近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编之立体几何【含答案】

近五年（2017-2021）高考数学真题类汇编

卜一、立体几何

一、多选题

1.（2021•全国高考真题试卷）在正三棱柱/8C—44G中，=点产满

足BP=2BC+,其中2e[0,1],[0,1],则（）

A.当工=1时，△"男尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥0一4'0的体积为定值

2=1

c.当5时，有且仅有一个点尸，使得4P"P

「I--1-

D.当2时，有且仅有一个点尸，使得48‘平面'与尸

二、单选题

2.（2021•浙江高考真题试卷）如图已知正方体'8CO—4qGA,M,N分别是

4。，平的中点，则（）

A.直线4。与直线A8垂直，直线"N//平面4SCZ）

B,直线耳。与直线0产平行，直线脑V，平面

C.直线4°与直线O'相交，直线"N//平面/BCD

D.直线4,与直线,由异面，直线平面

3.（2021•浙江高考真题试卷）某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是（

）

侧视图

33

--

23CD3

A.B.

4.（2021•全国高考真题试卷（理））已如4,B,C是半径为1的球。的球面上的三个

点，且ZC,8"C=8C=1,则三棱锥O-"C的体积为（）

V2V372V3

A.12B.12C.4D.4

5.（2021•全国高考真题试卷（文））在一个正方体中，过顶点/的三条棱的中点分别

为E,F,G.该正方体截去三棱锥*「MG后，所得多面体的三视图中，正视图如图

所示，则相应的侧视图是（）

正视图

6.（2021•全国高考真题试卷（理））在正方体'88—44G2中，p为8Q的中点,

则直线尸8与所成的角为（）

兀兀兀兀

A.2B.3c.4D.6

7.（2021•全国高考真题试卷）已知圆锥的底面半径为血，其侧面展开图为一个半圆，

则该圆锥的母线长为（）

A.2B,2^2c.4D.4啦

8.（2020•天津高考真题试卷）若棱长为26的正方体的顶点都在同一球面上，则该球

的表面积为（）

A.12乃B.24万c.36万D.144万

9.（2020・北京高考真题试卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三

棱柱的表面积为（）.

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.6+V3B.6+2百c.12+Gd.12+26

10.（2020•浙江高考真题试卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何

体的体积（单位：cn?）是（）

C.3D.6

11.（2020・海南高考真题试卷）日皆是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂

直的唇针投射到凸面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点

A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA

垂直的平面.在点/处放置一个日唇，若唇面与赤道所在平面平行，点N处的纬度为北

纬40。，则劈针与点/处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°

C.50°D,90°

12.（2020•全国高考真题试卷（文））下图为某儿何体的三视图，则该几何体的表面积

是（）

A.6+48B.4+48C.6+26

D.4+2

13.（2020•全国高考真题试卷（理））已知48，0为球。的球面上的三个点，。°|为

△/6C的外接圆，若。°|的面积为4兀，===,则球。的表面积

为（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

14.（2020•全国高考真题试卷（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的

形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧

面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

V5-1V5-1V5+1V5+1

A.4B.2C.4D.2

9G

15.（2020•全国高考真题试卷（理））己知△/8C是面积为丁的等边三角形，且其顶

点都在球O的球面上.若球O的表面积为16%，则。到平面ABC的距离为（）

3百

A,也D.T

B.2C.1

16.（2020•全国高考真题试卷（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱

的一个端点在正视图中对应的点为"，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视

图中对应的点为（）

E

GH

A.EB.FC.GD.H

17.（•浙江高考真题试卷）祖也是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“累势既同,

则积不容异”称为祖晒原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式'柱体=s7?,其中

S是柱体的底面积，〃是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该

柱体的体积（单位：cn?）是

6

H-2-H<-22-HH-3"»!<,1-3-H

正视图侧视图

A.158B.162

C.182D.324

18.（•全国高考真题试卷（理））如图,点N为正方形48CO的中心，AECD为正三

角形，平面£8,平面是线段上。的中点，则

A.BM=EN,且直线8加,EN是相交直线

B.BM*EN,且直线8",EN是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM*EN,且直线8例,EN是异面直线

19.（•浙江高考真题试卷）祖随是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幕势既同,

则积不容易”称为祖随原理，利用该原理可以得到柱体体积公式%体=0〃，其中S是

柱体的底面积，〃是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

侧视图

A.158B.162

C.182D.32

20.（•浙江高考真题试卷）设三棱锥/一/60的底面是正三角形，侧棱长均相等,

尸是棱以上的点（不含端点），记直线与直线4c所成角为a,直线P8与平面

ABC所成角为0,二面角P—ZC—8的平面角为7,则

。<y,a<y

A.B.

