第二章 流体力学的基本方程(3)

三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程流体力学课程重点1第六节伯努利（Bernoulli）能量方程元流的伯努利能量方程总流的伯努利能量方程流体的能量方程是能量守恒及转换定律的具体体现。2一、元流的伯努利方程

(流线上的伯努利方程)（一）伯努利方程的建立能量守恒定理：外力作功之和流体末动能流体初动能能量守恒定理可叙述为：时段dt内流段动能的增量等于同时段内外力对流段作功之总和。3设有一定常、不可压缩、质量力只有重力的元流，取两过水断面1、2，其上流速和压强分别为：在时段dt内，元流1-2运动至1′-2′的位置。41、动能的增量由不可压缩元流的连续方程：故整个流段在dt时间内动能的增量为：5重力所作的功等于位能的减少。摩擦力对流体作负功，它等于1-1′微段流体历经全程运动至2-2′，阻力所作的功。2、外力作功总和6表示摩擦阻力对微元流段平均按单位重力流体计算沿全程所作的功。根据能量守恒定理得：两边同除以流体重量，则得单位重量流体的关系式：7这就是重力作用下不可压缩流体、定常元流的伯努利方程，它表明沿元流各断面位置高度、压强及流速三个运动参数之间的变化规律。对于理想流体而言：8

伯努利（DanielIBernoulli1700～1782）瑞士著名科学世家伯努利家族的重要成员之一。1700年1月29日出生于荷兰的格罗宁根。1782年3月17日卒于格罗宁根。终生独身。1725～1749年间，他曾十次获得法国科学院的奖金。第一次获奖时仅24岁，当时他设计了一架用于海上测定时间的漏壶。他的研究领域包括数学、力学、磁学、潮汐、洋流、行星轨道等。他曾与瑞士数学家L．欧拉和苏格兰数学家C．马克劳林合作撰写关于潮汐的论文并获奖．他提出理想流体的能量守恒定律，即单位重量液体的位置势能、压力势能和动能的总和保持恒定，后即称为伯努利定理。在此基础上，又阐述了水的压力、速度之间的关系，提出了流体速度增加则压力减小这一重要结论。

9（二）伯努利方程式的意义1、几何意义伯努利方程各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。

伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，单位质量流体所具有的位置水头，压强水头，速度水头之和即总水头（或总机械能）为一常数。位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头102、物理意义实际流体沿元流从一个断面流到另一个断面时，位能、压强势能、动能可以互相转化，但在流经前一个断面时所具有的单位总机械能，应等于它在流经后一个断面时所具有的单位总机械能，与流体在流经两断面之间过程中的单位阻力损失之和。换句话说，在定常条件下，沿流动方向，流体单位总机械能总是减小的，反映了机械能既转换又守恒的关系，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应用，又称为能量方程。11总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。***************************************对于理想元流，其任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。12代表单位重力流体的位置势能代表单位重力流体的压强势能代表单位重力流体的总势能代表单位重力流体的动能代表单位重力流体的总机械能代表单位重力流体克服流动阻力而消耗掉的机械能13

水头线将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。测压管水头线总水头线位置水头线水平基准线3、伯努利能线图（水头线）理想流体恒定元流的总水头线是水平的。14位置水头线实际流体总水头线水平基准线测压管水头线oo理想流体总水头线特点：实际流体恒定元流的总水头线是下降的，其它水头线可升可降。15（三）元流伯努利方程的应用射出小孔的诸元流都通到大气界面上，小孔中心B处的元流来自自由界面之上的A处（不必确定一点），对A、B两点列伯努利方程：1617

应用伯努利方程式，利用皮托管可以测定运动流体的速度。总压和静压的概念：设在以均匀速度V水平流动的流体中有一障碍物，在受阻中心一点（驻点），流动完全停止，该点压强记为P0，称为总压。在终止于驻点的元流上，障碍物远前方未受到扰动的一点处，流速为V，压强为P，称为静压。对元流上驻点和未受扰动点列伯努利方程：故只要测出流动中一点的总压和静压，则该点流速即可算出。18AhⅡ管BⅠ管v代入伯努利方程假设

