河北省承德市重点2021-2022学年高考数学三模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的函数/（x）满足〃力=/（一可，且在（0,+8）上是增函数，不等式/（公+2）＜/（-1）对于

xe[1,2]恒成立，则”的取值范围是

D.[0,1]

2.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CP/（居民消费价格指数），同比上涨4.5%,上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CP/上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CP/一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是（）

致育文化刖

收尔&5a

A.一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在C77一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在C/V一篮子商品中所占权重约为0.18%

3.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,

曲线c：（/+/）3=16%2/恰好是四叶玫瑰线.

y

01x

给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都

不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4万；④方程Cx2+y2）3=i6x2y2（孙＜0）表示的曲线。在第二象限和第四

象限其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

4.已知复数2=二二，则三的虚部为（)

1-Z

A.-iB.iC.-1D.1

5.若圆锥轴截面面积为26,母线与底面所成角为60。，则体积为（）

C."D,巫

A.——7tB・------71

3333

6.设复数z—,贝悯一()

1+3;

1721J2

A.-B.—C.-D.

3322

7.已知尸为圆C：(x-5)2+y2==36上任意一点，A(-5,0),若线段Q4的垂直平分线交直线PC于点。，则。点

的轨迹方程为()

22V-1

Axy1B/

916916

x2y222

C.二一匕=1(x<0)D.---二=1(x>0)

916916

8.已知a,beR,3+ai=h—(2cI)i,则()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

71-Ogi!,则的大小关系为

9.已知a=log35,6=(w)3,c=l,

55

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

10.AA3c的内角A,B,C的对边分别为。,仇c,已知a=也*=1,8=3（）,则4为（）

A.60B.120,C.60或150°D.60或120°

11.定义域为衣的偶函数fM满足任意xeR,有/（%+2）=/（x）-/（I），且当x域为3]时,f（x）=-2x2+12x-18.

若函数.V=/（尤）-1。8“（》+1）至少有三个零点，则。的取值范围是（）

12.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素

养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值

高者为优），则下面叙述正确的是（）

A.甲的数据分析素养高于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大素养中逻辑推理最差

D.乙的六大素养整体平均水平优于甲

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

TT

13.已知平面向量心b＞己满足|初=1，区1=2,a,5的夹角等于且（GV）•（石高）=0,则修I的取值

范围是.

14.过点A（-3,2）,B（-5,-2）,且圆心在直线3x—2y+4=0上的圆的半径为.

15.已知函数/*）=；二2，xj0，，则八怆!+/（怆；）+/（怆2）+/（怆5）的值为—

[a+2〃=2Z-1%6N*

16.已知数列｛4｝的前"项和为S.，q=l,a,=2,。“+2="'，则满足2019V3000的正整

2an,n=2k,keN

数加的所有取值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)2019年是五四运动10()周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100

年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组

织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道4类题、4道3类题，参赛者需从10

道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.

(1)求甲同学至少抽到2道8类题的概率；

23

(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是；，答对每道3类题的概率都是-，且各题答对与否相互独立.现已知甲同

35

学恰好抽中2道A类题和1道8类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17

18.(12分)已知等比数列｛%｝是递增数列，且4+%=彳，a2a4=4.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若求数列也｝的前“项和S”.

19.(12分)在直角坐标系中，已知点P(l,0),若以线段PQ为直径的圆与N轴相切.

(1)求点。的轨迹C的方程；

(2)若C上存在两动点A,B(A,3在*轴异侧)满足次.丽=32,且的周长为21ABi+2,求的值.

20.(12分)已知/(X)=|x+a|(aeR).

⑴若/(x)N|2x-l|的解集为［0,2］,求。的值；

(2)若对任意xeR,不等式/'(x)=l+夜sin(x+工)恒成立，求实数a的取值范围.

4

21.(12分)选修4-5：不等式选讲

设函数/(x)=|2x+a|-k-2|(xwR,aeR).