P<a,y<aDa<(3,y</3

C.

21.（•全国高考真题试卷（理））己知三棱锥尸-48C的四个顶点在球O的球面上,

PA=PB=PC,△ZBC是边长为2的正三角形，E,歹分别是0Z,48的中点，乙CEF=9。。,

则球O的体积为

A8迎兀B4m兀C2瓜兀D.瓜兀

22.（•全国高考真题试卷（文））设a,4为两个平面，则川夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与万平行

B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

23.（•上海高考真题试卷）己知平面a、P7两两垂直，直线。、bc满足：

a三a,bx/3,cjy,则直线a、b。不可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

24.（2018•浙江高考真题试卷）已知直线加，〃和平面牙,〃ua,则“机〃”，，是"

m〃a，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2018・上海高考真题试卷）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面

的四棱锥为阳马，设'4是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点

为顶点、以'4为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

26.（2018•浙江高考真题试卷）已知四棱锥S-N88的底面是正方形，侧棱长均相等,

E是线段"8上的点（不含端点），设%与6C所成的角为4,SE与平面48C。所

成的角为名,二面角S—48一。的平面角为“，则

A0,<e2<03Bc.9\&又&8D.仇&我

27.（2018•全国高考真题试卷（文））在长方体,88—中，

48=8C=2,"G与平面BSC。所成的角为30。，则该长方体的体积为

A.8B.6近c.8枝D,8百

28.（2018•北京高考真题试卷（理））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面

中，直角三角形的个数为

俯视图

A.1B.2

C.3D.4

29.（2018•全国高考真题试卷（文））某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图

所示，圆柱表面上的点”在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上

的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从"到N的路径中，最短路径的长度为

C.3D.2

30.（2018•全国高考真题试卷（理））设“加喏°。是同一个半径为4的球的球面

上四点，6c为等边三角形且其面积为96，则三棱锥。一”8C体积的最大值为

A.%百B.18百c.24GD.54百

31.（2018•全国高考真题试卷（理））中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的

凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放

的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可

以是

32.（2018•浙江高考真题试卷）某几何体的三视图如图所示（单位：皿），则该几何

体的体积（单位：cm3）是（）

33.（2018•全国高考真题试卷（文））在正方体'88—44GR中，E为棱CG的

中点，则异面直线/£与8所成角的正切值为

旦立亚正

A.2B.2c.2D.2

34.（2018•全国高考真题试卷（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为°、°2,

过直线402的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.12&兀B.12兀Q8正兀D.1°兀

35.（2018•全国高考真题试卷（理））在长方体'8C。—44Gq中，

AB=BC=1,』A[=也，则异面直线与。瓦所成角的余弦值为

J_V56

A.5B.6C.5D.2

36.（2018•全国高考真题试卷（理））己知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面

a所成的角都相等，则。截此正方体所得截面面积的最大值为

3G2V33>/2V3

A.4B.3C.4D.2

37.（2017•全国高考真题试卷（文））如图，在下列四个正方体中，A、8为正方体的

两个顶点，M、N、。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线45与平面

"N。不平行的是（）

未命名

未命名

三、解答题

38.（2021•全国高考真题试卷）如图，在三棱锥“一8。中，平面/8£>_L平面

BCD,AB=AD,。为8。的中点.

（1）证明：OAVCD.

（2）若△℃£>是边长为1的等边三角形，点E在棱/。上，DE=2EA,且二面角

E——O的大小为45°,求三棱锥/一BCD的体积

39.（2021•全国高考真题试卷（文））如图，四棱锥尸一的底面是矩形,

PD上底面“BCD,M为8c的中点，且尸

B

(1)证明：平面尸/M，平面28。；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥尸一Z8C。的体积.

40.(2021•浙江高考真题试卷)如图，在四棱锥产一N8C。中，底面N3CZ)是平行四

边形，48c=120°,'8=1,8C=4,PN=>/!?,乂,N分别为丝尸。的中点，

PD1DC,PM1MD

(1)证明：ABLPM.

(2)求直线/N与平面PDA/所成角的正弦值.

