意曲线运动：vωρ0naataa=anatv2=vddtρ曲率半径曲率半径例如：地球绕太阳运行的情况：地球太阳vvvvvvvv近日点远日点aaaaaaaaθθ＜90°加速区θθ＞90°减速区四.

角加速度、匀变角加速度:角加速度的符号：α

单位：rad/s2平均角加速度：瞬时角加速度：t△ω=α△dωt△ω=α△=lim△t0dt=dθdt22v=ω△rv=ωr△αt△v=a△=lim△t0t△ω=△lim△t0rrdωdt=rt变速圆周运动中加速度的角量和线量的关系:at=ara2=vnr=rω()2r=rω2a2=vnr=rω2圆周运动的运动方程匀变速圆周运动匀变速直线运动t＝ωω0+a＝θ0θ+ω0t+12ta2＝ωω0+222a－θ0θ(）v=v0+atxt1=v0+at2x0+2v=v0+ax222(－x0）匀速圆周运动θ0tωθ0－＝这些规律公式都非常重要必须牢记，以便应用！例题：在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系v=ct

（式中c为常数），则从t=0到t时刻质点走过的路程：

S（t）=__________t时刻质点的切向加速度：at=___________t时刻质点的法向加速度：an=___________练习册P29填充题1提示：用运动学第二类方法求解：v=dSdtv=dSdt两边积分可求得S（t）at=dvdt用可求得atan=vR用可求an22ct31ct3ctR422(1)质点在

t时刻的速率(2)

质点的切向加速度和法向加速度的(3)当t为何值时，切向加速度和法向加速度相等例题：一质点作圆周运动，其路程与时间的关系为,12b20vttS=－v0

和b

都是正的常数求：大小为多少？总加速度的大小和方向？分析：从题意可知这是匀变速圆周运动的题目，要用到前面所学的知识。(1)质点在

t时刻的速率：=v=dSdt12b20vtt－´=0vt－b(2)

质点的切向加速度和法向加速度的大小为多少？总加速度的大小和方向？avaanatωat=vddt´=0vt－b=－b=anv2R=0vt－b2Raanat=22+匀变速圆周运动总加速度的量值=2＋20vt－bR()b－2匀变速圆周运动总加速度的方向=αarctganat=arctg20vt－bR()b－(3)当t为何值时，切向加速度和法向加速度相等？at=vddt´=0vt－b=－b=anv2R=0vt－b2R=根据题意：得到：atanb=0vt－b2R解得：b0vt－bR=(）例题：已知质点绕半径为0.2米作圆周运动，其转过的弧长与时间的函数关系是：S＝2t2＋3t＋1（SI制）求：（1）

前2秒内质点的平均速率

（2）质点在第2秒末的瞬时速率

（3）质点在第2秒末的切向加速度、法向加速度和总加速度。(练习册P4计算题3)（本题完）例题：已知质点绕半径为0.2米作圆周运动，其转过的弧长与时间的函数关系是：S＝2t2＋3t＋1（SI制）求：（1）

前2秒内质点的平均速率

（2）质点在第2秒末的瞬时速率

（3）质点在第2秒末的切向加速度、法向加速度和总加速度。(练习册P4计算题3)解：t△S=v△（1）

前2秒内质点的平均速率=2×22＋3×12＋2－0（）－1=142=7（m/s）（2）质点在第2秒末的瞬时速率tdS=vd=2t＋3t＋12´=4t＋3t

=2=11（m/s）（3）质点在第2秒末的切向加速度（3）质点在第2秒末的切向加速度at=vddt=4t＋3´=4（m/s2）=anv2R法向加速度=11（）20.2=605（m/s2）总加速度aanat=22+=42+6052=605.013（m/s2）例题：质量为2kg的物体，t＝0从某点出发，作半径为3米的圆周运动，已知角位置的表达式是＝0.5π，求：（1）1秒时的速率、切向加速度、法向加速度（2）从开始到1秒该物体经过的路程（3）作用于该物体上的合力所作的功。练习册P24填充题3θt2例题：质量为2kg的物体，t＝0从某点出发，作半径为3米的圆周运动，已知角位置的表达式是＝0.5

，求：（1）1秒时的速率、切向加速度、法向加速度（2）从开始到1秒该物体经过的路程（3）作用于该物体上的合力所作的功。练习册P24填充题3θt2π解：由θ=ddtωv=rω=0.5πt2´=πt=3πt×t

=1=3π（m/s）（1）1秒时的速率切向加速度at=vddt=3tπ´=π3（m/s2）=anv2R法向加速度=t

=1=3πt（）233π2（m/s2）（2）从开始到1秒该物体经过的路程例题：质量为2kg的物体，t＝0从某点出发，作半径为3米的圆周运动，已知角位置的表达式是＝0.5

