发现隐藏函数为此豁然开朗

本文格式为Word版，下载可任意编辑——发现隐藏函数，为此豁然开朗近几年，厦门的中考压轴题测验的都是初中数学的核心学识，如考数形结合思想，函数与方程的思想，转化的思想，以及良好的作图习惯等.涉及的根本解题方法和技能包括面积法、锐角三角函数的运算法、坐标法等.压轴总是难倒了好多学生，由于找不到解决问题的关键之处和突破口，更由于有畏难心绪.其实，厦门这几年中考压轴题的第（1）小题并没有作对学生，只是测验了数学的根本学识、根本方法和根本技能，表达了面向全体学生的指导思想.而所谓的压轴难题，貌似也都能找到题眼——暗藏函数.现解析厦门近三年中考压轴题，与大家共享.

1.函数暗藏于问题里

例1：（2022年厦门）已知抛物线y=-x+2mx-m+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P.（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP面积S的取值范围.

分析：（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=-，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数解析式；

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）+2），根据AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值，从而表示出△OPE的面积，进而求得面积的取值范围.

解答：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），

设P（1，n），据x=-，得A点的横坐标为m，即m=2，

所以y=x+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，

即P点的坐标为（1，1）.

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）+2，

可知A（m，2），设C（n，2），

把n代入y=-（x-m）+2得y=-（n-m）+2，

所以P（n，-（n-m）+2）.

∵AC=CP，

∴m-n=2+（m-n）-2，

即m-n=（m-n），

m-n=0或m-n=1，

又∵C点不与端点A、B重合，

∴m≠n，

即m-n=1，

那么A（m，2），P（m-1，1）.

由AC=CP可得BE=AB，

∵OB=2，

∴OE=2-m，

∴△OPE的面积S=（2-m）（m-1）=-（m-）+（10）的交点.（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM.若AM=BM，求点B的坐标；

（2）设点P线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y=（k>0）于点N.当取最大值时，若PN=，求此时双曲线的解析式.

分析：（1）过B作BQ⊥x轴，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线（k>0）上，得到即c=3d，那么A点坐标为（1，3d），根据勾股定理计算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）=2+d，求出d的值，即可确定B点坐标.

（2）由B（3，d）可得到反比例函数的解析式y=，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-dx+4d，那么可设P（t，-dt+4d），那么N（t，），表示出PN=-dt+4d-，NE=，再计算==t+t-1，配方得-（t-2）+，由于取最大值，所以t=2，此时PN=-dt+4d-=，解方程得到d的值，即可确定双曲线的解析式.

解答：（1）如图，过B做BQ⊥x轴，

∵点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y=（k>0）上，

∴1·c=3·d，即c=3d，

∴那么A点坐标为（1，3d），

∴AM=3d，

∵MN=3-2=1，BN=d，

∴MB=，

而AM=BM，

∴（3d）+2+d，

∴d=，

∴B点坐标为（3，）.

（2）如图，把B（3，d）代入y=得k=3d，

∴反比例函数的解析式为y=，

把A（1，3d）、B（3，d）代入y=kx+b得

k+b=3d

3k+b=d，

解得

k=-d

b=4d，

∴直线AB的解析式为y=-dx+4d.

设P（t，-dt+4d），那么N（t，），

∴PN=-dt+4d-，NE=，

∴==-t+t-1=-（t-2）+，

当取最大值时，t=2，

此时PN=-dt+4d-=，

∴-2d+4d-=，

∴d=1，

∴反比例函数的解析式为y=.点评：第（1）小题以反比例函数为载体，“点在函数图像上，那么点的横纵坐标得志其解析式”，察觉数量关系，秉着未知量越少越好的原那么，用正确的字母表示点坐标，再利用勾股定理计算有关线段长度.

第（2）小题解题的关键在于条件“当取最大值时”，事实上它就是一个暗藏函数，是存在最大值的暗藏函数.如何用含有字母的代数式表示，是解决此题的关键也是难点.这就对较繁运算提出了更高的要求.除了要有全面的观念及对问题的整体把握外，同时还要留神函数建模在解题过程中的生动运用.

3.函数藏于“不起眼”处

例3：（2022年厦门）若x，x是关于x-bx+c=0的方程的两个实数根，且|x|+|x|=2|k|（k是整数），那么称方程x+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x-6x-27=0，x-2x-8=0，x+3x-=0，x+6x-27=0，x+4x+4=0，都是“偶系二次方程”.