⑴当。=一1时，求不等式/(力＞0的解集；

(2)若/(x"-1在xeR上恒成立，求实数。的取值范围.

22.(10分)已知函数/(x)=msinx+J5COSX(AH〉0)的最大值为2.

(I)求函数/(函在［0,兀］上的单调递减区间;

(n)AABC中，/1(A—马+/(8—k)=4"sinAsinB,角A5,c所对的边分别是且C=6O°,c=3,求

44

AABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(f,O)上是减函数，由此可将不等式化为-1《以+241；利用分

离变量法可得-'4a4-士，求得-三的最大值和--的最小值即可得到结果.

XXXx

【详解】

•••/(X)=/(-x)“X)为定义在R上的偶函数，图象关于轴对称

又“X)在(0,+。)上是增函数.-./(x)在(-8,0)上是减函数

•：f［ax+i)</(-1).,.|ar+2|<l,即-1«依+241

•••一1W冰+2W1对于xe［L2］恒成立—巳<a4—；在［L2］上恒成立

,-.--<a<-b即。的取值范围为：一当,一1

2

2L

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

2.D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在CP/一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在C/7

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.C7V一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CP/一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3.B

【解析】

利用基本不等式得V+y244,可判断②；/+,2=4和(*2+,2丫=16%2y联立解得¥2=9=2可判断(^；由

图可判断④.

【详解】

(x2+y2)3=16x2y2<16*,

解得/+了244(当且仅当产=丁=2时取等号)，则②正确；

将/+V=4和(V+,2丫=16x2,2联立，解得f=>2=2,

即圆V+y2=4与曲线c相切于点(夜,加)，(-V2,V2),(-V2,-V2),(V2,-V2),

则①和③都错误；由孙<0,得④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

4.C

【解析】

先将z=二，化简转化为z=2+i,再得到三=2-，下结论.

1-z

【详解】

口齿食物，3T(3-0(1+/)

已知复数"匚？=而硒=2+z,

所以z=2-i，

所以I的虚部为・1.

故选：c

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.D

【解析】

设圆锥底面圆的半径为「，由轴截面面积为2g可得半径「，再利用圆锥体积公式计算即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为乙由已知，1x2rxV3r=2>/3,解得r=加,

所以圆锥的体积厂=^^■乃产巫兀.

33

故选：D

【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

6.D

【解析】

先用复数的除法运算将复数z化简，然后用模长公式求二模长.

【详解】

•?=-2-1=(-2--0-(-1-3-z)-=-l-7-z=--1-7-I.

1+3/(l+3/)(l-3z)101010

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

7.B

【解析】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,||QC|TQA||=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,

故||℃|—|例|=||℃|一|0川=仍。=6<10,故轨迹为双曲线,

2a=6,a=3,C=5,故b=4,故轨迹方程为——=1.

916

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

8.C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+川=〃-(2a—l)z,

[3=Z?i

得《，即a=—,b=l.

a=\-2a3

：.b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

9.D

【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a/,c的大小关系.

详解：由题意可知：log^<log3<log39,即l<a<2,=],即0<b<l,

^°8\_~=,即c>。，综上可得：c>a>J.本题选择O选项.

点睛：对于指数幕的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因塞的底数或指数不相同，不

能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数嘉的大小比较时，若底数不同，则首先

考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数塞的大小的比较，利用

图象法求解，既快捷，又准确.

10.D

【解析】

A

由正弦定理可求得sinA=火，再由角4的范围可求得角4.

2

【详解】

由正弦定理可知，一="一，所以芭-=~,解得sinA=且，又0yA<180，且所以A=60’或

sinAsinBsinAsin30°2

120°.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

11.B

【解析】

由题意可得/(x)的周期为2,当xe[2,3]时，/(》)=—2/+12%—18,令8(灯=1。8“(》+1),贝11/。)的图像和8(幻

的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据g(2)>/(2),求得。的取值范围.