，求：（1）1秒时的速率、切向加速度、法向加速度（2）从开始到1秒该物体经过的路程（3）作用于该物体上的合力所作的功。练习册P24填充题3θt2π（2）从开始到1秒该物体经过的路程:解：由θ=RS=3=0.5πt2×t

=11.5π（m）（3）作用于该物体上的合力所作的功：由动能定理：vW=21mv2－21m20=π=21×2×329π2（J）例题：对于沿曲线运动的物体，以下说法中哪一个是正确的：（A）切向加速度必不为零。（B）法向加速度必不为零。（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。×匀速圆周at＝0×≠0×有an（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零。（D）若物体的加速度为恒矢量，则它一定作匀变速率圆周运动。×不一定是圆周运动例题：已知质点的运动方程为：求：任一时刻该质点的切向加速度和法向加速度。（SI制）x＝2ty＝42－t解：由运动方程可求得质点速度的x和y分量(m/s)vx＝dt＝2dxvy＝dt＝2dy－t(m/s)v=vx2vy2+=2t2+2－t2=+212同样可求得质点加速度的x和y分量avd=td∵(1)avd=tdxx=0avd=tdyy=－2（m/s2）∴

加速度的量值为：a=ax2ay2+avd=tdxx=0avd=tdyy=－2=2（m/s2）(2)

对（1）式求导得切向加速度v=t+212(1)at=vddt(3)=t+212´=2t+12t由（2）式和（3）式可得法向加速度a=an2at2-=2t+12（m/s2）体会：当质点作一般曲线运动时，用公式an＝求法向加速度是比较麻烦的，因为曲率半径不容易计算。但是先求出质点的切向加速度和总加速度再利用公式：求法向加速度就非常方便了。v2ρa=an2at2-例题：一个质点在

r＝0.10

米的圆周上运动，其角位置

求:（1）2

秒时质点的切向加速度

法向加速度和总的加速度θ3＝＋24t（单位red和s）（2）切向加速度为总加速度一半时，

值为多少？θ分析：此题可以用角量和线量的关系来做。at=ara2=vnr=rω2dωα=dt=dθdt22其中=2＋4t3´´=t24t=2=48（red/s2）切向加速度：at=ar=0.10×48=4.8（m/s2）法向加速度：a2=vnr=rω2法向加速度：θ=ddtω其中=2＋4t3´=t12t=2=248an=rω2=0.10×48（m/s2）2=230.4总加速度：aanat=22+4.8（m/s2）=22+230.4=230.45（2）切向加速度为总加速度一半时，

值为多少？θaanat=22+t21aan=2t32等式两边平方后：=3×（r24t2×）r12t×2（）2224rt（）32=r212t2（）424rt（）32=r212t2（）4t3=123=0.29（s）=2＋4t3θ＋=2＋＋4×0.29=3.15（red）（2）切向加速度为总加速度一半时，

值为多少？θ如果再问t＝？时，切向加速度和法向加速度的量值相等。at=ara2=vnr=rω2==r24t×r12t×2（）2t=0.55（s）（本题完）例题：一架吊扇，叶片长R＝0.50米，以n＝180

转/分的转速转动，关电后吊扇均匀减速，经过1.5分钟后停止转动。求：（1）吊扇原来的角速度ω0和叶尖点的线速度v0（2）关电后，叶尖的角加速度切向加速度、法向加速度和t＝80秒时的角速度。分析：此题用匀变速圆周运动的方程公式来做。（1）吊扇原来的角速度ω0ω＝n02π60＝2π×180＝18.8（red/s）＝v0Rω0＝0.50×18.8＝9.4(m/s)（2）关电后，叶尖的角加速度：（2）关电后，叶尖的角加速度:t＝ωω0+a由:aω0＝ω－t△＝0－18.81.5×60＝－0.209（red/s2）切向加速度at=aR0.50×（－0.209）－0.105==（m/s2）负号表示与速度v

的方向相反法向加速度an=rω2（2.08）×0.502.16=2方向指向吊扇中心=（m/s2）t＝80秒时的角速度：t＝ωω0+a由:=18.8－0.209×80=2.08（red/s）（完）例题：如图所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为L，连杆长为l。当曲柄以匀角速度ω绕O旋转。试求：活塞的运动方程φAQPrlo.Bω活塞连杆曲柄xφxφrlsinrt=φω2cos=+xrsinrl22φφ=+sinl2tω121rl()2...2sinrl22tω∴可以略去级数展开后的高阶小量13.5rl∵=φAQPrlo.Bω解：2cos=+rsinrl22tωtω(1)sinl2tω121rl()22sinrl22tω»(2)2cos=+rsinrl22tωtωx(1)sinl2tω121rl()22sinrl22tω»(2)=sin2tω1cos2tω()21(3)由式(1)、(2)、(3)得到：l141rl()2cos=rtωxcos2tω+41rl()2ll141rl()2cos=rtωxcos2tω+41rl()2l=l141rl()2xx´令：cosrtωcos2tω+