动点最值问题解法探析

动最问解探一问原：人教版八年级上册第42页探）如图，要在燃气管道上建一个泵站，分别向两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

、这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二基解：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动位置，计算线路最短长度。三一结：(

在线段

上时取等号（如图1-2线段和最小，常见有三种类型：（）|定|定”型两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点段的长。1.两定一动。如图1-3，一定点

关于动点

所在直线的对称点

，线段（

是另一定点）与的点即为距离和最小时动点

位置，最小距离和

。例1（2006年河省考）如图，正方形

的边长为，

是

的中点，

是对角线

上一动点，则

的最小值是。解析：连结

与

关于直线在

对称，连结，。中，，，则

故

的最小值为例（年南中）图，已知：抛物线

的对称轴为，轴交于、

两点，与轴

交于点，中，

。（1求这条抛物线的函数表达式；（2已知在对称轴上存在一点

，使得

的周长最小，请求出点

的坐标。解析：（1）对称轴为，

，由对称性可知：

。根据

、、

三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2

与

关于对称轴

对称，连结，

与对称轴交点即为所求

点。设直线

解析式为：。、

代入得，。

时，，则2.两定两动。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例如4，河岸两侧有两村村民来往路程最短？

、

两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能解析：设桥端两动点为、，么

点随

点而动，

等于河宽，且

垂直于河岸。

将

向上平移河宽长到

，线段

与河北岸线的交点即为桥端

点位置。四边形

为平行四边形，

，此时

值最小。那么来往

、

两村最短路程为：。例(天津市中)在平面角坐标系中形

的顶点

在坐标原点点、分在轴、轴的正半轴上，

，，

为边

的中点。（1若

为边

上的一个动点，当

的周长最小时，求点

的坐标；（2若

，

为边

上的两个动点，且

，当四边形

的周长最小时，求点，

的坐标。解析：作点

关于轴的对称点，，。（1那么

交轴于点接时，则。

的周长最小

可知，（2将

向左平移2个单位（

）到

点，定点、

分别到动点、

的距离和等于为定点、到动点

的距离和，即

。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在

上截取，接

交轴于，边形

为平行四边形，

。此时值最小四形

的周长最小

、

可求直线

解析式为，

时，，，。（也可以用）中相似的方法求

坐标）（）|动|动”型两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例（陕省中）如图，在锐角

中，，

，

的平分线交

于点，、

分别是

和

上的动点，则

的最小值为4。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，

上动点

关于

的对称点

在

上，，，当

时，

最小。作∵∴作

于，交

，交于，

于，例如7边

是等腰梯形，、在上在

轴上，，，，，物线

过、

两点。（1求、；（2设

是轴方抛物线上的一动点，它到轴与

轴的距离之和为，

的最大值；

（3当（）中

点运动到使

取最大值时，此时记点

为，线段

与

轴交于点，

为线段

上一动点，求解析

到

点与到，

轴的距离之和的最小值，并求此时，，可得：

点的坐标。、、、；根据、

的坐标可求出抛物线解析式为（2）设

，且

，则

，用零点分段法可得，。当

时，

。此时

，则

。（3

轴与直线

关于

对称，作

轴于

，动点

关于

的对称点

在直线

上，，当

垂直于直线

时，

的值最小。，根据

和

可求直线

的解析式

，则有

。由

可知，。作

，过

点作

轴的平行线

，交

于

，那么。

作

于，

则

，当

是

于

的交点时，

与

重合，

有最小值。函数，时，

，即

。“定|+|动动动定|”型：两定到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例（年州）如图，

，

是

内一点，，、

分别是和

上的动点，求

周长的最小值。解析：分别作上时，∵

关于、周长最小，

的对称点、，接，，、，

在线段

∴。则

周长的最小值为例（年施考）恩施到张家界高速公路与渝高速公路

垂直，如图立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（

）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，

，

到直线

的距离为

，

到直线

和

的距离分别为

和。请你在

旁和

旁各修建一服务区

、

，使、、

、

组成的四边形的周长最小，并求出这个最