41.(2021•全国高考真题试卷(文))已知直三棱柱"C-44G中，侧面44/石为

正方形，AB=BC=2,E,尸分别为NC和℃的中点，BF1A.B,_

(1)求三棱锥b-的体积:

(2)己知。为棱4片上的点，证明

42.(2021•全国高考真题试卷(理))已知直三棱柱'8C—中，侧面为

正方形，4B=BC=2,E,尸分别为NC和CG的中点，O为棱4片上的点.

BF1/蜴

(1)证明：BFA.DE.

(2)当4。为何值时，面84GC与面力心所成的二面角的正弦值最小?

43.(2021•全国高考真题试卷(理))如图，四棱锥尸一”88的底面是矩形,

尸。_1底面”88,PD=DC=1,河为8c的中点，且尸

(1)求8C；

(2)求二面角/一PM—8的正弦值.

44.（2020•海南高考真题试卷）如图，四棱锥P-48CD的底面为正方形，底面

ABCD.设平面与平面P8C的交线为/.

（1）证明：I-L平面PDC；

（2）已知P£>=NO=1,。为/上的点，08=3,求P8与平面所成角的正弦值.

45.（2020•天津高考真题试卷）如图，在三棱柱/Be—44G中，平面

ABC,ACLBC,AC=BC=2CG=3,点。，E分别在棱用和棱”上，且

AD=XCE=2,"为棱44的中点.

求证：C"R

(I)

（n）求二面角8一用“一"的正弦值:

（in）求直线与平面所成角的正弦值

ABCD.ABCD中，石为5g的

46.（2020・北京高考真题试卷）如图，在正方体}}}］

中点.

AB

一

DC

/T、十、pBC、/i显诉AD、E

（I）求证：।平面।；

（口）求直线"4与平面所成角的正弦值.

47.（2020•浙江高考真题试卷）如图，三棱台ZBC—OEF中，平面平面

ABC,乙ACB=UCD=45°,DC=2BC.

（I）证明：EFLDB；

（II）求。F与面08c所成角的正弦值.

48.（2020・海南高考真题试卷）如图，四棱锥P-N8C。的底面为正方形，PDL底面

ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为/.

/万….\一c

(1)证明：江平面PCC；

(2)已知P0=NO=1,。为/上的点，求尸8与平面。8所成角的正弦值的最大值.

49.(2020•江苏高考真题试卷)在三棱锥/一28中，已知CB=CD=后,BD=2,。为

8。的中点，BCD,AO=2,E为ZC的中点.

(1)求直线与。E所成角的余弦值;

£

(2)若点尸在8C上，满足BF=ZBC,设二面角产一OE—C的大小为仇求sinJ的

值.

50.(2020•江苏高考真题试卷)在三棱柱Z8C-481G中，ABLAC,81cL平面

ABC,E,尸分别是4C,8c的中点.

(1)求证：EF||平面NSG；

(2)求证：平面/SCL平面

51.(2020•全国高考真题试卷(理))如图，在长方体-中，点

瓦77分别在棱°外阴上，且2DE=E%BF=2FB,.

(1)证明：点G在平面NEF内;

⑵若AB=2,AD=1,=3,求二面角力一跖一耳的正弦值.

52.(2020•全国高考真题试卷(文))如图，在长方体-44Gq中，点E,

产分别在棱BB］上,且2£>E=EA,BF=2FB,证明：

(2)点a在平面NEE内.

53.(2020•全国高考真题试卷(文))如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,

△/6C是底面的内接正三角形，P为DO上一点,乙iPC=90。.

D

（1）证明：平面尸Z6_L平面尸4C；

（2）设DO=O,圆锥的侧面积为6兀，求三棱锥尸X8C的体积.

54.（2020•全国高考真题试卷（理））如图，。为圆锥的顶点，°是圆锥底面的圆心,

为底面直径，AE=AD.是底面的内接正三角形，P为。。上一点，

PO=—DO

6

（1）证明：。/_1平面尸80；

（2）求二面角8一℃一£的余弦值.

55.（2020•全国高考真题试卷（文））如图，已知三棱柱/8C-4&G的底面是正三角

形，侧面83cle是矩形，M,N分别为8C,81G的中点，尸为4W上一点.过81G

和尸的平面交于E,交4c于F.

(1)证明：AA\HMN,且平面小/脑VI平面EBiCF；

兀

(2)设。为△小81G的中心，若4。=/8=6,40〃平面E&G尸，且乙MPN=3,求四

棱锥B-EBiGF的体积.

