河北省张家口2022年高三最后一模数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x\nx-2x,x>0

1.已知函数,3的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=-1对称的点在g（x）=丘-1的图像

x*,+—x,x<0

2

上，则Z的取值范围是（）

A.B.（；,；）C.（1,1）D.（；,1）

2.复数息的虚部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

1_;

3.已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

2-1

<30（3n/31、（31）

A，B.（"「MJC.（j,gJD.卜

4.复数z=3的共物复数在复平面内所对应的点位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.过圆f+）a=4外一点”（4,-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）.

A.4x-y—4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

6.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计

如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了475（）元，则该人2019年的储畜费用为（）

40

35

3()

25

20

15

|50

储蓄衣食住旅行就医储蓄衣食住旅行就医

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

7.将函数/（幻=6$亩2%-2852;1图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移g个单位长

O

度，则所得函数图象的一个对称中心为（

8.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取

一数，则其差的绝对值为5的概率为

9.在四面体P—ABC中，AABC为正三角形，边长为6,B4=6,PB=8,PC=10,则四面体P—ABC的体

积为（）

A.8而B.8V10C.24D.16由

10.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100h”/儿现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过

的频率分别为（）

频率

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

11.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性

各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体

格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生

都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（）

A.12种B.24种C.36种D.72种

12.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，

图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）

A.1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月份的空气质量最差.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知全集为R,集合A=｛X|X2—X=O｝,B=｛-1,0｝,则AUS=.

14.直线4日一4y一左=0与抛物线了2=工交于43两点，若|AB|=4,则弦A3的中点到直线x+；=0的距离等于

15.已知函数“X）对于xwR都有"4一x）=〃x）,且周期为2,当3,-2］时，/（x）=（x+2）2,则

16.设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S3+S6=Sg,则数列｛4｝的公比4是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设数列｛。“｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，%=1,若%,生，生成等比数列.

（1）求。”及s“；

(2)设"=k=(〃eN*),设数列也｝的前"项和证明：Tn<-.

%+i一14

18.(12分)已知/(x)=f+2,一1].

(1)解关于x的不等式：

2I722212

(2)若/(x)的最小值为M,且a+"c=M(a,"ce/T),求证：巴+£±£_+J±£_22.

cba

19.(12分)如图，已知在三棱锥尸—ABC中，尸平面ABC,£F,G分别为AC,PA,总的中点，且AC=25E.

\\\

叭、\E\

(1)求证：PB上BC；

(2)设平面EFG与BC交于点H,求证：〃为BC的中点.

20.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，

有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该

村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，

质量把关程序如下：(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；(ii)若仅有1位行家

认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工

艺品质量为5级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)

若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认

为质量不过关的概率为:，且各手工艺品质量是否过关相互独立.

(1)求一件手工艺品质量为8级的概率；

(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，利润

记为100元.

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

21.(12分)如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABCQ是直角梯形，AD//BC,AB1AD,4D=2AB=2BC=2,

△PC。是正三角形，PCVAC,E是Q4的中点.

(1)证明：AC±BE；

(2)求直线3P与平面8DE所成角的正弦值.

22.(10分)已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为耳(一1,0),C与)’轴正半轴交点为A，且NA£O=(.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点A作斜率为占、&(4&。())的两条直线分别交。于异于点A的两点M、N.证明：当左2=/\时，直

—1

线MN过定点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据对称关系可将问题转化为/(%)与丁=-1有且仅有四个不同的交点；利用导数研究/(X)的单调性从而得到

“X)的图象；由直线y=—h-1恒过定点A(0,T),通过数形结合的方式可确定-丘仪心L)；利用过某一点曲

线切线斜率的求解方法可求得kAC和kAB,进而得到结果.

【详解】

g(x)=区-1关于直线y=-l对称的直线方程为：y=-kx-\

.­.原题等价于/(x)与y=-日-1有且仅有四个不同的交点

由丁=—日—1可知，直线恒过点A(0,-1)

当x>0时，/，(x)=lnx+l-2=lnx-l

・•・/(x)在(O,e)上单调递减；在(e,+8)上单调递增

由此可得/(x)图象如下图所示：

其中A3、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为8,。

由图象可知，当—Ze(砥c，L)时，〃弓与丁=-依T有且仅有四个不同的交点

设C(m,m,m>0,则心、=ln，〃一]二ni+\解得：加=[

m-0

・・々AC=-1

设3(〃,〃2+|〃)，”《0,则女二〃।3」+2〃+1,解得：〃=一1

一八2n-0

e1—1,一]],则女e1,』

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能

够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

2.C

【解析】

5z5z(l-2z)10+5zc.5i

因为丁丁=人；、八；.、=^^=2+z,所以丁丁的虚部是1，故选C.

l+2z(l+2z)(l-2z)51+21

3.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z的坐标得出答案.