【详解】

/(x)是定义域为A的偶函数，满足任意xeR,

f(x+2)=f(x)-/(I)，令x=-1,/(I)=/(-I)-/(I),

又，(一1)=/(l),.-./(l)=0,/(x+2)=f(x),

・•・/(x)为周期为2的偶函数,

当Xe[2,3]时，f(x)=-lx1+12x-18=-2(x-3)2,

当xw[0,1],x+2G[2,3],/(x)=f(x+2)=-2(x-I)2,

当xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+l)2,

作出/(x),g(x)图像，如下图所示：

函数y=/(x)-log„(x+D至少有三个零点，

则/(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

V/(%)<0,若

/(x)的图像和g(x)的图像只有1个交点，不合题意，

所以0<a<l,/(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

则有g(2)>/(2),即log“(2+1)>/(2)=-2,log“3>-2,

1a21n,.n6

a233

故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.

12.D

【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素养整

体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

币万+6

13.

22

【解析】

LC2+l

2

计算得到IM+B1=»C=V7\eicosa-1,解得cosa=-^-,,根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

17c

【详解】

由—1)=0可得c2=(a+by9c-a-b=\a+b\9\c\cosa-lx2cos—=\a+b\9\c\cosa-1,“为1+5

与守的夹角.

再由(M+BJ=52+庐+22・5=1+4+2*卜2°05。=7可得I万+引=近,

,lc2+l

/.c2=\/7Ie\cosa-1,解得cosa-'r-\..

V0<«<^,/.-\<cosa<\,：.<1,即同2-近地|+旧0,解得J工京\工"丁

sfl—V3>/7+-\/3

故答案为

F-，-T~

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

14.V10

【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【详解】

因为圆经过点A（-3,2）,3（-5,-2）

2-(-2)

则直线AB的斜率为4=2

{-3)-(-5)

所以与直线AB垂直的方程斜率为左'=

2

点A（—3,2）,3（—5,—2）的中点坐标为M（T,0）

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-；（x+4）,化简可得x+2），+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3x-2y+4=0上,设圆心O（a,b）

。+2。+4=0a=-2

所以圆心满足解得

3。―2。+4=0b=—\

所以圆心坐标为0（-2,-1）

则圆的半径为r=OA=-3+2/+（2+1产=如

故答案为：而

【点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

15.4

【解析】

根据电（，lgg/g2,1g5的正负值，代入对应的函数解析式求解即可•

【详解】

解：/（Ig|）+/（lg^）+/（lg2）+/（lg5）

1§5lg5lg5lg2,g2lg5

=2-+2-与+2—2恒2+2—2=2+2+2-2+2-2=4'

故答案为：4.

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.

16.20,21

【解析】

由题意知数列｛4｝奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据«为奇数和〃为偶数分别算出求和公式,代入数

值检验即可.

【详解】

解：由题意知数列｛%｝的奇数项构成公差为2的等差数列，

偶数项构成公比为2的等比数列，

贝!!5=口+1+2伏-1)]%+2(1-21)=2"+后2一2;

-221-2

[1+1+2(%-1)收20-2")

----------------------------1----------------=2+K-2*

2k21-2

|022

当左=10时，519=2+10-2=1122,520=2"+10-2=2146.

2I22

当左=11时，S2I=2"+11-2=2167,S22=2+11-2=4215.

由此可知，满足2019VS,“K3000的正整数加的所有取值为20,21.

故答案为:20,21

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式，是综合题，分清奇数项和偶数项是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

129

17.(1)-；(2)分布列见解析，期望为记.

【解析】

(1)甲同学至少抽到2道8类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可

求得概率；

(2)X的所有可能值分别为0』,2,3,依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望.

【详解】

(1)令“甲同学至少抽到2道5类题”为事件A，则抽到2道B类题有C：C；种取法，抽到3道8类题有C：种取法，

CC+C=40

P(A)=-

-1203

(2)X的所有可能值分别为。』,2,3,

1,22

p(X=0)=(-)2x-=—

3545

2312_4

P(X=3)y

叱2)=卓・源=『45"I?