（1）判断方程x+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由.

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x|+|x|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论.

（2）由条件x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x|+|x|就可以得出结论.

解答：（1）不是.

解方程得x+x-12=0得x=3，x=-4.

|x|+|x|=3+4=7=2×3.5.

∵3.5不是整数，

∴x+x-12=0不是偶系二次方程.

（2）存在.理由如下：

∵x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程，

∴假设c=mb+n，

当b=-6，c=-27时，-27=36m+n.

∵x=0是偶系二次方程，

∴n=0时，m=-，

∴c=-b.

∵x+3x-=0是偶系二次方程，

当b=3时，c=-×3.

∴可设c=-b.

对于任意一个整数b，当c=-b时，

△=b-4c=4b.

∵x=，

∴x=b，x=b.

∴|x|+|x|=2b，

∵b是整数，

∴对于任何一个整数b，c=-b时，关于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”.

点评：（1）历年来大量地区的中考题中常有涉及阅读型的新题型，只要学生读懂新概念的内涵，解答并不难.此题测验了一元二次方程解法的运用.

（2）测验了根的判别式的运用及数学建模思想的运用，解答此题时根据条件建立函数模型是关键.而此题的函数模型竟然暗藏在题目给出的看似“很不起眼”的例子中，需要独具慧眼.

事实上，察觉暗藏的函数，找到解题突破口，并不能靠“碰运气”，而要以解题者的学识容量为背景，具备的才能为根基，敏锐的查看为先导，联想与分析为武器，应用已有阅历和学识举行再创造，正所谓“冰冻三尺非一日之寒”.

4.对教学的启示

4.1立足根基学识，关注核心教学内容.

根基学识、根本技能和根本方法是初中数学的主要内容，中考也着重测验这些内容.点生成线，线生成面，再繁杂的几何图形都是由简朴的根本图形构成的，所以，即使拔高性试题也是对这些根本学识、根本技能和根本方法的测验和再创造.因此教学中，要时刻留神以《课程标准》的要求指导教学，关注学识的再生性，让学生体会学识产生的过程和其他学识之间的联系，掌管其中的数学思想方法，加深对数学问题本质的理解.

4.2关注分析解决问题才能的培养.

中考不仅仅有对根本学识、根本技能和根本方法的测验，为了有区分度，综合大题更多的是测验学生分析解决问题的才能，包括学生的探究、归纳，实际应用、规律推理、分析问题、数学建模等方面的才能.而这些才能不是一蹴而就的，这就要求我们在平日的教学中，要立足才能的培养，而不是一味地传授学识，要学生更多的时间和空间，让学生参与到教学中，在获得新学识的过程中磨练才能.

4.3强调思想方法，强化归纳意识.

数学思想是数学根基学识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学学识之中，是数学学识的精华.在教学中，以确定的数学学识为载体，有意识地梳理和归纳问题中的“思想性”和“规律性”，让学生通过探究感受，体验学识得到的过程.这样的教学能使学生真正理解学识，掌管数学思想方法.而将学到的学识和思想方法再举行应用，分析和解决问题，从实践到理论，再从理论到实践，使得感性熟悉上升为理性熟悉.从而优化了学生的思维品质，提高数学才能，巩固学生创新意识.

4.4提防变式，举一反三.

目前“题海战术”还普遍存在.虽然学生全日忙着做题，但假设考试的时候展现背景熟谙的题目，稍微改了一下条件或者换了一种的提问方法，学生往往就会束手无策，不知如何下手.事实上，这只能说明学生并没有真正掌管学识，而只是就题做题，做一题只会一题，而不是会一类题.理由除了学生本身没有实时总结解题规律和方法外，教师也有需要留神的方面..教师在选取典型题时，不仅要引导学生分析解决问题，更要指出常见错误和产生理由，不仅让学生知其然，更知其所以然.除此以外，要擅长以典型例题为原型，导出同类的题目，可能是换条件，可能是换结论，把它们集中在一起，形成一个共同的认知体系.让学生对不同的立意、不同的解题策略举行归纳总结，变对单一学识点的测验为对多个学识点的测验，从而培养学生的应变才能，提高学生的解题才能.

4.5研究学情，关注学生进展.