Ⅰ、Ⅱ管的存在不扰动原流场。用于测量总压的弯成90°的管子，称为皮托管。由法国人皮托发明，并于1773年首次测量塞纳河的流速。19

实际使用中，在测得h，计算流速v

时，还要加上毕托管修正系数c，即毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。

实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。Ⅰ管——测压管，开口方向与流速垂直。Ⅱ管——总压管，开口方向迎着流速。Ⅱ管Ⅱ管测压孔Ⅰ管Ⅰ管测压孔********************************思考为什么？20二、总流的伯努利方程1、总流伯努利方程的建立如图所示为一总流，上、下游各取一过水断面，在断面上任取一元流，对该元流列伯努利能量方程：单位时间内两元流过水断面间的能量关系有：21将元流迭加，得单位时间内总流过水断面1-1和2-2间的能量关系式：上式可改写为：22根据连续方程，有：为得到便于应用的形式，需作以下处理：所以有：体积流量渐变流有两个特点：（1）流线间的夹角很小，流线几乎是平行的；（2）流线具有很大的曲率半径，即流体惯性很小，可近似认为质量力只有重力。23流速分布越均匀，α越接近于1.0；流速分布越不均匀，α的数值越大。在一般的渐变流中的α值为1.05-1.10。为简单起见，也常近似地取α=1.0。2425

总流水头线的画法和元流水头线是相仿的，其中位置水头线一般为总流断面中心线。恒定总流能量方程的几何表示——水头线

与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oo***********26

均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过水断面上测压管水头是常数只能在同一过水断面上应用上述结论，因为x

方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。

渐变流近似于均匀流，所以渐变流过水断面上的测压管水头可视为常数，任何一点的测压管水头都可以当作过水断面的平均测压管水头。************^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^27渐变流过水断面上测压管水头的积分

急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^28渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO12322923z1z3z2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向302、总流伯努利方程应用注意事项（1）总流伯努利方程式的应用条件不可压缩流体的定常流动；质量力只有重力；所取断面应是渐变流断面，但在其间可不必要求；没有其它形式的能量的输入输出；上、下游两过水断面属于同一个总流，无总流的分出、汇入。311、取定基准面后，位置水头Z原则上与P/γ取在过水断面上的同一点，一般为过水断面的中心位置；2、P可取绝对压强，也可取相对压强，但方程两端要一致；3、α值，紊流α=1，层流α=2；4、hω

=Σhf+Σhj：沿程阻力损失与局部阻力损失之和。

hf（沿程阻力损失）—与流道的形状无关，取决于流体的属性（粘性）。

hj（局部阻力损失）——与流道的形状有关。（2）方程中各项的取值32（1）沿程有能量输入或输出的伯努利方程式3、总流伯努利方程的扩充总流两断面间如果装有泵、风机、水轮机等装置，流体流经这些装置就会有能量交换，则总流的伯努利方程式为：HP——对流过总流两断面间每单位重流体输入或输出的能量。“+”——对应于水泵；“-”——对应于水轮机。331122ooz水泵管路系统==000z水泵34水泵的功率单位时间水流获得总能量分子水泵效率分母扬程扬程提水高度35引水渠压力钢管水轮机122ooz1水轮机管路系统=z0=0036水轮机功率单位时间水流输出总能量水轮机效率扬程水轮机作用水头不包括水轮机系统内的损失37（2）沿程有分流的伯努利方程式通过过流断面1的流体，不是流向断面2，就是流向断面3，对断面1-2，1-3分别列出伯努利方程式：38将上面方程1乘以，方程2乘以，然后相加，且，最后得分流的伯努利方程式：39（3）沿程有汇流的伯努利方程式同理可得汇流的伯努利方程式：404、总流伯努利方程的应用恒定总流伯努利能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。(1)一个跌水的例子取顶上水深处为1-1断面，平均流速为v1，取水流跌落高度处为断面2-2，平均流速为v2，认为该两断面均取在渐变流段中。基准面通过断面2-2的中心点。1122oahv1v2o41=a

+h=0=0

在水面点取值四周通大气，取断面形心处的位置水头忽略空气阻力写出总流能量方程如已知a，h，v1，即可求出v2近似地取

整股水流的水面都与大气相通，属于无压流动，因此在流动过程中我们仅看到位置势能和动能之间的转换。

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文透里管是一种常用的量测管道流量的装置，它包括“收缩段”、“喉道”和“扩散段”三部分，安装在需要测定流量的管道上。在收缩段进口断面1-1和喉道断面2-2上接测压管，通过量测两个断面的测压管水头差，就可计算管道的理论流量Q，再经修正得到实际流量。

d11d2221Qh1h2@@@@

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(2)文透里流量计43d11d2221Qh1h2根据恒定总流连续方程：即：如图所示，对1-1，2-2断面列伯努利方程式：44代入上式，得：所以理论流量为：45