【详解】

51-Z(1-0(2+1)31.

解・,/z=---=----------=-----1,

1-i(2-z)(2+z)55

，z在复平面内对应的点的坐标是

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

4.D

【解析】

由复数除法运算求出z,再写出其共轨复数,得共轨复数对应点的坐标.得结论.

【详解】

zz(l-2z)z+221.-2121

z=----=------------=----=—I--Iz=y--z.对应点为(不一小，在第四象限•

1+2/(1+2/)(1-2z)555

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共扼复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.

5.A

【解析】

过圆x2+y2=r外一点(m,ri),

引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为故选A.

6.A

【解析】

根据2018年的家庭总收入为80000元，且就医费用占10%得到就医费用80000x10%=8000,再根据2019年的

就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收入15%,

得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收入25%求解.

【详解】

因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%

所以就医费用80000x10%=8000

因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了475()元，

所以2019年的就医费用12750元，

而2019年的就医费用占总收人15%

所以2019年的家庭总收人为12750+15%=85000

而储畜费用占总收人25%

所以储畜费用：85000x25%=21250

故选：A

【点睛】

本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.

7.D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数V=Asin^a)x+(p)的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

,/y=5/3sin2x-2cos2x

2sin[

6sin2x-(1+cos2x)T,

将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

y=2sin—x-->1-1,

U6)

IT

再向右平移了个单位长度,所得函数的解析式为

8

2sin—x-----1,

(34

lx-^=k^^x=-k7r+—,keZ

3428

k=0可得函数图象的一个对称中心为,故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）

函数的性质求解.

8.A

【解析】

阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.

【详解】

因为阳数：1,3,5,7,9,阴数：2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5x5=25个，满足差的绝

对值为5的有：（1,6）,（3,8）,（5,10）,（7,2）,（9,4）共5个，则

故选：A.

【点睛】

目标事件的个数

本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：甘?之之/

基本本事件的总个数

9.A

【解析】

推导出分别取8C,PC的中点。,E,连结则A。，8cAE_LPC,OE_L8C,推导出

AE±DE,从而A£_L平面PBC,进而四面体P—ABC的体积为匕〜^=匕-叫0=g.5”就送石，由此能求出结果.

【详解】

解：•••在四面体P-ABC中，AABC为等边三角形，边长为6,

24=6,PB=8,PC=10,

/.PB2+BC2=PC2,

：.PBA.BC,

分别取BC,qC的中点D,E,连结ARAE,DE,

则AD±BC,A£1PC,DELBC,

且AD=V^=35DE=4,AE=V36-25=A/H,

AE2+DE2=AD2，

:.AELDE,

•••PCCDE=E,PCU平面P8C,OEu平面P8C,

AE_L平面P8C,

二•四面体尸一ABC的体积为：

匕＞-A8C=匕-P8C=-S.PBC'

=WP8xBCxAE=』x8x6xVTT=8而.

3232

故答案为：8TTT.

【点睛】

本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.

10.B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过9()如?///的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率为0.06x5=0.3,

二在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90kmlh的频率为：(0.05+0.02)x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.C

【解析】

先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有C：种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有A；种

方法，由分步原理可知共有种.

【详解】

不同分配方法总数为C；A；=36种.

故选：C

【点睛】

此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.

12.D

【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差.故本题答案选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{-1,0,1}

【解析】

先化简集合A,再求AUB得解.

【详解】

由题得A={0,l},

所以AUB={-1,0,1}.

故答案为{-1,0,1}

【点睛】

本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14.2

4

【解析】

由已知可知直线4履-4y-左=0过抛物线产=》的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB

的中点到直线x+'=0的距离.

2

【详解】

解：如图，

直线46一4），一4=0过定点（J,0）,

4

而抛物线丁=》的焦点F为（；，0）,

，弦A3的中点到准线x=-；的距离为gIAB|=2,

119

则弦A5的中点到直线1+7=0的距离等于2+：=—.

244

9

故答案沏-

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题.

I

15.-

4

【解析】

5

利用/(4—x)=/(x),且周期为2,可得〃T)=〃X),得用f

【详解】

V/(4-x)=/(%),且周期为2,

.*./(-%)=/(%),又当xe[—3,—2]时，/(x)=(x+2p,

【点睛】

本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.

16.±1.

【解析】

当时，邑+

q=l$6=3q+6q=9a}=S9.

S,+Sb=S9,+=q1—g)2_/_q6=1_r,.g3_y(/十°=0

当乡工1时,\-ql-q\~q

••・q=T,所以g=±L

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)S“=〃2；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题中条件求出等差数列｛4｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列｛《,｝的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出Tn,根据T„的表达式即可证明7；<；.