56.(2020•全国高考真题试卷(理))如图，已知三棱柱为8C-m&G的底面是正三角

形，侧面88CC是矩形，M,N分别为8C,SG的中点，P为上一点，过SG

和P的平面交力8于E,交NC于尸.

(1)证明：4MMM且平面4/AWl£8iGF；

(2)设。为△/|SG的中心，若/。11平面E8|G凡且/O/8,求直线用£与平面

44WN所成角的正弦值.

57.(•江苏高考真题试卷)如图，在直三棱柱N8C-48iG中，D,E分别为8C,AC

的中点，AB=BC.

求证：（1）4巴||平面。EG；

(2)BEIGE.

58.（•天津高考真题试卷（理））如图，平面N8CO,

CF//AE,ADBCAD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2

（I）求证：BF〃平面4DE；

（口）求直线.与平面8DE所成角的正弦值；

\_

（皿）若二面角E—6O—E的余弦值为1,求线段C尸的长.

59.（•全国高考真题试卷（理））图1是由矩形/。£3,RSZ8C和菱形8FGC组成的

一个平面图形，其中48=1,BE=BF=2,4汽8c=60。，将其沿力8,8c折起使得8E与

BF重合，连结QG,如图2.

（1）证明：图2中的2,C,G,。四点共面，且平面48cl平面8CGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1图2

60.（•全国高考真题试卷（文））如图，直四棱柱NBCOYNG。的底面是菱形,

AA,=4,AB=2,ABAD=60°,E,M,N分别是BC,BBt,小。的中点.

（2）求点C到平面CQE的距离.

61.（•全国高考真题试卷（理））

如图，长方体力8。。-4向G2的底面是正方形，点E在棱/小上,

BELECu

G

(1)证明：8E1平面E&G；

(2)若ZE=Z]£,求二面角8-EC-G的正弦值.

62.(•上海高考真题试卷)如图，在正三棱锥尸一"8C中，

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=yl?>

(1)若尸8的中点为8c的中点为N,求ZC与MN的夹角;

(2)求产一18C的体积.

63.(2018・上海高考真题试卷)已知圆锥的顶点为「，底面圆心为°,半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

(2)设0°=4,0A、是底面半径，且乙4°8=90。，/为线段的中点,

如图.求异面直线尸M与°6所成的角的大小.

64.(2018•江苏高考真题试卷)在平行六面体—中，='8,

ABy1B£

求证:(1)花〃平面44°；

(2)平面啊4_LA.BC

65.(2018•江苏高考真题试卷)如图，在正三棱柱/BCdiSG中，A8=4<=2,点

P,0分别为小S，8c的中点.

力

（1）求异面直线8P与ZG所成角的余弦值;

（2）求直线C。与平面/0G所成角的正弦值.

66.（2018•全国高考真题试卷（文））如图，矩形Z8CZ）所在平面与半圆弧8所在

平面垂直，”是8上异于C,D的点.

（1）证明：平面/W平面8MC；

（2）在线段/用上是否存在点尸，使得"C〃平面P8。？说明理由.

67.（2018•北京高考真题试卷（理））如图，在三棱柱N8C-44G中，,G，平面

ABC,D,E,F,G分别为A41/C,"G,'4的中点，

AB=BC=6AC=AAi=2.

(1)求证：/UL平面SEE

(2)求二面角8-CD-G的余弦值；

(3)证明：直线尸G与平面8C。相交.

68.(2018・北京高考真题试卷(文))如图，在四棱锥尸-中，底面488为

矩形，平面PZOJ•平面Z8C7),PALPD,PA=PD,E、尸分别为“0、

PB的中点.

(I)求证：PE-LBC.

(D)求证：平面尸平面尸。；

(in)求证：EF〃平面PCD

69.(2018•全国高考真题试卷(理))如图，四边形N8C。为正方形，瓦厂分别为

"°，8c的中点，以。尸为折痕把△OFC折起，使点C到达点尸的位置，且

PF1BF.

(1)证明：平面PEFI平面ABFD；

(2)求力。与平面4877)所成角的正弦值.

70.（2018•全国高考真题试卷（理））如图，边长为2的正方形N8CZ）所在的平面与

半圆弧8所在平面垂直，”是8上异于0,。的点.

（1）证明：平面/W平面8MC；

（2）当三棱锥"一/8C体积最大时，求面上"8与面"CO所成二面角的正弦值.