X的分布列为:

X0123

21144

P

4545915

…、八2,11,4。429

E(X)=0x---F1x----F2x—F3x—=—

454591515

【点睛】

本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望.解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式.

n2

18.(1)an=2(2)S“=g+(〃-1)2"-'

【解析】

(1)先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列｛4｝的通项公式；(2)利用错位相减求和法可

求出数列也｝的前”项和S“.

【详解】

17

解：(1)由｛。“｝是递增等比数列，a｝+a5=—,44=4%=4,

171fa.=8

联立，I52,解得I2或=]_,

a｝a5=4a5=S出-2

因为数列｛4｝是递增数列，所以只有“一5符合题意，

q=8

则/=&=16,结合<7>0可得4=2,

a\

数列｛q｝的通项公式：%=2"-2；

(2)由NeN*),

：.b=n-2'-2；：.S.=-；

2

那么S“=lx2T+2x2“+3x2i+…+〃-2”-2,①

则2S“=lx2°+2x2i+3x22+—+(〃—l)2"-2+〃.2"T,②

将②-①得：

S,,=-(2-'+2°+2+22+2"-2)+«-2'-'=1-2'-'+n'2"T=；+(〃一1)2,.

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前〃项和.

19.(1)y2=4x；(2)|AB|=48

【解析】

(1)设Q(x,y),则由题设条件可得J(x—l)2+y2=2x±9,化简后可得轨迹C的方程.

(2)设直线A3:x=〃o，+〃，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简物.9=32并求得〃=8,结合焦半径

公式及弦长公式可求机的值及|AB|的长.

【详解】

(1)设Q(x,y),则圆心的坐标为(罟,

因为以线段P。为直径的圆与y轴相切，

所以+9=2x,

化简得C的方程为V=4x.

⑵由题意设直线=J盯+〃，

联立y2-得y2-4my-4n=0,

设A(Xi，y),B^x2,y2)(其中乂必<。)

所以,+%=4加，y•%=-4〃，且〃>0，

22

因为OA-OB—32，所以OA-OB=+y%=1+Ni%=32»

16

〃2_4〃=32,所以(〃-8)(〃+4)=0,故〃=8或〃=-4(舍)，

直线AB:x=my+8,

因为ARAB的周长为21ABl+2

所以|川+|冏+|AB|=2|明+2.

BP|PA|+|PB|=|AB|+2,

因为+怛却=不+w+2=+%)+18=4〃?2+18.

又\AB\=y/l+m21y一%|=\Jl+m2-J(4加1+128=441+加2)(8+/),

所以4m2+]8=4^(1+//Z2)(8+W2)+2,

解得〃2=±20，

所以,回=4^(l+/w2)(8+m2)=4j(l+8)(8+8)=48.

【点睛】

本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立

方程组并消元得到关于x或V的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系

中含有%无2，%+w或y%，y+%，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.

20.(1)a=l；(2)(-00,2]

【解析】

(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出4的值；(2)利用绝对值不等式求出

/(x)+|x—4的最小值，把不等式/'。)=1+&$皿“+?)化为只含有。的不等式，求出不等式解集即可.

【详解】

(1)不等式/(x)2|2x-l|,即上+。|引2%一1|

两边平方整理得3f-(2a+4)x+l-/＜0

由题意知0和2是方程-(2。+4)x+1—/=0的两个实数根

10+2=2

3

即＜\，解得。=1

0x2=----

3

(2)因为2|(X+6F)-(X—47)|=2同

所以要使不等式/'(x)=1+及sin(x+?)恒成立，只需2时23。-2

当。之0时，2a＞3a-2f解得即0工。工2；

2

当。＜0时，一2。之3。一2,解得。工二，即。＜0；

综上所述，。的取值范围是(