【详解】

(1)设｛《,｝的公差为。，

[a,=1,1=1

由题意有42=3八2/一、,

a2=a]'a5〔(4+。)=4・(q+4d)

(q=]

且dw()=>〈,

d=2

所以=1+2(/-1)=2〃-1,

o—一几，

"2

,11If11

(2)因为％=—~~7=—7~~齐=---------,

q；+1—1+4(〃n+\)

111\

\

---+--)

422+7

/?

1111

T--<

"4-4--4/\4-

+〃+

\(z)

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

18.(1)(-oo,0)0(V5-l,+oo).(2)证明见解析.

【解析】

(1)分类讨论求解绝对值不等式即可；

(2)由(1)中所得函数，求得最小值加，再利用均值不等式即可证明.

【详解】

(D当x<0时，/(力〉朋等价于龙2+2,一1|>一2,该不等式恒成立,

当0<%41时，〃x)>中等价于V—2%>0,该不等式解集为",

当x>l时，/(x)〉包■等价于％2+2X-2>2,解得X〉逐一1,

综上，X<0或X>—19

所以不等式/(x)>网的解集为(F,O)D(石一1,+8了

x2+2x—2,x>1

(2)/(x)=x2+2|x-l|=*

x2—2x+2,x<1

易得/(x)的最小值为L即a+b+c=M=l

因为。，b,CGR%

印、1/+/2acb14-6f2、labc2+b22bc

所以------>——,------->——,------->——,

bbccaa

X+X+X

所以

ba

>2a+2b+2c=2f

当且仅当a=b=c=；时等号成立.

【点睛】

本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(D要做证明只需证明8c，平面2钻即可；

(2)易得PC〃平面EFG,PCu平面P8C,利用线面平行的性质定理即可得到G”〃PC,从而获得证明

【详解】

证明：(1)因为B4_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以B4_L3C.

因为AC=23E,所以区4_L3C.

又因为84cQ4=A,84u平面上钻，B4u平面Q45,

所以8C_L平面Q钻.

又因为P6u平面Q45,所以

(2)因为平面EFG与3C交于点，，所以Gau平面PBC.

因为E,尸分别为AC,%的中点,

所以EF〃尸C.

又因为平面EEG,EEu平面EFG,

所以PC〃平面EEG.

又因为PCu平面P8C,平面PBCn平面EFG=G〃,

所以G”〃PC,

又因为G是P5的中点,

所以H为BC的中点.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.

20.(1)S(2)①2②期望值为有四

X900600300100

816207

P

27818127

【解析】

(1)一件手工艺品质量为8级的概率为C；xlx(l-l)2x(l-l)2=^.

1117

(2)①由题意可得一件手工艺品质量为。级的概率为C；x(72x(l_y+C；x(?3=5,

7

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是4件，则

垮产喘产

70-7k

则勺&)噂g,黄等

76CM7(汐。Y20k+20

由毒与＞1得幺＜1?，所以当2=1时,即PC=2)>P(g=l),

20%+2027

由7()器-7”所以50当时,

p(4=k+D<PC=k),

所以当Z=2时，Pq=k)最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.

②由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为(l-g)3=郎，一件手工艺品质量为8级的概率为

一件手工艺品质量为C级的概率为C；xlx(l-l)2x[C^xlx(l-l)+(I)2]=含，

33333ol

7

一件手工艺品质量为。级的概率为工；，

所以X的分布列为

X900600300100

816207

p

27818127

则期望为E(X)=900x色+600x3+300*至+100XZ=£22.

2781812727

21.(1)见证明；(2)叵

13

【解析】

(1)设产是PO的中点，连接族、CF,先证明BCFE是平行四边形，再证明AC_L平面PC。，即AC_LBE

(2)以。为坐标原点，面的方向为x轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面BDE法向

量，利用向量的夹角公式得到直线3P与平面3OE所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：设E是P。的中点，连接即、CF,

•.•E是孙的中点，.•.£/7//AT>,EF=、AD,

2

-.AD//BC,AD=2BC,:.EFHBC,EF=BC,

BCFE是平行四边形，BE//CF,

•:ADIIBC,ABYAD,：.ZABC=ZBAD=90°,

-.AB=BC,NCM)=45°,AC=正，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC-ADcosACAD=2,

:.AC2+CD2=4=AD2,:.AC±CD,

•：PDLAC,..AC，平面PC。，AC±CF,

AC±BE；

(2)由(1)得AC,平面PCD,C。=及，，平面ABC。，平面PC。,

过点尸作POLCD,垂足为。，平面ABC。，以。为坐标原点，玩的方向为x轴的正方向，建立如图的

空间直角坐标系。一型,

c1(I-O

0,0,Bv2,——,0、,

)I2)'丁司