71.（2018•浙江高考真题试卷）如图，已知多面体ABC-A|BiG，A\A,CQ均

垂直于平面ABC,4ABe=120°,A,A=4,C,C=1,AB=BC=B,B=2.

(I)证明：AB|J?NSAWiG；

(H)求直线A。与平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2018•全国高考真题试卷(文))如图，在三棱锥中，

AB=BC=2亚,PA=PB=PC=AC=4,。为ZC的中点.

(1)证明：平面N8C；

(2)若点加在棱8C上，且MC=2"8,求点C到平面尸。”的距离.

73.(2018•全国高考真题试卷(文))如图，在平行四边形/8CW中，

AB=AC=?>t400=90。，以/C为折痕将折起，使点M到达点。的

位置，且

(1)证明：平面ZC0_L平面N8C；

„BP=DQ=-DA

(2)Q为线段上一点，尸为线段8c上一点，且3,求三棱锥

。-〃8P的体积.

74.(2017•山东高考真题试卷(文))由四棱柱-481G2截去三棱锥

后得到的几何体如图所示，四边形48c。为正方形，。为ZC与8。的交点，E为4D

的中点，小EJ•平面/8CD

（1）证明：।II平面8c人：

（2）设M是。。的中点，证明：平面小平面5C5.

四、填空题

75.（2021•全国高考真题试卷（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别

作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为

（写出符合要求的一组答案即可）.

图①图②图③

图④

76.（2021•全国高考真题试卷（文））已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3°万则

该圆锥的侧面积为

77.（2020•海南高考真题试卷）己知正方体48CD-小的棱长为2,M,N分别为

BBi、的中点，则三棱锥儿的体积为

78.（2020海南高考真题试卷）已知直四棱柱488-4向（7。1的棱长均为

2,4加。=60。.以3为球心，逐为半径的球面与侧面8CGS的交线长为

79.（2020•江苏高考真题试卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱

所构成的.己知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则

此六角螺帽毛坯的体积是—cm.

80.（2020•全国高考真题试卷（文））已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆

锥内半径最大的球的体积为.

81.（2020•全国高考真题试卷（理））设有下列四个

Pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/U平面心，直线〃让平面a,则加1/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①0Ap4②Pl人P2③可2VP3④力3V可4

82.（•江苏高考真题试卷）如图，长方体'BCD—2的体积是120,E为

的中点，则三棱锥E-8CD的体积是

83.（•北京高考真题试卷（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三

视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为

84.（•北京高考真题试卷（理））已知/,根是平面a外的两条不同直线.给出下列三

个论断：

①/Ln；②加||夕；（3）/1.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的

85.（•全国高考真题试卷（理））学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如

图，该模型为长方体—4与G2挖去四棱锥°一E/G"后所得的几何体，其

中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，

Z8=8C=6cmM4=4cm,30打印所用原料密度为0-9g/c%,不考虑打印损

耗，制作该模型所需原料的质量为g.

86.（•天津高考真题试卷（文））已知四棱锥的底面是边长为血的正方形，侧棱长均

为J5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四

棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

87.（•全国高考真题试卷（文））已知"1C8=9O。，尸为平面43c外一点，PC=2,点尸

至IJZJC8两边AC,BC的距离均为G,那么P到平面ABC的距离为.

88.（2018•江苏高考真题试卷）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶

点的多面体的体积为.

89.（2018•全国高考真题试卷（文））已知圆锥的顶点为S,母线“，S3互相垂直,

“与圆锥底面所成角为30°,若ASZB的面积为8,则该圆锥的体积为.

90.（2018•全国高考真题试卷（理））已知圆锥的顶点为S,母线"，S8所成角

7

的余弦值为1，S/与圆锥底面所成角为45。，若AS/6的面积为5小，则该圆

锥的侧面积为

91.（2018•天津高考真题试卷（理））已知正方体44GA的棱长为1,除面

NBC。外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥

M-EFGH的体积为.

五、双空题

92.（•全国高考真题试卷（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之

一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形

状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.

半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点

都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面，其棱长为.

图1图2

近五年（2017-2021）高考数学真题类汇编

十一、立体几何（答案解析）

1.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值;

对于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解

P点的个数：

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解

P点的个数.

易知，点「在矩形8CG4内部（含边界）.

