第4章判别分析

1第四章判别分析第一节引言第二节距离判别法

第三节Bayes）判别法

第四节Fisher）判别法

第五节实例分析与计算机实现

2第一节引言在我们的日常生活和工作实践中，常常会遇到判别分析问题，即根据历史上划分类别的有关资料和某种最优准则，确定一种判别方法，判定一个新的样本归属哪一类。例如，某医院有部分患有肺炎、肝炎、冠心病、糖尿病等病人的资料，记录了每个患者若干项症状指标数据。现在想利用现有的这些资料找出一种方法，使得对于一个新的病人，当测得这些症状指标数据时，能够判定其患有哪种病。又如，在天气预报中，我们有一段较长时间关于某地区每天气象的记录资料（晴阴雨、气温、气压、湿度等），现在想建立一种用连续五天的气象资料来预报第六天是什么天气的方法。这些问题都可以应用判别分析方法予以解决。3把这类问题用数学语言来表达，可以叙述如下：设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）G1，G2，…，Gk中的某一类，且它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，…，Fk(x)。我们希望利用这些数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来，并对测得同样p项指标（变量）数据的一个新样本，能判定这个样本归属于哪一类。4判别分析内容很丰富，方法众多：按判别的总体数来区分，有两个总体判别分析和多总体判别分析；按区分不同总体所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别；按判别时所处理的变量方法不同，有逐步判别和序贯判别等。判别分析可以从不同角度提出问题，因此有不同的判别准则，如马氏距离最小准则、Fisher准则、平均损失最小准则、最小平方准则、最大似然准则、最大概率准则等等，按判别准则的不同又提出多种判别方法。本章仅介绍常用的几种判别分析方法：距离判别法、Fisher判别法、Bayes判别法。5第二节距离判别法一马氏距离的概念二距离判别的思想及方法

三判别分析的实质

6一、马氏距离的概念

7图4.189为此，我们引入一种由印度著名统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis,1936）提出的“马氏距离”的概念。

1011所以，马氏距离有如下的特点：

2、马氏距离是标准化后的变量的欧式距离1、马氏距离不受计量单位的影响;

123、若变量之间是相互无关的，则协方差矩阵为对角矩阵1314二、距离判别的思想及方法 1、两个总体的距离判别问题问题：设有协方差矩阵∑相等的两个总体G1和G2，其均值 分别是1和

2，对于一个新的样品X，要判断它来自哪个总体。一般的想法是计算新样品X到两个总体的马氏距离D2（X，

G1）和D2（X，G2），并按照如下的判别规则进行判断这个判别规则的等价描述为：求新样品X到G1的距离与到G2

的距离之差，如果其值为正，X属于G2；否则X属于G1。15我们考虑1617

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例4.1在企业的考核中，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核企业经营状况的指标有：资金利润率=利润总额/资金占用总额劳动生产率=总产值/职工平均人数产品净值率=净产值/总产值三个指标的均值向量和协方差矩阵见下页表格。现有二个企业，观测值分别为（7.8，39.1，9.6）和（8.1，34.2，6.9），问这两个企业应该属于哪一类？19变量均值向量协方差矩阵优秀一般资金利润率13.55.468.3940.2421.41

劳动生产率40.729.840.2454.5811.67

产品净值率10.76.221.4111.677.9020

21经计算后，得出线性判别函数W（X）：

所以，该企业属于优秀企业。所以，该企业属于一般企业。22

23

24这里我们应该注意到：2526 2、多个总体的距离判别问题

27

28

29例4.2

30例4.231

例4.232例4.2

33例4.2

34例4.2

如何用EXCEL实现矩阵运算矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。矩阵相加、相减与数组的加减表达形式是一样的。例如，定义A和B均为3×3的数组，如果输入“=A＋B”或“=A-B”，计算结果是数组对应项相加或相减，矩阵相加、相减与数组的加减表达形式与之相同。但注意，数组的乘、除计算与矩阵的乘、除计算是有区别的。输入“=A*B”表示数组A和B相乘（“=A/B”表示数组A除数组B），Excel是对两个数组中的每一对相对应的单元格进行乘或除运算，其计算规则显然不同于矩阵运算。如果要进行矩阵乘、除计算，就要用到相应的矩阵函数。表示矩阵相乘可以输入“=MMULT(A，B)”，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A，MINVERSE（B）)”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。对于更复杂的矩阵计算，可以采用分步计算Excel中的常用矩阵运算函数矩阵的转置：复制-选择性粘贴-转置，或transpose()求行列式：MDETERM(array)求逆矩阵：Minverse(array)矩阵相乘：MMULT(array1，array2)

注意结果矩阵的行数与array1的行数相同，矩阵的列数与array2的列数相同。37三、判别分析的实质*我们知道，判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。为了更清楚的认识判别分析的实质，以便能灵活的应用判别分析方法解决实际问题，我们有必要了解“划分”这样概念。设R1，R2，…，Rk是p维空间Rp的k个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为Rp，则称R1，R2，…，Rk为Rp的一个划分。38

这样我们将会发现，判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p维空间Rp构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。这一思想将在后面的各节中体现的更加清楚。39课下作业

40第三节贝叶斯（Bayes）判别法一Bayes判别的基本思想

二Bayes判别的基本方法*

三Bayes判别与距离判别的联系

41从上节看距离判别法虽然简单、便于使用，但是该方法也有它明显的不足之处。 第一，把总体等同看待，没有考虑到总体会以不同的概率（先验概率）出现，也即判别方法与总体各自出现的概率的大小无关。 第二，判别方法与错判之后所造成的损失无关，没有考虑误判之后所造成的损失的差异。

Bayes判别法就是为了解决这些问题而提出的一种判别方法，其判别效果更加理想，应用也更广泛。一、Bayes判别的基本思想42一、Bayes判别的基本思想

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例4.3：办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为0.5。坏人总是要做坏事，偶尔会办件好事；好人总是做好事，偶尔也会做件坏事：一般好人做好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2。一天，小王做了一件好事，请问小王是好人的概率有多大?你现在如何判别小王的善恶?1、最大后验概率准则44例4.3同理：

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用数学的语言归纳：46

用数学的语言归纳：47

2、最小平均误判代价准则48

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51二、Bayes判别的基本方法*

如果已知样品X来自总体Gi的先验概率为qi，，则在规则R下，由（4.12）式知，误判的总平均损失为5253

三种函数在统计意义上的区别*

54贝叶斯判别的解*

55对4.14a式的直观理解*56贝叶斯判别的解*

57贝叶斯判别的解*

58判别准则

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两个总体时的情况：60