当管中流过实际液体时，由于两断面测管水头差中还包括了因粘性造成的水头损失，流量应修正为：

其中：称为文透里管的流量系数，由实验标定；K由几何参数确定；由仪表读数确定。式中：46d11d2221Q2d22Qd111斜置上下游倒置思考文透里管可否斜置?可否上下游倒置?47例题:48取池面为1-1断面，水泵入口处为2-2断面，对1、2两断面列伯努利能量方程：解：49如果泵的入口处压强降低得很多的话，则泵的工作流体易发生相变，即水的汽化，降低了泵的使用寿命。50作业：2-242-2851第七节动量方程和动量矩方程动量方程——用于求解运动流体与固体边壁之间相互作用力的问题。动量定理：物体运动时，动量的时间变化率，等于作用在该物体上所有外力的矢量和。数学表示为：52一、恒定总流的动量方程假设条件：不可压缩的流体作定常流动，总流1-2经时段运动至1′-2′，则动量变化为：53引入断面平均流速，则按平均流速计算动量时，就应引入动量修正系数：54所以：55动量方程（2-107）在三个坐标轴上的投影为：（2-131）（2-130）56应用动量方程解题的注意事项：动量方程是一个矢量方程（选定坐标系）；动量方程中

是指外界作用在流体上的力；动量修正系数β的取值，对于圆管层流为4/3，对于圆管紊流和一般的工业管道，近似取为1；外力和速度的方向问题，它们与坐标方向相同时为正，与坐标方向相反时为负。而（2-131）式中左边所固有的“-”号与速度的正、负无关，这个“-”号只表示流入，而不表示流入速度的方向。57二、恒定总流动量方程式的应用在如图所示的变径弯管中，已知：

58取1-1和2-2断面及弯管内表面为流管控制体。作用在流体质点系的总外力包括：弯管对控制体内流体的作用力：过流断面上外界流体对控制体内流体的作用力：假定管道在水平面内，重力不予考虑，分别列X和Y方向的动量方程：59由此解出流体对管道的作用力：计算结果如果为正，则流体对管道的作用力方向与原假设一致，否则，则与原假设相反。合力的大小和方向为：（2-110）60特例1：直角变径弯管61特例2：直角等径弯管62特例3：反向等径弯管63特例4：逐渐收缩管64特例5：等径直管等径直管中流体对管道的作用力实质上就是作用在管壁上的摩擦力,将除以管壁的摩擦面积，即可得管壁上的切应力：65只要测出相距为L的两断面上的压强差，则可计算直管壁上的切应力和摩擦力。若列1、2两断面的伯努利方程，由于66特例6：突然扩大管(A)突然扩大处流线不能转折，在“死角”处产生旋涡，旋涡区内的流体没有主流方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然扩大台肩圆环断面上的静压力，此台肩上的静压强是，静压力的方向向左，即：67(B)再列1、2两断面上的伯努利方程，可得：(D)(C)由（C）、（D）两式即可得出突然扩大管的局部水头损失：包达定理68表达一切局部阻力损失的普遍公式！69弯管水平转过60度d=500mmQ=1m3/s已知v1R’xP1P2R’y

R’v2oyx112260o水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力R求例

恒定总流动量方程应用举例70代入解得R为R’的反作用力v1R’xP1P2R’y

R’v2oyx112260o71上下游断面取在渐变流段上。动量方程是矢量式，式中作用力、流速都是矢量。动量方程式中流出的动量为正，流入为负。分析问题时，首先要标清流速和作用力的具体方向，然后选取合适的坐标轴，将各矢量向坐标轴投影，把动量方程写成分量形式求解。在这个过程中，要注意各投影分量的正负号。本例要点72本例中流体水平转弯，铅垂方向无动量变化，重力不出现。对于未知的边界作用力可先假定一个方向，如解出结果为正值，说明原假设方向正确；如解出结果为负值，则作用力方向与原假设方向相反。方程中应包括作用于控制体内流体的一切外力：两断面上的压力、重力、四周边界对水流的作用力。不能将任何一个外力遗漏。动量方程中出现的是弯管对水流的作用力，水流对弯管的作用力是其反作用力。73112233αp1v1v2v3xyo三、求解恒定总流问题的几点说明恒定总流的三大方程，在实际计算时，有一个联合应用的问题，应根据情况灵活运用。

在有流量汇入或分出的情况下，要按照三大方程的物理意义正确写出它们的具体形式。p2p374p1112233αv1v2v3