对于A,当人1时，BP=BC++“Cq,即此时Pe线段△阳尸周长

不是定值，故A错误;

对于B,当〃=1时，8尸=丸8。+阴=84+/IBG,故此时尸点轨迹为线段用0,而

B\CJIBC,4G〃平面48C,则有P到平面48c的距离为定值，所以其体积为定值,

故B正确.

1

A1=—RP^一—〃PT-LU~RR

对于C,当2时，2，取BC,4G中点分别为0,H,则

BP=BQ+/JQHF所以P点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

—（V31

4P=一半0,〃一1

4V，0,1PMA\

I2人尸(O,O,〃),「2则

9

丽=而即=〃(〃-1)=0,

所以〃二°或〃=1.故〃，。均满足，故

c错误；

pi=-BP=^JBC+-BB]

对于D,当2时，2,用1叫«中点为MN.

0y-1>0,0

ru/o，2

BP=BM+AMN，所以P点轨迹为线段MN.设I",因为''，所

一（百1）一

”=-三刖EA'B=1_13111

2’2]+彳%_；=0=%=-5

以1A1人所以4222,此时

P与N重合，故D正确.

故选：BD.

【小结】

本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

2.A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证MN""'4。'平面即可得出结论.

连42,在正方体'BC°—'4CQI中，

“是4°的中点，所以河为中点，

又N是A'的中点，所以MNHAB,

MNZ平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以〃平面/BCD

因为“8不垂直8。，所以“乂不垂直80

则MN不垂直平面，所以选项B,D不正确;

在正方体"BCD_4gGZ)]中，ADX1.AXD,

/8，平面/44°,所以48,4。，

ZZ>]nAB=%,所以4。-L平面ABDx,

*u平面,町所以4DLRB,

且直线4。，°了是异面直线，

所以选项B错误，选项A正确.

故选：A.

【小结】

关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，

同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

3.A

【分析】

根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

几何体为如图所示的四棱柱'88一44其高为1,底面为等腰梯形/BCD,

该等腰梯形的上底为正，下底为2及，腰长为1,故梯形的高为Y22,

%CD-MGD、=；X(y/2+2V2>4X1=：

故选：A.

CD

4.A

【分析】

由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得°到平面

N8C的距离，进而求得体积.

;4C1BC,4C=BC=1,48c为等腰直角三角形，=

V2

则△44C外接圆的半径为2,又球的半径为1,

设°到平面N8C的距离为d,

故选：A.

【小结】

关键小结：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心

到截面距离的勾股关系求解.

5.D

【分析】

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示,

所以其侧视图为

□

故选：D

6.D

【分析】

平移直线至5G,将直线尸8与所成的角转化为尸8与8G所成的角，解三角形

即可.

2______________Cj

如图，连接BG，PC1,PB,因为叫“g

所以NP3G或其补角为直线PB与g所成的角，

因为88]_L平面4AG。],所以又PC\上BQ],BB[cBQ1=B],

1

所以PG平面PBB、,所以PC}1PB

BC\=26.,PC\=LD、B\=^

设正方体棱长为2,则2,

sinZPBC.=即=—2,所Z产.PBGC-6-

故选：D

7.B

【分析】

设圆锥的母线长为根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则加=21xJ5,解得

1=2收

故选：B.

8.C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半,

.附+（2卬附「

即2,

所以，这个球的表面积为S=4）A?=4»x32=36万.

故选：C.

【小结】

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基

础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，

可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的

外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线

的中点，再根据勾股定理求球的半径：（3）如果设计几何体有两个交，可过两个面的外心

分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

9.D

【分析】

首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.

由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形,

5=3x（2x2）+2x|Ix2x2xsin600]=12+2百

则其表面积为.（2）

故选：D.

【小结】

（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从

三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

10.A

【分析】

根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.

由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1,

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,

所以几何体的体积为：

Ifl>^17

一x—x2x1x1+—x2x1x2——F2=一

3(2)[2)33

故选:A

【小结】

本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.

11.B

【分析】

画出过球心和愚针所确定的平面截地球和号面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面

垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出唇针与点A处的水平面所成

角.

画出截面图如下图所示，其中8是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线，

依题意可知W/；48是号针所在直线.加是号面的截线，依题意依题意，辱面和赤道平

面平行，唇针与唇面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知加〃8、根据线面垂直的定义可得ABlm

由于NZOC=40。,机〃8,所以ZOAG=ZAOC=40°,

由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°,

所以=ZOAG=40°（也即唇针与点A处的水平面所成角为NR4E=40°.

故选：B

【小结】

本小题主要考查