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文档简介

44考点基本不等式及柯西等式

（15泰一模）知正实，bc满足ab=3，求证：

bc≥ac2

3【考点】基不等式．【证明】∵实数，b，满足+c=3，∴

abc

，∴≤1∴

bca厖33a22a2bc2

3

．2.

（15江苏模数，b，c

满足a＋＋c＋d＝1，

＋2＋d

＝25，求实

的取值范围．【解】由柯西不等式得

11123b62b2c，266当且仅当2a时等号．∵a，2

2

b

2

2

2

，∴

，即d

．得

（江苏2015高考冲刺压轴卷）已不等式

c≤2

对于满足条件22

的任意实数

b,c

恒成立求数

的取值范围．【考点】本题考查了柯西不等式．【解】因为

(ac)

，所以

a2≤2

，又

c≤

2

对任意实数

b,c

恒成立故

x

2

≥a)

2

，解得

≤

或

≥3

．（徐州市2014届高考信息卷）,b,均为，且ab

，求11abc

的最小值，并指出取得最小值时ab,值．【考点】柯西不等式.【解】因为，以(a4(，因为ab为数，所以由柯西不等式得1[(1)])2ac

，

当且仅当(b4(

等式成立．所以

12≥，ab所以

1c

11的最小值是，10

……8分此时

15282,b7

．

……10分5．

(江苏省南京市届三上学期9调考数学试卷)知，b是数，且a，求证：

()(bx≥

【考点】基本不等式.【证明】∵a，b是数，且a，∴

(bx)abx2)xy

2(x

2

y

2

)a

2

2

)xy≥ab

2

2

)xya)

2

xy即

()(≥成立（15安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷a是数

1b

）（2b

1）≥．2a2【考点】基本不等式．【证明】因为a是正数，利用基本不等式，11155()()≥2，babab222所(

1)(2)≥ba2

（15京一中等五校联考）已知实数，yz满3+2+z=1，求

x2y

的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【解】由柯西不等式，)2y3)22))(3)

，所以

x

2

y

2

z

2

≥

334

，

11222211222222当且仅当

x2y3z，即3

931,y,343434

时，等号成立，3所以

x

2

y

2

2

的最小值为

334

．8.

已知

x3

＝

1817

，求3＋2＋z的小值．【解】∵(

xy3)23≥

x2y3

＝

＋y＋

2

，当且仅当x＝3＝9z时，等号成立．∴即－23≤x＋2＋≤3

(3＋2＋

≤，当x＝

93，y＝－，＝－时17x＋2y＋＝－2

，∴最小值为－

9.南京、盐城调)知x、y、z为正数，求证：11≤xy2yz【证明】由西不等式，得

(

12＋1212

)

1x

11≥y2zx

即×

112y22

11≥z∴

1≤xyx2y2

当且仅当

111＝＝时号成立．x10.(2015·苏锡、常、镇调)设实数x，y，z满足＋2－z＝，求2＋＋z的小值．

1＋1＋22【解】由西不等式，(

x

＋y

＋

z

222

＋

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